Lexikon der Mathematik: vollständiger Durchschnitt
Nullstellenmenge
\begin{eqnarray}V=V(I)=\{x\in {K}^{n}\,:f(x)=0\,\,{\text{f}}{\rm{\ddot {u}}}{\text{r}}\,{\rm{alle}}\,f\in I\}\subseteq {K}^{n}\end{eqnarray}
der Dimension k (k bezeichnet die Dimension von K[x1, …, xn]/I), so daß das Radikal von I, \(\sqrt{I}\), durch n − k Polynome erzeugt werden kann.Dabei ist K ein algebraisch abgeschlossener Körper und I ein Ideal in Polynomring K[x1, …, xn].
So ist zum Beispiel die x-Achse im K3 ein vollständiger Durchschnitt, definiert durch y = z = 0. Hier ist
\begin{eqnarray}I=\sqrt{I{\rm{\hspace{0.17em}}}}=(y,z)\subset K[x,y,z],\end{eqnarray}
und die Dimension der x–Achse ist 1.Für weitere Beispiele vgl. das Stichwort mengentheoretisch vollständiger Durchschnitt.
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