angestrebte Eigenschaft eines Axiomensystems.

Es seien L eine elementare Sprache und T eine Menge von Axiomen, die in L formuliert sind. Das Axiomensystem T ist vollständig, wenn für jede Aussageφ aus L gilt:

\begin{eqnarray}Entweder{\rm{\hspace{0.17em}}}T\models \varphi {\rm{\hspace{0.17em}}}oder\models \neg \varphi \end{eqnarray}

Nach dem Gödelschen Vollständigkeitssatz läßt sich die Vollständigkeit auch so charakterisieren:

Für jede Aussage φ aus L ist entweder φ oder die Negation von φ aus T beweisbar.

Die Vollständigkeit eines Axiomensystems ist eine wünschenswerte Eigenschaft, da aus einem solchen System jede Aussage oder ihre Negation (formuliert in der zugrundegelegten formalen Sprache) prinzipiell beweisbar ist.

Die Menge T der Körperaxiome ist beispielsweise nicht vollständig. Denn ist φ eine elementare Aussage der Körpertheorie, die die Charakteristik p festlegt (p Primzahl), dann sind weder φ noch \(\neg \varphi \) aus T beweisbar. Fügt man zu T jedoch weitere Axiome hinzu, die die Charakteristik beschreiben und die algebraische Abgeschlossenheit eines Körpers charakterisieren (jedes Polynom n-ten Grades, n = 2, 3, 4, …, besitzt eine Nullstelle), dann erhält man ein vollständiges Axiomensystem.

Jedoch lassen sich nicht alle Systeme vervollständigen. Ein hinreichend „ausdrucksstarkes” Axiomensystem (mit dem z. B. die Arithmetik Erster Ordnung nachgebildet werden kann) ist niemals vollständig (vgl. Beweistheorie).

Das elementare Peanosche Axiomensystem und die Axiome der Mengenlehre bilden kein vollständiges System, sie lassen sich auch nicht zu einen vollständigen Axiomensystem erweitern.