der von Hilbert 1909 bewiesene letzte Teil des Waringschen Problems:

Zu jedem ganzen Exponenten\begin{eqnarray}k\ge 2\end{eqnarray}gibt es eine Anzahl\begin{eqnarray}g\in {\mathbb{N}}\end{eqnarray}derart, daß jede natürliche Zahl n eine Darstellung als Summe von k-ten Potenzen natürlicher Zahlen mit höchstens g Summanden besitzt:\begin{eqnarray}n={x}_{1}^{k}+{x}_{2}^{k}+\ldots {x}_{v}^{k}\end{eqnarray}mit\begin{eqnarray}{x}_{1},\ldots, {x}_{v}\in {\mathbb{N}}\end{eqnarray}für ein\begin{eqnarray}v\in \{1,\ldots, g\}\end{eqnarray}.

Der Hilbertsche Originalbeweis dieses Satzes ist recht kompliziert; er beruht auf der Waring- Hilbertschen Identität. Mittlerweise gibt es mehrere alternative Beweise.