Lexikon der Mathematik: Weierstraß, Produktsatz von
liefert eine Methode zur Konstruktion ganzer Funktionen mit vorgegebenen Nullstellen. Der Satz lautet:
Es sei (zn) eine Folge komplexer Zahlen mit
Dann existiert eine ganze Funktion f derart, daß jedes zneine Nullstelle von f der Nullstellenordnung o( f, zn) = mn ist, und f keine weiteren Nullstellen besitzt.
Die Konstruktion von f erfolgt mit Hilfe von Weierstraß-Produkten. Ist z1 ≠ 0 und (pn) eine Folge in \({{\mathbb{N}}}_{0}\) derart, daß die Reihe
Die Funktion f ist offenbar nicht eindeutig bestimmt, denn ist g eine beliebige ganze Funktion, so hat die durch
Es gibt noch eine allgemeinere Version dieses Satzes für beliebige Gebiete:
Es seien G ∈ \({\mathbb{C}}\)ein Gebiet, (zn) eine Folge paarweise verschiedener Punkte in G, die in G keinen Häufungspunkt besitzt, und (mn) eine Folge natürlicher Zahlen.
Dann existiert eine in G holomorphe Funktion f derart, daß jedes zneine Nullstelle von f der Nullstellenordnung o(f, zn) = mnist, und f keine weiteren Nullstellen besitzt.
Für G ≠ \({\mathbb{C}}\) erfolgt die Konstruktion von f mit Hilfe modifizierter Weierstraß-Produkte. Dazu wird aus (zn) eine Folge (ζn) gebildet derart, daß jeder Punkt zn genau m-mal in (ζn) vorkommt. Weiter sei (oin) eine Folge in \({\mathbb{C}}\) \ G derart, daß
Dann hat die Funktion
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