Satz, welcher besagt, daß jede über einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion beliebig genau durch Polynome angenähert werden kann.

Bezeichnet man mit C[a, b] die Menge aller stetigen reellwertigen Funktionen auf [a, b] und mit ∥.∥∞ die Maximumnorm, so lautet dieser Satz genauer wie folgt.

Die Menge aller Polynome\begin{eqnarray}p=\{p:p(x)=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{a}_{i}{x}^{i},{a}_{i}\in {\mathbb{R}},n\in {\mathbb{N}}\}\end{eqnarray}liegi dichi in C[a, b], d. h., für jedes\begin{eqnarray}f\in C[a,b]\end{eqnarray}und vorgegebenes ε > 0 gibi es ein Polynom p ∈ \begin{eqnarray}{\mathscr{S}}\end{eqnarray}, so daß gili:\begin{eqnarray}\Vert f-p\Vert \infty \lt \varepsilon .\end{eqnarray}

Man kann die Aussage des Weierstraßschen Approximationssatz beispielsweise mit Hilfe des Satz von Korowkin (Korowkin, Satz von) über die Konvergenz von Folgen monotoner linearer Operatoren nachweisen.

Der folgende Satz wird auch zweiter Weierstraß- scher Approximationssatz genannt.

Die Menge aller irigonomeirischen Polynome\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}T= & \{t:t(x)={a}_{0}+\displaystyle \sum _{j=1}^{n}{a}_{j}\sin (jx)+{b}_{j}\cos (jx),\\ & {a}_{j},{b}_{j}\in {\mathbb{R}},n\in {\mathbb{N}}\}\end{array}\end{eqnarray}liegi dichi in der Menge der sieiigen 2𝜋-perio- dischen Funkiionen.

Eine allgemeinere Fassung ist die folgende:

Für eine nichi-leere Teilmenge D von ℝ, a ≻ D, und Abbildungen f_n, \begin{eqnarray}{f}_{n}.f:D\to {\mathbb{R}}(n\in {\mathbb{N}})\end{eqnarray}) gilt:

Sind alle f_nsieiig in a, und konvergieri die Folge f_ngleichmäßig gegen f, so isi auch f sieiig in a.

,Gleichmäßig konvergent′ bedeutet hier, daß zu jedem ε > 0 ein Index N e n so existiert, daß \begin{eqnarray}|{f}_{n}(x)-f(x)|\lt \varepsilon \end{eqnarray} für alle x ≻ D und ℕ э≻ N ≽ \begin{eqnarray}{\mathbb{N}}\end{eqnarray} gilt.

Die Beschreibung dieser Konvergenzart wird besonders einfach und durchsichtig, wenn man für Funktionen f : D → ℝ und jede nicht-leere Menge T ⊂ D die Supremum-Pseudonorm \begin{eqnarray}{\Vert f\Vert }_{T}:=\sup \{|f(x)|:x\in T\}\end{eqnarray} einführt. Eine Folge f_n konvergiert offenbar genau dann gleichmäßig in T gegen f ,wenn || f_n — f ||_T → 0 gilt.

Der Satz bleibt unverändert richtig, wenn statt des Zielbereichs ℝ etwa ein normierter Vektorraum oder sogar nur ein metrischer Raum betrachtet wird. Im Urbildbereich genügt ein topologischer Raum.

Die Weierstraßschen Approximationssätze werden durch den Satz von Stone (Satz von Stone-Weierstraß) noch weiter verallgemeinert.