untersucht den Wertebereich f(G) einer in einem GebietG ⊂ ℂ holomorphen Funktionf.

Eine erste einfache Aussage liefert der Satz über die Gebietstreue, der besagt, daß f(G) ein Gebiet ist, sofern f keine konstante Funktion ist.

Unter zusätzlichen Voraussetzungen an G oder f ist es möglich, Aussagen über die „Größe“ von f(G) zu machen. Hierzu sei z. B. auf die Sätze von Ahlfors und Bloch, den Koebeschen 1/4-Satz und die Landauschen Weltkonstanten verwiesen.

Es werden noch einige weitere Ergebnisse in diesem Kontext angegeben. Dazu sei \({\mathcal{T}}\) die Klasse aller in 𝔼 = {z ∈ ℂ : |z| < 1} holomorphen Funktionen mit f (0) = 0 und f′ (0) = 1. Für p ∈ ℕ sei \({\mathcal{T}}\)_p die Klasse aller Funktionen f ∈ \({\mathcal{T}}\), die in 𝔼 höchstens p Nullstellen besitzen.

Ein Satz von Fekete besagt, daß eine nur von p abhängige Zahl r_p > 0 existiert derart, daß für jedes f ∈ \({\mathcal{T}}\)_p das Bildgebiet f (𝔼) die offene Kreisscheibe B_rp mit Mittelpunkt 0 und Radius r_p enthält. Über die genaue Größe von r_p ist wenig bekannt. Jedenfalls gilt r_p+1 ≤ r_p, und Carathéodory hat gezeigt, daß \({r}_{1}=\frac{1}{16}\). Es existiert jedoch keine feste Konstante r > 0, derart daß f (𝔼) ⊃ B_r für alle f ∈ \({\mathcal{T}}\). Betrachtet man nämlich die Funktionenfolge (f_n) in \({\mathcal{T}}\) mit \begin{eqnarray}{f}_{n}(z)=\frac{1}{n}({e}^{nz}-1),\end{eqnarray}

so gilt \(-\frac{1}{n}\notin f({\mathbb{E}})\).

Andererseits hat Valiron gezeigt, daß es zu jedem α ∈ (0,2π) eine nur von α abhängige Zahl ϱ_α > 0 gibt derart, daß für jedes f ∈ \({\mathcal{T}}\) das Bildgebiet f (𝔼) einen offenen Kreissektor mit Spitze in 0, Öffnungswinkel α und Radius ϱ_α enthält.

Weiterhin kann man fragen, wie häufig die Funktion f einen Wert a ∈ f(G) annimmt. Hierüber geben z. B. der kleine und große Satz von Picard und der Satz von Julia Auskunft. Noch präzisere Aussagen speziell über ganz transzendente Funktionen liefert die Nevanlinna-Theorie.