Konvergenzbegriff der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Es seien (S, d) ein metrischer Raum und \({\mathfrak{B}}\)(S) die σ-Algebra der Borelschen Mengen von S. Eine Folge (P_n)_n∈ℕ von auf \({\mathfrak{B}}\)(S) definierten Wahrscheinlichkeitsmaßen heißt wesentlich konvergent gegen ein ebenfalls auf \({\mathfrak{B}}\)(S) definiertes Wahrscheinlichkeitsmaß P, falls lim_n→∞P_n(A) = P(A) für alle A ∈ \({\mathfrak{B}}\)(S) mit P(∂A) = 0 gilt, wobei ∂A den Rand von A bezeichnet. Die wesentliche Konvergenz von (P_n)_n∈ℕ gegen P ist zur schwachen Konvergenz der Folge gegen P äquivalent.

Der Begriff der wesentlichen Konvergenz wird darüber hinaus auch für Verteilungsfunktionen eingeführt. Danach heißt eine Folge (F_n)_n∈ℕ von auf ℝ definierten Verteilungsfunktionen wesentlich konvergent gegen eine Verteilungsfunktion F, wenn lim_n→∞F_n(x) = F(x) für alle x ∈ ℝ gilt, in denen F stetig ist. Für auf der Borel-σ-Algebra \({\mathfrak{B}}\)(ℝ) definierte Wahrscheinlichkeitsmaße P, P₁, P₂,…mit den Verteilungsfunktionen F, F₁, F₂,…ist die wesentliche Konvergenz der Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen (P_n)_n∈ℕ gegen P zur wesentlichen Konvergenz der Folge von Verteilungsfunktionen (F_n)_n∈ℕ gegen F äquivalent.

[1] Širjaev, A. N.: Wahrscheinlichkeit. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin, 1988.