Lexikon der Mathematik: Wronski-Determinante
die Determinante einer Lösungsmatrix (lineares Differentialgleichungssystem) zu einem homogenen, auf einem offenen Intervall I ⊂ ℝ definierten linearen Differentialgleichungssystem
Seien y1, …, yn Lösungen des Differentialgleichungsystems (1) und Y(t) :=(y1(t), …, yn(t)) damit eine Lösungsmatrix. Ihre Determinante W(t) := det Y(t) heißt Wronski-Determinante des Lösungssystems y1, …, yn.
Für eine homogene lineare Differentialgleichungn-ter Ordnung
mit den Lösungen y1, …, yn erhält die Wronski-Determinante durch den Übergang zu dem entsprechenden äquivalenten Differentialgleichungssystem (lineare Differentialgleichung) die Form
Es gelten folgende Aussagen:
Entweder ist W(x) = 0 für alle x ∈ I, oder es ist W(x) ≠ 0 für alle x ∈ I.
Sowie:
n Lösungen eines homogenen Differentialgleichungssystems bzw. einer homogenen Differentialgleichung nter Ordnung bilden genau dann einFundamentalsystem, wenn ihre Wronski-Determinante ungleich Null ist.
Wenn A(t) auf I stetig ist, so genügt die Wronski-Determinante der Differentialgleichung
Daraus folgt
d. h., selbst ohne Kenntnis der Lösung läßt sich die Wronski-Determinante allein aus dem Anfangswert W(t0) berechnen.
[1] Timmann, S.: Repetitorium der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Binomi Hannover, 1995.
[2] Walter, W.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Springer-Verlag Berlin, 1972.
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