Lexikon der Mathematik: Yang-Mills-Funktional
wichtiger Begriff in der Theorie der Riemannschen Mannigfaltigkeiten.
Die Yang-Mills-Theorie ist eine (i. a. nichtlineare) Verallgemeinerung der Hodge-Theorie. Sei E ein Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M mit Bündelmetrik 〈·,·〉, und sei D ein metrischer Zusammenhang auf E. Der Krümmungsoperator FD von D werde mit Hilfe des Krümmungstensors R als ein Element von Ω2 (EndE) betrachtet:
Ω2 (Ad E) bezeichne den Raum derjenigen Elemente von Ω2 (EndE), für die der Endomorphismus von jeder Faser schiefsymmetrisch ist.
Ist D = d + A ein metrischer Zusammenhang auf E, dann gilt A ∈ Ω1 (Ad E), und für den Krümmungsoperator von D gilt FD ∈ Ω2Ad E.
Sei nun M eine kompakte orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit, E ein Vektorbündel mit einer Bündel-Metrik über M, und sei D ein metrischer Zusammenhang auf E mit Krümmungsoperator FD ∈ Ω2 (Ad E). Dann ist das Yang-Mills-Funktional, angewandt auf D, definiert durch
Dabei sei ∗(1) := e1 ∧…∧ en für eine positive Basis von E.
D heißt Yang-Mills-Zusammenhang, wenn für den dualen Operator gilt
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