Lexikon der Mathematik: Zerlegungsgruppe
einem Primideal in einer Galoisschen Zahlkörpererweiterung L/K zugeordnete Gruppe.
Es bezeichne \({{\mathfrak{O}}}_{K}\) bzw. \({{\mathfrak{O}}}_{L}\) die Ganzheitsringe (Hauptordnungen) der Zahlkörper K bzw. L, und es sei G die Galois-Gruppe der Körpererweiterung L/K. Dann operiert G auf \({{\mathfrak{O}}}_{L}\) als Gruppe von Ringautomorphismen. Zu einem Primideal \({\mathfrak{P}}\ne \{0\}\) in \({{\mathfrak{O}}}_{L}\) definiert man die Zerlegungsgruppe G−1(\({\mathfrak{P}}\)) als die Fixgruppe des Ideals \({\mathfrak{P}}\) unter der Operation von G, also
Wählt man n ∈ ℕ0 fest, so bildet jedes σ ∈ G−1 das Ideal \({{\mathfrak{P}}}^{n+1}\subset {{\mathfrak{O}}}_{L}\) auf sich ab; daher induziert σ einen Automorphismus des Faktorrings \({{\mathfrak{O}}}_{L}/{{\mathfrak{P}}}^{n+1}\).
Den Kern der so gewonnenen Operation von G−1 auf \({{\mathfrak{O}}}_{L}/{{\mathfrak{P}}}^{n+1}\) nennt man die n-te Verzweigungsgruppe Gn(\({\mathfrak{P}}\)), also
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