Symmetrie

Henning Genz, Karlsruhe

1 Einleitung: Der Symmetriebegriff von Hermann Weyl

In der Umgangssprache besitzt das Wort Symmetrie zwei wesentlich verschiedene Bedeutungen. Erstens bedeutet es in einem nicht sehr genau bestimmten Sinn dasselbe wie Harmonie, Ausgewogenheit und Schönheit. Zweitens spricht man von der Symmetrie spiegelsymmetrischer Objekte, verwendet Symmetrie also synonym mit Spiegelsymmetrie. Ein Objekt im Raum wollen wir spiegelsymmetrisch nennen, wenn es mit seinem Spiegelbild durch eine Drehung und/oder Verschiebung zur Deckung gebracht werden kann. Betrachten wir nun die aus der Spiegelung, der Drehung und/oder der Verschiebung sich durch Hintereinanderausführen ergebende Operation: Sie läßt das spiegelsymmetrische Objekt ungeändert. Das ist ein Spezialfall der von Hermann Weyl [23] angegebenen Definition der Symmetrie, die in den Worten von Richard P. Feynman [5] so lautet: ›Ein Ding ist symmetrisch, wenn man es einer bestimmten Operation aussetzen kann und es danach als genau das gleiche erscheint wie vor der Operation‹.

Ob die Symmetrie eines ›Dinges‹ bei einer Operation, der man es laut Feynman ›aussetzt‹, eine interessante Eigenschaft des Dinges ist, hängt natürlich von der Operation ab. In der Physik beginnen wir häufig nicht mit den Dingen und ihren Symmetrien, sondern mit den Symmetrien selbst und fragen dann nach Dingen – nicht unbedingt körperliche, sondern auch abstrakte ›Dinge‹ wie die Naturgesetze –, welche die vorgegebenen Symmetrien besitzen. Zuerst zu nennen ist die Operation, die überhaupt nichts ändert, die Identität

. Sie ist maßlos uninteressant, weil sie alle Dinge ungeändert läßt. Interessant wird die Sache, wenn andere Symmetrieoperationen hinzukommen; zum Beispiel die Spiegelung. Zur Illustration der Konzepte wollen wir uns auf die Ebene – den zweidimensionalen euklidischen Raum – beschränken. Als Operationen wollen wir vorerst nur Bewegungen zulassen. ›Bewegungen‹ sind diejenigen Operationen im Raum, die den Abstand zweier beliebig herausgegriffener Punkte ungeändert lassen. Offensichtlich sind Spiegelungen, Drehungen, Verschiebungen und die aus ihnen zusammengesetzten Operationen Bewegungen. Die Mathematik zeigt, daß es keine weiteren gibt.

Wir wollen nach ebenen Dingen fragen, die weder durch eine Drehung um 60 Grad um einen gewissen Punkt noch durch die Spiegelung an einer Geraden, die den Punkt enthält, geändert werden. Ein Ding mit diesen Symmetrien und keiner, die über jene hinausginge, die aus ihnen folgen, ist der Schneekristall (siehe Abb. 1 ). Wegen seiner Symmetrie gegenüber den genannten Operationen ist er auch symmetrisch gegenüber jenen, die aus ihnen durch Wiederanwendungen entstehen. Das sind beim Schneekristall die Drehungen um 120, 180, 240 und 300 Grad um seinen Mittelpunkt und die Spiegelungen an insgesamt 6 Geraden durch ihn. Die Drehung um 360 Grad habe ich nicht erwähnt, weil sie – genauso wie die zweimalige Spiegelung an ein- und derselben Geraden – mit der Identität identisch ist.

2 Symmetriegruppen

Man kann sich leicht überlegen, daß diese Menge von Bewegungen eine Gruppe im mathematischen Sinn bildet. Denn sie enthält erstens die Identität

, zweitens mit jeder Bewegung

eine – als Konsequenz der Axiome: die – zu ihr inverse

, die die Wirkung von

rückgängig macht, und drittens mit je zwei Bewegungen

und

die Bewegung

, die durch Hintereinanderausführen von

und

entsteht; in Formeln: erstens

für alle

der Menge, zweitens gibt es zu jedem

der Menge ein

, so daß

, und drittens enthält die Menge für alle

und

das Element

. Wir haben die Operation, die durch Hintereinanderausführen von zuerst

und dann

entsteht, mit

bezeichnet. Das Axiom der Assoziativität müssen wir nicht überprüfen, weil es für Bewegungen – allgemeiner: für alle hier zu betrachtenden Operationen – sowieso gilt.

Also bildet die Menge der Bewegungen, die den Schneekristall in sich selbst überführen, eine Gruppe im mathematischen Sinn. Die Leserin kann sich leicht überlegen, daß alle Bewegungen, die ein beliebig vorgegebenes Objekt im Raum ungeändert lassen, zusammen genommen eine Gruppe bilden. Berücksichtigt man nur Bewegungen, heißt diese Gruppe die Symmetriegruppe des Objekts. Durch ihre Symmetriegruppen können Objekte klassifiziert werden. Denn Bewegungen – allgemeiner: Operationen – können nicht beliebig zu Gruppen zusammengefaßt werden. Wir wollen fragen, ob es ein Gebilde geben kann, das ungeändert bleibt bei Spiegelungen an zwei aufeinander senkrecht stehenden Geraden und keine weitere Symmetrie besitzt. Um aus einem beliebigen Gebilde – etwa dem Buchstaben F der Abb. 2a – eines zu erzeugen, das spiegelsymmetrisch an der senkrechten Gerade der Abbildung ist, spiegeln wir das F an dieser und fügen sein Spiegelbild zu dem ursprünglichen F hinzu. So erhalten wir die einfach spiegelsymmetrische Abb. 2b . Um, ohne deren Symmetrie zu zerstören, aus ihr ein Gebilde zu erzeugen, das zudem symmetrisch ist bei Spiegelung an der waagerechten Gerade, fügen wir die an ihr gespiegelte Abb. 2b zu dieser hinzu und erhalten die in der Tat doppelt spiegelsymmetrische Abb. 2c . Aber schauen wir uns diese Abbildung an: Sie bleibt zudem und ungewollt ungeändert bei Drehungen um 180 Grad um den Schnittpunkt der beiden Spiegelgeraden. Es folgt, daß doppelte Spiegelsymmetrie an zwei aufeinander senkrecht stehenden Geraden nicht allein auftreten kann. Sie wird stets begleitet von Drehsymmetrie um 180 Grad um den Schnittpunkt der Geraden. Das ist so, weil Hintereinanderausführen der beiden Spiegelungen die Drehung ergibt. Die Drehung transformiert beliebige Objekte genau so wie, hintereinander ausgeführt, die beiden Spiegelungen.

Überlegungen wie diese sind Ausgangspunkt der Klassifikation aller möglichen Gruppen von Bewegungen im Raum (z. B. [16], [18]). Für jede von ihnen gibt es Objekte, deren (Bewegungs-) Symmetriegruppe sie ist. Umgekehrt besitzt jedes Objekt im Raum eine dieser Gruppen als seine (Bewegungs-) Symmetriegruppe. Ein wichtiger Unterschied ist der von Molekül- und Kristallsymmetrien. Als Molekülsymmetrien bezeichnen wir die Symmetrien von Objekten mit endlichen Abmessungen; bei Kristallsymmetrien kommt mindestens eine Bewegungssymmetrie hinzu, die nur unendlich ausgedehnte Objekte besitzen.

3 Molekül- oder Punktsymmetrien

Jede Gruppe von Bewegungen, die ein Objekt mit endlichen Abmessungen in sich selbst überführen, besitzt mindestens einen Fixpunkt. Das ist ein Punkt im Raum, den jede Bewegung der Gruppe ungeändert läßt; bei der Symmetriegruppe des Schneekristalls, der hier als makroskopisch ausgedehntes Molekül auftritt, ist es dessen Mittelpunkt, bei der des Gebildes der Abb. 2c der Schnittpunkt der Geraden. Die Symmetriegruppe der Abb. 2b besitzt alle Punkte der senkrechten Gerade als Fixpunkte, und die Symmetriegruppe des Buchstabens F selbst, die nur die Identität

enthält, läßt sogar alle Punkte der Ebene ungeändert. Gibt es keinen Fixpunkt (und besteht die Gruppe nicht nur aus der Identität E), so enthält, wie die Leserin sich leicht überlegen kann, die Gruppe (auch) Verschiebungen. Endlich ausgedehnte Objekte sind aber nicht verschiebungssymmetrisch, so daß in der Tat nur Symmetriegruppen mit mindestens einem Fixpunkt als Symmetriegruppen von Molekülen auftreten können. Sie heißen Punktgruppen. Auf die Klassifikation von Punktgruppen und mit ihnen Objekten im dreidimensionalen Raum gehe ich nicht ein (Kristallsysteme). In der Ebene gibt es zwei Klassen von Punktgruppen namens

und

mit nicht-negativem und ganzzahligem

, die Symmetriegruppen ›zweidimensionaler Moleküle‹ sein können: Die Punktgruppe

besteht aus den

Drehungen (die Gruppeneins

wird als Drehung um

Grad aufgefaßt) um

Grad mit

um einen Punkt, den Fixpunkt; die

enthält diese Drehungen und zusätzlich Spiegelungen an

Geraden durch den Fixpunkt, die ab

Winkel von

Grad einschließen. Die ›Symmetriegruppe‹ eines ebenen Gebildes ohne Bewegungssymmetrie wie der Buchstabe F ist die

, die des Buchstabens S ist die

und so weiter. Einfach spiegelsymmetrische Objekte wie die Buchstaben A und B besitzen die

als ihre Symmetriegruppe, der Buchstabe H und die Abb. 2c die

, die Schneeflocke besitzt die

und so weiter. Jede der Punktgruppen

und

enthält eine Drehung um einen kleinsten Winkel, d.h.

Grad. Weitere Gruppen von Bewegungen der Ebene, die einen Fixpunkt besitzen und eine Drehung um einen endlichen kleinsten Winkel enthalten, gibt es nicht. Die Symmetriegruppe des Kreises enthält Drehungen um beliebige, auch irrationale Winkel um seinen Mittelpunkt und außerdem die Spiegelungen an allen Geraden durch ihn hindurch. Fraktale können kompliziertere Symmetrien als die in diesem Essay in Betracht gezogenen besitzen.

4 Verschiebungssymmetrien

Wir wenden uns nun den verschiebungssymmetrischen Objekten und ihren Symmetriegruppen zu. Ein kleiner mathematischer Beweis zeigt, daß es genau sieben wesentlich verschiedene Möglichkeiten gibt, Verschiebungen um einen endlichen Mindestabstand in eine Richtung (und, selbstverständlich, deren Gegenrichtung) mit anderen Bewegungen der Ebene so zu einer Gruppe zusammenzufassen, daß die Gruppe keine Verschiebung in eine weitere Richtung enthält. Diese sieben Gruppen sind die Symmetriegruppen von Bandornamenten und Friesen – zweidimensionale Gebilde mit Verschiebungssymmetrie in nur eine Richtung um einen endlichen Mindestabstand

. Die Abb. 3 zeigt für jeden dieser sieben Typen ein Beispiel und stellt deren Symmetrien dar. Daß diese sieben Symmetriegruppen wesentlich verschieden sind, bedeutet, daß sie sich um mehr als den Wert des Parameters

unterscheiden.

Das Resultat, daß es in der Ebene nur endlich viele einfach verschiebungssymmetrische Muster gibt, kann auf ebene Gebilde mit Verschiebungssymmetrie in zwei linear unabhängige Richtungen ausgedehnt werden: Fliesenmuster oder – ein anderer Name – ›ebene Kristalle‹ gehören notwendig einem von siebzehn Typen mit wesentlich verschiedenen Symmetriegruppen an. Die Abb. 4 zeigt die Konstruktion eines doppelt verschiebungssymmetrischen ›ebenen Kristalls‹ aus einem Kreissegment zusammen mit einer symbolischen Darstellung von dessen Symmetrien.

Physikalisch interessant ist die Ausdehnung dieser Resultate auf dreifach verschiebungssymmetrische Gebilde im Raum. Kristalle sind derartige Anordnungen von Atomen und Molekülen, und die Mathematik zeigt, daß es genau 230 mögliche Kristalltypen gibt. Die Klassifikation der Kristalle auf Grund ihrer Symmetrien ist die Domäne einer eigenen Wissenschaft, der Kristallographie.

5 Kultur und Symmetrie

Soweit wir zurückschauen können, haben Symmetrien die Menschen aller Hochkulturen fasziniert (z.B. [22]). Bekannt sind Ornamente, die der Islam zur Ausgestaltung seiner Paläste und Moscheen benutzt (z.B. [1]). Ein berühmtes Beispiel bildet die im 13. und 14. Jahrhundert von maurischen Herrschern erbaute Alhambra auf einem Hügel oberhalb von Granada. Abb. 5 und Abb. 6 zeigen Beispiele für Band- und Flächenornamente, unter ihnen ( Abb. 5a ) ein Detail des Wandgemäldes im Grab der Nacht bei dem oberägyptischen Theben und ( Abb. 6a ) Zwölf Schüler von einem Steinkreuz in der irischen Provinz Kildare. Wie Abb. 5a zeigt auch Abb. 6b ein ägyptisches Ornament; das Muster der Abb. 6d stellt das Muster einer Batik aus Java dar. Wie bereits Abb. 3 und Abb. 4 hat der Autor Abb. 5e und Abb. 6c mit Hilfe seines Computerprogramms SYMMETRIE gezeichnet ([9]). Als moderne Beispiele für künstlerische Darstellungen mit räumlichen Symmetrien seien die Werke des niederländischen Künstlers Maurits Cornelius Escher (z.B. [4], [20] und [17]) genannt sowie die des Schweizer Künstlers Hans Hinterreiter (z.B. [2] und [14]).

6 Skalen- und Farbsymmetrien

Außer den Bewegungen gehören sicher auch die Vergrößerungen und Verkleinerungen, die wir zu Skalentransformationen zusammenfassen wollen, zu den interessanten Operationen im Raum. Bei einer Skalentransformation um den Faktor

, wobei

größer als Null ist, werden alle Abmessungen eines beliebigen Objektes mit

multipliziert. Objekte, welche die Skalentransformation mit

nicht ändert, ändert offensichtlich auch die Skalentransformationen mit

, wobei

eine positive oder negative ganze Zahl ist, nicht. Der ganze Raum ist für beliebige

skalensymmetrisch, und dasselbe gilt für jede Gerade in ihm. Um ein ebenes Objekt vor sich zu haben, das Skalensymmetrie mit

besitzt, stelle man sich einen Ausschnitt aus einem unendlich großen Bild vor, der ein Zimmer zeigt, an dessen Wand ein Bild hängt, in dem das Zimmer selbst um den Faktor

verkleinert dargestellt ist. In diesem verkleinerten Zimmer hängt dann selbstverständlich eine um denselben Faktor verkleinerte Kopie des Bildes, die ein abermals verkleinertes Zimmer zeigt, in dem ... und so weiter, unendlich oft. Stellt man sich das als Ausschnitt aufgefaßte Bild umgekehrt genauso ins unendlich Große fortgesetzt vor, erhält man ein insgesamt skalensymmetrisches Gebilde mit

und keinem größeren

.

Zu dem, was man mit einem geeignet gewählten Objekt anstellen kann, ohne es zu ändern, gehört nicht nur, daß man es bewegen und/oder vergrößern, sondern auch, daß man es bewegen und zugleich seine Farben vertauschen kann (z. B. [3]). Das wohl bekannteste Beispiel für ein Objekt mit einer derartigen ›Farbsymmetrie‹ ist das chinesische Yin-Yan (siehe Abb. 7 ): Dreht man es um 180 Grad um seinen Mittelpunkt, so geht es nicht in sich selbst über, da durch die Drehung die Farben schwarz und grau vertauscht werden. Vertauscht man also nach der Drehung die Farben, hat man das Yin-Yan insgesamt nicht geändert: Die aus der Drehung und der Farbvertauschung zusammengesetzte Operation ist eine Symmetrietransformation des Yin-Yan. Farbsymmetrien können zusammen mit Bewegungen auch mehrere Farben durch einander ersetzen. Physikalisch sind Gruppen, die Farbsymmetrien enthalten, interessant, weil sie es erlauben, Kristalle zu klassifizieren, die aus magnetischen Atomen/Molekülen mit verschiedenen Richtungen der Magnetisierung aufgebaut sind. Auch die bereits erwähnten Werke der Künstler Escher und Hinterreiter weisen zahlreiche Farbsymmetrien auf.

7 Symmetrie und Unbeobachtbarkeit

Gegeben sei der Buchstabe p. Durch eine Drehung der Ebene um 180 Grad entsteht aus ihm der Buchstabe d. Ein Beobachter kann also durch Vergleich der Situation vor der Bewegung mit der nach ihr feststellen, daß eine Bewegung durchgeführt wurde (und sogar welche). Sei nun der Buchstabe S gegeben. Wird die Ebene um 180 Grad um dessen Mittelpunkt – den Sattelpunkt der Kurve S – gedreht, bleibt der Buchstabe ungeändert. Kein Beobachter kann also durch Vergleich von ›vorher‹ und ›nachher‹ feststellen, ob die Bewegung durchgeführt wurde. Symmetrie bedeutet mit anderen Worten Unbeobachtbarkeit; Unbeobachtbarkeit hier einer Bewegung durch nichts weiter als ein Objekt, dessen Symmetriegruppe die Bewegung enthält.

8 Symmetrien von Naturgesetzen

Wir können selbstverständlich nicht erwarten, daß die Zustände eines physikalischen Systems oder deren Abfolgen dieselben Symmetrien besitzen wie die Naturgesetze, die das Verhalten des Systems bestimmen. So sind Newtons Gesetze für die Bewegungen eines kugelförmigen Planeten unter dem Einfluß einer ebenfalls kugelförmigen Sonne vollständig verschiebungs- und drehsymmetrisch. Die Bewegungen der Himmelskörper sind das aber in keiner Weise. Von vorne herein ist schwer zu sagen, was Verschiebungssymmetrie für Abläufe bedeuten soll. Zur Diskussion der Drehsymmetrie wollen wir annehmen, daß die Sonne feststeht und der Planet sie umfliegt, und uns auf die Symmetrie von Newtons Gesetzen gegenüber Drehungen um eine beliebige Achse durch den Mittelpunkt der Sonne beschränken. Ironischerweise folgt nun gerade aus der Drehsymmetrie von Newtons Gesetzen, daß nicht einmal die Bahn des Planeten diese Symmetrien besitzen kann. Denn die Drehsymmetrie der Gesetze impliziert vermöge des Noether-Theorems, auf das noch eingegangen werden soll, daß der Drehimpuls des Systems zeitlich konstant ist, insbesondere also immer in dieselbe Richtung zeigt. Daraus folgt, daß die Bahn des Planeten in einer Ebene mit der Sonne liegt – und jede derartige Ebene wird durch Drehungen um Achsen in ihr durch den Sonnenmittelpunkt in eine andere Ebene überführt. Die Idee der Symmetrie des altgriechischen Philosophen Platon hat also, auf Abläufe angewendet, Schiffbruch erlitten. Angewendet auf die Naturgesetze aber hat sie Triumphe gefeiert.

Eine Sonderrolle bei dem Vergleich der Symmetrien der für ein System geltenden Naturgesetze mit jenen, die möglicherweise die ihnen genügenden Abläufe besitzen, spielen die Zustände niedrigster Energie des Systems, seine Grundzustände. Gibt es, wie immer in der Quantenmechanik, mindestens einen solchen Zustand, wird er durch alle Symmetrietransformationen der Gesetze in einen Zustand mit derselben Energie transformiert – also in sich selbst, wenn es nur einen solchen Zustand gibt. In dem Fall besitzt er alle Symmetrien des für das System geltenden Naturgesetze. Ist das nicht so, sind jene Symmetrien spontan gebrochen, die einen Grundzustand in einen anderen überführen.

Allgemein transformieren Symmetrietransformationen der für ein System geltenden Naturgesetze Abläufe, die den Gesetzen genügen, in andere, die das ebenfalls tun: Aus einer Ellipsenbahn eines Planeten um die Sonne wird durch die Drehung eine, die – wie bereits die ursprüngliche – im Einklang mit den Gesetzen Newtons steht. Zur Untersuchung der Frage, ob eine Transformation eine Symmetrietransformation der für ein physikalisches System geltenden Naturgesetze sei, bieten sich zwei im Prinzip äquivalente Vorgehensweisen sowie eine abgeleitete an ([24]). Zu dem System und der Transformation komme ein Beobachter hinzu, der einen gewissen Standpunkt einnimmt und Abläufe von diesem Standpunkt aus beschreibt. Die Transformation können wir erstens auf das physikalische System anwenden und den Standpunkt des Beobachters (sowie ihn selbst) ungeändert lassen; diese Vorgehensweise heißt ›aktive Interpretation‹ der Transformation. Bei der ›passiven Interpretation‹ derselben Transformation wenden wir sie – genauer: ihr Inverses – auf den Standpunkt des Beobachters sowie auf ihn selbst an und lassen das System ungeändert. Drittens können wir sowohl den Beobachter als auch das System der Transformation unterwerfen bzw. zu dem ursprünglichen Beobachter und seinem System das Resultat der Transformation beider hinzufügen. Dann verfügen wir über zwei Beobachter, deren jeder sein eigenes System besitzt und zu diesem in demselben Verhältnis steht wie der andere zu seinem. Man spricht in diesem dritten Fall von ›subjektiver Identität‹.

9 Eine Formulierung der Skalensymmetrie von Newtons Gesetzen der Planetenbewegungen

Es ist leicht möglich, die Definition der Symmetrie von Weyl und Feynman, die wir bisher nur auf Objekte im Raum angewendet haben, auf die Naturgesetze – genauer: auf ihre Formulierungen durch Gleichungen – zu übertragen. Dies soll durch die Skalensymmetrie der Gleichungen Newtons für die Planetenbewegungen illustriert werden. Ein Naturgesetz, das Zustandsvariable wie Orte und Geschwindigkeit und/oder Parameter wie Massen, Naturkonstanten oder Federstärken enthält, soll in Anlehnung an die Symmetrien von Objekten im Raum symmetrisch heißen, wenn die Variablen und Parameter unter Beachtung der Regeln der Mathematik durch transformierte ersetzt werden können, für die identisch dasselbe Naturgesetz gilt.

Newtons Gesetze für die Bewegungen von Himmelskörpern sind skalensymmetrisch (z. B. [6], [13]), wenn angenommen wird, daß deren Dichte dieselbe bleibt, wenn sie vergrößert oder verkleinert werden. Tatsächlich ist das natürlich nur in engen Grenzen so, denn wenn zum Beispiel die Erde bei gleichbleibender Dichte vergrößert wird, wird sie durch ihre eigene Schwerkraft zusammengedrückt. Gegeben seien

Himmelskörper mit Massen

,

, Radien

, Dichten

und Orten

zur Zeit

. Die Hypothese derselben Dichten vor und nach der Vergrößerung impliziert

und Newtons Bewegungsgleichung lautet

worin

eine Konstante – die Gravitationskonstante – ist. Ein skalensymmetrisches Naturgesetz bleibt ungeändert, wenn alle in ihm auftretenden Entfernungen

durch die skalierten Entfernungen

ersetzt werden. Hierin ist

eine beliebige positive Zahl. Weil wir annehmen, daß die Dichten durch die Skalentransformation nicht geändert werden, können wir schreiben

,

und

, worin wir für alle Zeiten

denselben Skalenfaktor

angenommen haben. Offensichtlich gilt nun

so daß die transformierten Größen demselben Naturgesetz wie die ursprünglichen mit demselben Zahlenwert von

genügen. Dieser Zahlenwert ist ein Teil des Newtonschen Naturgesetzes, in das die jeweiligen das System und seinen Zustand beschreibenden Größen eingebracht werden müssen. Skalensymmetrie ist also sicher nicht dasselbe wie die triviale Freiheit, die Einheiten zu wählen. Wenn wir die Gesetze für kleine und große Systeme vergleichen, die ansonsten gleich sind, stellen wir uns vor, daß sie in dasselbe Universum mit denselben Naturkonstanten eingebettet sind, die zum Beispiel die Größe der Atome festlegen, die zu reskalieren selbstverständlich unmöglich ist: Vergrößerte Systeme enthalten nicht vergrößerte, sondern mehr Atome.

10 Das Prinzip der Relativität

Auf Grund des Prinzips der Relativität sollen zunächst einmal alle Verschiebungen und Drehungen im (dreidimensionalen) Raum Symmetrietransformationen der Naturgesetze sein. Diese bilden zusammen genommen eine Gruppe, die euklidische Gruppe in drei Dimensionen. Sind deren Transformationen tatsächlich Symmetrietransformationen der Naturgesetze, die für ein gewisses System gelten, das sich im ansonsten leeren Raum befindet bzw. von äußeren Einflüssen abgeschlossen ist, laufen alle Experimente an allen Orten und bei allen Orientierungen des Systems im Raum gleich ab: Ein absoluter Ort und eine absolute Orientierung sind unbeobachtbar. Als weitere Forderung des Prinzips der Relativität sollen alle Experimente unabhängig davon, wann sie begonnen werden, gleich ablaufen – mit der Unbeobachtbarkeit einer absoluten Zeit als Konsequenz.

Bei der Forderung des Prinzips der Relativität, daß alle Experimente unabhängig davon gleich ablaufen, wie schnell sich das System mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, müssen wir zwischen den historisch wichtigen Galilei-Transformationen und den Lorentz-Transformationen unterscheiden. Bei seiner Ableitung der Speziellen Relativitätstheorie aus Prinzipien hat Albert Einstein zwei Annahmen gemacht, für die zusammen kein anschauliches Modell angegeben werden kann. Die erste ist das Prinzip der Relativität. Dieses ist anschaulich mit der Vorstellung, daß das Licht eine Ätherwelle sei, unvereinbar. Nehmen wir nämlich zwei Beobachter, deren jeder über dasselbe Instrument zur Messung der Lichtgeschwindigkeit verfügt. Ist nun Licht die Schwingung eines Mediums, die sich in ihm mit einer bestimmten Geschwindigkeit ausbreitet, werden in diesem Fall von subjektiver Identität die Messungen der beiden Beobachter verschieden ausfallen, wenn sie sich mit verschiedenen Geschwindigkeiten – gemeint sind jetzt immer Beträge, nicht Richtungen von Geschwindigkeiten – relativ zum Äther bewegen; absolute Bewegung wäre beobachtbar.

Wenn also das Prinzip der Relativität gilt, kann Licht keine Ätherwelle sein. Das zweite Prinzip ist der Maxwellschen Theorie entnommen und besagt, daß die Geschwindigkeit des Lichtes, die ein Beobachter mißt, von der Geschwindigkeit der Lichtquelle relativ zu ihm unabhängig ist. In diesem Fall kann Licht kein Strom von Korpuskeln, sondern muß eine Welle sein, und die Anschauung verlangt außerdem, daß es einen Träger dieser Welle – eben den Äther – gibt. Zum Beispiel ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Bugwelle eines Schiffes von der Geschwindigkeit ihrer Quelle – des Schiffes – unabhängig. Es ist leicht zu sehen, daß beide Prinzipien zusammen genommen implizieren, daß die Geschwindigkeit des Lichtes auch von der Geschwindigkeit des Beobachters unabhängig ist – in klarem Widerspruch zu der Anschauung von einem Beobachter, der sich relativ zu einer Wellenfront bewegt.

Zwei mächtige Prinzipien also, weil sie nahezu, aber nicht ganz, einen Widerspruch implizieren. Aus ihnen konnte Einstein die Spezielle Relativitätstheorie ableiten (z.B. [12]). Begnügt man sich mit den Kriterien der subjektiven Identität für die Eigenschaft von Transformationen, Symmetrietransformationen zu sein, gibt es keinen Unterschied zwischen den Galilei- und den Lorentz-Transformationen. Denn alle Beobachter, die zusammen mit ihrem System in Bewegung gesetzt wurden, stimmen darin überein, daß sich aus subjektiv identischen Anfangsbedingungen ebenfalls subjektiv identische Abläufe ergeben. Unterschiede zwischen den beiden Symmetriegruppen treten auf, wenn wir entweder nur den Beobachter oder nur das System der Transformation unterziehen. Wählen wir die aktive Interpretation. Angewendet auf das System, nicht aber auf dessen Beobachter, ergibt die Änderung der Geschwindigkeit nach den Regeln der Speziellen Relativitätstheorie ein System, dessen Abmessungen nicht dieselben wie die des ursprünglichen sind, und auch die Uhren beider Systeme gehen nicht gleich. Setzt der Beobachter sowohl des ursprünglichen als auch des transformierten Systems nun aber die Variablenwerte des transformierten Systems und der an ihm beobachteten Abläufe in die Gleichungen seiner Naturgesetze ein, stellt er fest, daß diese, genau wie die ursprünglichen, die Naturgesetze erfüllen.

Genauso ergeben Einsetzungen der durch Galilei-Transformationen umgeformten Variablen nicht-relativistischer Systeme in die für diese Systeme geltenden Naturgesetze deren Symmetrie gegenüber Galilei-Transformationen. Bisher hatten wir bei unserer Diskussion der Bewegungssymmetrien von Naturgesetzen es nur mit Transformationen zu tun, denen real existierende Systeme und deren ebenfalls real existierende Beobachter tatsächlich unterworfen werden können: Diese können verschoben, gedreht und in Bewegung versetzt werden. Das ist auch dann möglich, wenn unbekannt ist, welche Änderungen die Variablen des Systems für einen Beobachter, der derselbe bleibt, erleiden. Nun wenden wir uns Transformationen wie der Spiegelung zu, die nur dadurch durchgeführt werden können, daß ein auf Grund der Transformationsvorschriften abgeänderter Neubau des ursprünglichen Systems angefertigt wird. Wenn und nur wenn wir anthropomorphe Einwände beiseite schieben, können wir in solchen Fällen eine Äquivalenz von aktiver und passiver Interpretation der Transformation behaupten. Denn es wird wohl unmöglich bleiben, das Spiegelbild oder gar das ›ladungskonjugierte‹ Bild eines Beobachters in der Wirklichkeit aufzubauen. Für alle Folgerungen reicht aber die Kenntnis aus, wie sich das transformierte System dem ursprünglichen Beobachter darbieten würde.

Wir wollen nach den Kriterien dafür fragen, ob eine vorgegebene Transformation der Zustandsvariablen und möglicherweise der Parameter eines physikalischen Systems eine Symmetrietransformation der für das System geltenden Naturgesetze ist. Weiter unten wird die Unterscheidung zwischen Transformationen, die neben den Zustandsvariablen eines Systems auch dessen Parameter – genau genommen also das System selbst – verändern, wichtig sein. So gilt das Theorem von Emmy Noether nur für Symmetrietransformationen, die das System dasselbe sein lassen. Für allgemeine Einsichten ist der Unterschied beider Symmetrietransformationen aber unwichtig (siehe auch Abschnitt 9).

11 Unbeobachtbarkeit und Symmetrie der Naturgesetze

Die anschauliche physikalische Bedeutung von Symmetrietransformationen soll am Beispiel einer Pendeluhr erörtert werden. Die Transformation, die wir uns ansehen wollen, ist die Spiegelung der Uhr in einem aufrecht stehenden Spiegel. Wir wollen die Zustände der Uhr und ihres Spiegelbildes als Zustände desselben physikalischen Systems interpretieren. Die Leserin, der dies zu gewagt erscheint, möge die Gleichungen weiter unten, für die allein diese Interpretation wichtig sein wird, als Beschreibungen von Systemen von massiven Elementarteilchen ansehen, auf die sie zweifelsohne zutrifft.

Gegeben seien eine Pendeluhr in einem gewissen Anfangszustand ihrer Bewegung und der (Geschwindigkeiten eingeschlossen) exakte Nachbau ihres Spiegelbildes in der Wirklichkeit (siehe Abb. 8 ). Diese Vorgaben, die, anders als für masselose Teilchen, für Pendeluhren zumindest im Prinzip immer erfüllt werden können, garantieren, daß zur Anfangszeit

das Bild der Uhr im Spiegel und der Nachbau ihres Spiegelbildes in der Wirklichkeit identisch sind. Wir können auch sagen, daß das System aus der wirklichen Uhr und dem Nachbau ihres Spiegelbildes anfangs insgesamt spiegelsymmetrisch ist. Es steht aber nicht in unserer Macht, zu erreichen, daß das im Laufe der Zeit so bleibt – daß also die Uhr, im Spiegel betrachtet, von dem Nachbau ihres Spiegelbildes auch weiterhin nicht unterschieden werden kann. Darüber entscheiden allein die für die beiden wirklichen Uhren geltenden Naturgesetze. Wenn es aber so ist, kann allein auf Grund dieser Naturgesetze nicht entschieden werden, ob wir die ursprüngliche Uhr oder den Nachbau vor uns haben. Dann, und nur dann, sind die Naturgesetze für die Uhr spiegelsymmetrisch.

12 Noether-Theorem

Insgesamt impliziert Symmetrie der Naturgesetze, wenn gültig, einen Schließungssatz, und aus ihm folgt sofort das Noether-Theorem der Quantenmechanik. Den Beweis wollen wir für die Spiegelsymmetrie am Beispiel der Pendeluhr unter der bereits erwähnten Voraussetzung führen, daß deren Zustände und die ihres realen Spiegelbildes als Zustände desselben physikalischen Systems

aufgefaßt werden können. Sei

der Zustand der Uhr (a) zur Zeit

und

der Zustand ihres Spiegelbildes (c) zu derselben Zeit. Mit

, worin

für den hermiteschen Hamilton-Operator steht, bezeichnen wir den Zeitentwicklungsoperator des Systems

. Als Anfangszustand

der Uhr (a) können wir irgendeinen ihrer Zustände wählen; in der Abbildung ist es jener, in dem das Zifferblatt 4:05 zeigt. Die Operation der Spiegelung im Zustandsraum von

heiße

, die Paritätsoperation. Dann können wir den Zustand

, in dem das Zifferblatt von (c) das Spiegelbild dessen von (a) ist, als

schreiben. Aus dem Zustand

entwickelt sich im Laufe der Zeit der Zustand

, und genauso

. Daß bei Spiegelsymmetrie der für beide geltenden Naturgesetze deren Zustände nicht nur für

, sondern für alle

durch die Spiegelung auseinander hervorgehen, ihre Zifferblätter also zu allen Zeiten Spiegelbilder voneinander sind, drückt offenbar die Gleichung

aus. Oder, eingesetzt,

– ein Schließungssatz. In Worten: Das Ergebnis der beiden Operationen ›eine Zeit

abwarten‹

und ›spiegeln‹

ist von der Reihenfolge unabhängig, in der die Operationen angewendet werden. Erst abwarten, dann spiegeln ergibt dasselbe wie erst spiegeln, dann abwarten. Da wir als Anfangszustand einen beliebigen Zustand der Uhr (a) oder auch des Nachbaus ihres Spiegelbildes (c) wählen können, erhalten wir die Operatorengleichung

oder

, und für kleine

ergibt sich durch Entwickeln der Exponentialfunktion

– der Operator der Parität vertauscht mit dem Hamilton-Operator, und daraus folgt, daß

, berechnet als Operator im Heisenberg-Bild, zeitlich konstant ist. Direkter können wir die Bedeutung unseres Resultats so herleiten: Seien

und

zwei beliebige Zustände eines physikalischen Systems zur Zeit

, und seien die Naturgesetze für das System spiegelsymmetrisch. Dann gilt nach dem bisher abgeleiteten

Folglich ist das Übergangselement von

von einem beliebigen Zustand zu einem beliebigen anderen zeitlich konstant, und die Wahl

garantiert dasselbe für den Erwartungswert

von

in beliebigen Zuständen. Das ist noch nicht ganz ein Erhaltungssatz für eine physikalische Größe, weil uns bisher nicht bekannt ist, ob

eine Observable – ein hermitescher Operator – ist. Das aber folgt aus der Unitarität von

, und diese wiederum aus der Forderung nach der Unbeobachtbarkeit der Transformation durch Beobachter, die Spiegelbilder voneinander sind und die beide in demselben Verhältnis zu ihrer Uhr stehen. In diesem Fall von subjektiver Identität – natürlich genügt es, statt des Spiegelbildes des Beobachters von (a) das Spiegelbild von dessen Meßapparaturen in der Wirklichkeit aufzubauen – müssen alle Meßresultate gespiegelter Apparaturen an gespiegelten Objekten – hier Uhren – mit jenen übereinstimmen, die der ursprüngliche Beobachter ermittelt. In der Quantenmechanik werden Meßapparaturen durch Zustände des zu vermessenden Systems beschrieben: Ist

der Zustand, in dem sich das zu vermessende System befindet, und wird gefragt, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich jenes Ergebnis ergibt, das immer herauskommen würde, wenn der Zustand

statt

wäre, so lautet die Antwort

. Wenn also die Wirkung der durch

beschriebenen Transformation unbeobachtbar sein soll, muß

gelten, worin das hochgestellte Symbol

hermitesche Konjugation bedeutet. Hinreichend hierfür ist offenbar

, worin

, wie oben eingeführt, für die Identität steht, aber diese Bedingung ist nicht notwendig. Eugène P. Wigner hat gezeigt ([26], S. 233), daß, mit Ausnahme der Transformationen, die eine Umkehr der Richtung der Zeit einschließen, alle (nicht nur zu Wigners Zeit, sondern noch heute) physikalisch interessanten Symmetrietransformationen der Naturgesetze durch lineare Operatoren

beschrieben werden können, die der bereits angegebenen Unitaritätsrelation

genügen. Transformationen, die eine Umkehr der Richtung der Zeit einschließen, können und müssen, wie Wigner ebenfalls gezeigt hat, durch Operatoren beschrieben werden, die zusätzlich zur Wirkung eines unitären Operators den Übergang zu komplex-konjugierten Zahlenwerten einschließen. Solche Operatoren heißen antiunitär. Ein Beispiel bildet der Darsteller

der Zeitumkehroperation selbst; ein anderes der Operator

, worin

für den Darsteller der ›Ladungskonjugation‹ – der Operation der Umkehr aller Ladungen – steht.

Aus dem gesagten folgt, daß bei Spiegelsymmetrie der Naturgesetze der Operator

der Gleichung

genügt. Außerdem muß der Darsteller

der Spiegelung im Raum der Zustände der Tatsache Rechnung tragen, daß zweimalige Spiegelung die Identität ergibt, so daß (bei geeigneter Phasenwahl, die nach Auskunft von Wigners Beweis immer möglich ist) auch

gilt. Damit haben wir zwei Gleichungen erhalten, die zusammen genommen die Hermitezität

von

implizieren, so daß

eine Observable ist. Für sie gilt, wie gezeigt, bei Spiegelsymmetrie der Naturgesetze ein Erhaltungssatz.

Verallgemeinerungen sind mit Ausnahme der die Zeitumkehr enthaltenden Transformationen für alle Symmetrietransformationen der Naturgesetze möglich. Wegen des in die Wirkung von

eingeschlossenen Übergangs zu komplex-konjugierten Zahlenwerten kann den die Zeitumkehr einschließenden Operationen kein hermitescher Operator und damit keine Observable zugeordnet werden. Die Spezialitäten der Sonderfälle mit

berücksichtigen wir im folgenden nicht und können deshalb annehmen,

sei ein linearer Operator mit der Eigenschaft

, also ein unitärer Operator. Wie oben folgt dann, daß alle Übergangsmatrixelemente und insbesondere alle Erwartungswerte von

zeitlich konstant sind. Ist

eine Operation, die – wie

– zweimal angewendet

ergibt, so ist

auch hermitesch, und damit ist der Erhaltungssatz für

einer für eine physikalische Observable. Beispiele bilden die bereits erwähnte Ladungskonjugation

, die zusammengesetzte Operation

sowie eine spezielle Symmetrie der Elementarteilchenphysik, die G-Parität

. Sie alle ergeben zweimal hintereinander angewendet die Identität

.

Außer den

mit

treten als Darsteller von Symmetrieoperationen der Naturgesetze nur Operatoren auf, die Mitglieder einer Schar von Operatoren

sind, die kontinuierlich von Parametern

wie Drehwinkel und Verschiebungsstrecken abhängen. Dies eröffnet die Möglichkeit, die

als

zu schreiben, worin

ein hermitescher Operator ist. Stellt

zum Beispiel die Verschiebungen um den Abstand

in

-Richtung dar, dann steht

für beliebige Verschiebungen in diese Richtung; analog für Drehungen um Achsen und Verschiebungen in der Zeit. Einfach – zum Beispiel durch Differenzieren von

nach

– zu sehen ist auch, daß

als Funktion der

geschrieben werden kann, so daß aus

dieselbe Vertauschbarkeit für den eine Observable darstellenden hermiteschen Operator

, also

oder – äquivalent –

, folgt.

Die Frage, welche Operationen tatsächlich Symmetrieoperationen der Naturgesetze sind, haben wir bisher offengelassen. Die Tabelle faßt unser Wissen über einige physikalisch interessante Operationen zusammen. In ihr steht S für Symmetrie, EHS für Erhaltungssatz. Die Isospinsymmetrie faßt stark wechselwirkende Teilchen – Hadronen – , die sich außer durch ihre Masse nur durch ihre elektrische Ladung unterscheiden wie das Proton und das Neutron, zu Multiplets zusammen. Die SU(3)-Flavor-Symmetrie faßt wiederum Isospin-Multiplets von Teilchen, die aus den leichten Quarks mit den Flavors up, down und strange aufgebaut sind, zu größeren Multipletts zusammen. Diese Symmetrien werden durch die elektroschwache Wechselwirkung, die insbesondere auf Teilchen mit verschiedenen Ladungen verschieden wirkt, und durch Beiträge zur starken Wechselwirkung selbst gebrochen. Die SU(3)-Color- oder Farbsymmetrie ist die grundlegende Symmetrie der durch Gluonen vermittelten Farb-Wechselwirkung der Quarks. Von diesen gibt es bei vorgegebenem Flavor drei Typen, denen zur Unterscheidung drei Farben zugeschrieben werden. Die Farb-Wechselwirkung wirkt auf alle – insgesamt 6 – Quarks mit verschiedenen Flavors gleich; sie ist ›Flavor-blind‹, so daß die Unterschiede in den starken Wechselwirkungen der Quarks mit verschiedenen Flavors durch deren verschiedene Massen, die ihren Ursprung im Higgs-Mechanismus haben, begründet sein müssen.

Die Feststellung ›nicht erhalten‹ in der dritten Spalte der Tabelle bedeutet nicht in allen Fällen denselben Grad der Nichterhaltung. Welche Wechselwirkung welche Symmetrien wie bricht, kann nicht Gegenstand dieses Essays zur Symmetrie, sondern nur eines zur Symmetriebrechung sein. Unter den diskreten Symmetrien der Tabelle spielt die

-Symmetrie eine Sonderrolle. Dies nicht nur deshalb, weil sie als einzige von ihnen eine Symmetrieoperation der Naturgesetze ist, sondern vor allem, weil sie unter der Voraussetzung eine sein muß, daß unsere grundsätzlichen Vorstellungen über die Eigenschaften der Naturgesetze berechtigt sind.

13 Supersymmetrie

Zwei Symmetrieformen der Naturgesetze, die eines besonderen Kommentars bedürfen, berücksichtigt die Tabelle nicht. Erstens die Supersymmetrie, die für jedes Elementarteilchen eines mit einem Spin einfordert, der sich um einen halbzahligen Wert von dem eigenen unterscheidet – zu jedem Fermion gehört (mindestens) ein Boson und umgekehrt. Entdeckt wurde bisher (April 2000) kein Partnerteilchen eines bekannten Teilchens, und deshalb ist unbekannt, ob die Natur diese Symmetrie zumindest als gebrochene Symmetrie besitzt. Ungebrochen kann sie nicht sein, weil dann die Spinpartner der bekannten Teilchen dieselben Massen wie diese besitzen müßten, und das ist nicht so.

14 Lokale Symmetrien

Die zweite in der Tabelle nicht aufgeführte Symmetrieform ist die der lokalen Symmetrien. Die Leserin möge sich an die Parameter

von Transformationen erinnern. Daß diese einfach Zahlen sind, bedeutet, daß überall im Raum und zu allen Zeiten dieselbe Operation auf das System angewendet wird. Läßt man zu, daß die Parameter

vom Ort und/oder von der Zeit abhängen, gelangt man zu den lokalen Verallgemeinerungen der durch konstante

beschriebenen globalen Symmetrieformen.

Die Forderung, daß die Naturgesetze, wenn sie eine globale Symmetrie besitzen, dann auch die lokale Form derselben Symmetrie besitzen müssen, ist ungemein erfolgreich. Durch sie kann die Elektrodynamik genauso begründet werden wie das Standardmodell der elektroschwachen und starken Elementarteilchentheorie und die Allgemeine Relativitätstheorie. Ihre wichtigste Konsequenz ist, daß es Wechselwirkungen geben muß und welche Formen diese besitzen. Freie Teilchen, die Träger einer globalen Symmetrie sind, läßt deren lokale Form nicht zu. In der Quantenfeldtheorie erzwingt sie die Existenz von Austauschteilchen – von Photonen in der Quantenelektrodynamik und zusätzlich die von den W- und Z-Bosonen und den Gluonen im Standardmodell. Fordert man, daß die globalen Symmetrien der Speziellen Relativitätstheorie wie Verschiebungen, Drehungen und Änderungen der Geschwindigkeit auch lokal gelten sollen, kommt man ebenfalls nicht ohne Wechselwirkungen aus. Das Resultat der Forderung nach lokaler Symmetrie ist in diesem Fall die Gravitationswechselwirkung der Allgemeinen Relativitätstheorie ([21], [19]).

Jede globale Symmetrie eröffnet dem Beobachter verschiedene äquivalente Möglichkeiten zur Beschreibung desselben physikalischen Systems. Unter ihnen muß er eine auswählen, wenn er die Gleichungen der Theorie anwenden will – er muß durch Konventionen festlegen, was er frei wählen kann. In der Quantenmechanik muß er die Phase der Wellenfunktion wählen, in der Formulierung der Maxwellschen Elektrodynamik durch Potentiale ist es die Eichung, die er festlegen muß, und die Spezielle Relativitätstheorie erfordert die Wahl eines Koordinatensystems mit einer bestimmten Orientierung und Geschwindigkeit an einer bestimmten Stelle in Raum und Zeit. Die Grundidee der lokalen Symmetrie bei einer vorgegebenen globalen ist nun, daß es möglich sein soll, daß verschiedene Beobachter an verschiedenen Orten und zu verschiedenen Zeiten ihre Konventionen verschieden wählen. Wir müssen offenlassen, ob diese Idee plausibel oder gar zwingend ist. Wenn die Entfernungen zwischen den Beobachtern so groß sind, daß sich deren Apparaturen nicht oder nur vernachlässigbar wenig beeinflussen können, ist die Idee plausibel. Ihre Stärke beruht aber gerade darauf, daß die globale Form der Symmetrie für beliebige Abstände in Raum und Zeit gefordert wird, denn erst daraus folgt, daß es Wechselwirkungen zwischen den Objekten der Theorie geben muß. Das soll die Abb. 9 für Verschiebungen im Raum plausibel machen.

15 Higgs-Symmetriebrechung

Ob die Idee von der lokalen Symmetrie plausibel ist oder nicht – auf jeden Fall ist sie ungemein erfolgreich. So erfordert die lokale Phasensymmetrie für geladene Teilchen die Existenz von Eichfeldern, die gleichzeitig mit der Phasentransformation einer der aus der Elektrodynamik bekannten Eichtransformation unterworfen werden, so daß die Eichfelder klassisch mit den elektromagnetischen Potentialen und quantenmechanisch mit den Photonenfeldern zu identifizieren sind. Aus der Verallgemeinerung dieser Forderung auf die globalen Symmetriegruppen der elektroschwachen und der starken Wechselwirkungen folgt, wie bereits erwähnt, die Existenz von deren Austauschteilchen und die Form der Wechselwirkungen der Quarks und Leptonen mit ihnen. Als Bonus kommt hinzu, daß die Konsequenzen dieser lokal symmetrischen Theorien berechnet werden können; das Schlagwort hier ist Renormierung. Andererseits müssen die lokalen Symmetrien gebrochen sein, weil zu ihren Konsequenzen gehört, daß alle Austauschteilchen, auch die Z- und W-Bosonen, die Masse Null besitzen, und das ist experimentell falsch. Im eigentlichen Sinn gebrochen sind die lokalen Symmetrien nun aber nur auf der Ebene der Erscheinungen; tatsächlich sind sie nicht gebrochen, sondern nur verborgen durch ein Phänomen, das nach dem britischen Physiker Peter Higgs als Higgs-Mechanismus bezeichnet wird und hier nur erwähnt werden soll.

Literatur:

[1] S.J. Abas und A.S. Salman, Symmetries of islamic geometrical patterns, World Scientific, Singapur, 1995.

[2] H.J. Albrecht und R. Koella, Hans Hinterreiter, Waser Verlag, Buchs-Zürich, 1982.

[3] K. Bongartz, W. Borho, D. Mertens und A. Steins, Farbige Parkette, Birkhäuser, Basel, 1988.

[4] B. Ernst, Der Zauberspiegel des M.C. Escher, Verlag Heinz Moos, München, 1978.

[5] R.P. Feynman, R.B. Leighton und M. Sands, Feynman Vorlesungen über Physik, Band 1, Oldenbourg, München, 1991.

[6] H. Genz, Dynamische Symmetrien, Praxis der Naturwissenschaften – Physik, 38 (5), S. 9, Juli 1989.

[7] H. Genz, Statische Symmetrien, Praxis der Naturwissenschaften – Physik, 38 (5), S. 2, Juli 1989.

[8] H. Genz, Symmetrien spezieller Systeme, Praxis der Naturwissenschaften – Physik, 38 (6), S. 39, September 1989.

[9] H. Genz, Lineare und ebene Kristalle, Physik in unserer Zeit, 17 (2), S. 56, März 1986.

[10] H. Genz, Symmetrie – Bauplan der Natur, Piper, München, 1987 (Originalausgabe).

[11] H. Genz, Symmetrie – Bauplan der Natur, Piper, München, 1992 (Taschenbuchausgabe).

[12] H. Genz, Gedankenexperimente, Wiley-VCH, Weinheim, 1999.

[13] H. Genz und R. Decker, Symmetrie und Symmetriebrechung in der Physik, Vieweg, Braunschweig, 1991.

[14] H. Hinterreiter, Retrospective Exhibition 1930-1985, Herbert F. Johnson Museum of Art, Ithaca, 1986.

[15] R.M.F. Houtappel, H.van Dam und E.P. Wigner, The conceptual basis and use of the geometrical invariance principles, Rev. Mod. Phys. 37(1965), S. 595.

[16] E.H. Lockwood und R. H. Macmillan, Geometric symmetry, Cambridge University Press, Cambridge, 1978.

[17] C.H. Macgillavry, Symmetry Aspects of M. C. Escher's Periodic Drawings, Bohn, Scheltema & Holkema, Utrecht, 1976.

[18] C. Müller, Symmetrie und Ornament, Vorträge der Rheinisch-Westfälischen Akademie der Wissenschaften, N339 (1985), S.15.

[19] K. Moriyasu, An elementary primer for Gauge Theories, World Scientific, Singapur, 1983.

[20] D. Schattscheider, Visions of Symmetry, Freeman, New York, 1990.

[21] R. Utiyama, Invariant theoretical interpretation of interaction, Phys. Rev. D101 (1956), S. 1597.

[22] D.K. Washburn und D.W. Crowe, Symmetries of Culture, University of Washington Press, Seattle, 1988.

[23] H. Weyl, Symmetrie, Birkhäuser, Basel, 1955.

[24] A.S. Wightman, Relativistic invariance and quantum mechanics, Supplemento al Nuovo Cimento, XIV, Serie X (1959), S.81.

[25] E.P. Wigner, Invariance in Physical Theory, in: [27], S. 3.

[26] E.P. Wigner, Group Theory, Academic Press, New York, 1959.

[27] E.P. Wigner, Symmetries and Reflections, Indiana University Press, Bloomington, 1967.

Symmetrie: Physikalisch interessante Operationen (S: Symmetrie, EHS: Erhaltungssatz).

Operationen Observable (außer und ) Status unbeobachtbare Größen
Verschiebungen im Raum	Impulskomponenten	erhalten	absoluter Ort
Verschiebung in der Zeit	Energie; Hamilton-Operator	erhalten	absolute Zeit
Drehungen	Komponenten des Gesamtdrehimpulses	erhalten	absolute Richtung im Raum
Raumspiegelung	Parität	nicht erhalten	absolute Händigkeit
Ladungskonjugation		nicht erhalten	absolute Ladungsvorzeichen
		nicht erhalten	siehe Operation
Zeitumkehr		keine S, kein EHS	absolute Richtung der Zeit
		S ohne EHS	siehe Operation
Isospin-Transformationen	Isospinkomponenten	nicht erhalten	siehe Operation
Flavor-Transformationen	Operatoren der Flavor-SU(3)	nicht erhalten	siehe Operation
Color-Transformationen	Operatoren der Color-SU(3)	erhalten	siehe Operation
Phasenwahl für Wellenfunktionen	elektrische Ladung	erhalten	absolute Phase

Symmetrie 1: Die Symmetrien von Schneekristallen werden im Text beschrieben. (Quelle: [7])

Symmetrie 2: Die Konstruktion der Abbildung zeigt, daß Objekte, die durch die Spiegelungen an zwei aufeinander senkrecht stehenden Geraden nicht geändert werden, auch die Drehung um

um den Schnittpunkt der beiden Geraden als Symmetrieoperation besitzen. Das ist so, weil die Spiegelungen hintereinander ausgeführt die Drehung ergeben. (Quelle: [7])

Symmetrie 3: Jede der sieben aus Haken aufgebauten Abbildungen a)–g) besitzt eine andere der sieben Symmetriegruppen von Bandornamenten als ihre Symmetriegruppe. Die Abbildungen rechts davon kennzeichnen durch Geradenstücke und Rhomben die jeweiligen Spiegel- und Drehsymmetrie (um

Grad!). Der allen Abbildungen gemeinsame Mindestabstand der Verschiebungssymetrie ist das

der Abb. 3r1. (Quelle: [9])

Symmetrie 4: Das doppelt verschiebungssymmetrische Muster der Abb. c wurde aus dem Kreissegment der Abb. a über den Zwischenschritt der Abb. b mit Hilfe eines Computerprogramms des Autors konstruiert. Die Abb. d stellt die Symmetrien des Musters symbolisch dar. (Quelle: [11])

Symmetrie 5: Vier Bandornamente und (c) eine einfach verschiebungssymmetrische dreidimensionale Figurenreihe, die Steinkopfreihe auf einer der Osterinseln. Ihre Symmetriegruppe unterscheidet sich von der der Abbildungen (a) und (d) sowie der Abb. 3d nur dadurch, daß sie statt der Spiegelungen in der Ebene an Geraden Spiegelungen im Raum an Ebenen enthält. (Quelle: [11])

Symmetrie 6: a) Zwölf Schüler von einem Steinkreuz im irischen Kildare; b) ägyptisches Ornament; c) mit dem Programm SYMMETRIE hergestelltes Muster; d) Batik aus Java. Wie alle Darstellungen mit angedeuteter Verschiebungssymmetrie, hat man sich auch die vier dieser Abbildung als in alle Verschiebungsrichtungen ins unendliche fortgesetzt zu denken, um das gemeinte aktuell verschiebungssymmetrische Gebilde zu erhalten. (Quelle: [11])

Symmetrie 7: Das chinesische Yin-Yan ist farbsymmetrisch.

Symmetrie 8: Das Spielbild (b) einer Uhr (a) werde in der Wirklichkeit aufgebaut (c). Die für die Uhr und ihr Spiegelbild geltenden Naturgesetze sind dann und nur dann spiegelsymmetrisch, wenn die beiden wirklichen Uhren auch im Laufe der Zeit Spiegelbilder voneinander bleiben, die Uhr (c) also so geht wie die Uhr (a), im Spiegel betrachtet. (Quelle: [6], [13])

Symmetrie 9: Durch eine Verschiebung, deren Parameter eine Funktion des Ortes ist, entstehe aus der geraden Bahn der ausgebrannten Rakete im ansonsten leeren Raum (a) die Bahn (b). Zwar nicht im leeren Raum, aber im Schwerefeld der Masse (c) bewegt sich die Rakete im Einklang mit den Naturgesetzen. Die Allgemeine Relativitätstheorie, die aus der Forderung der lokalen Verschiebungs- und Lorentz-Symmetrie folgt, kennt kein Schwerefeld. Sie führt die gebogene Bahn auf eine durch die lokale Transformation bewirkte Krümmung des Raumes zurück. Die Forderung nach dieser Symmetrie ergibt die Existenz von Gravitonen als Austauschteilchen der Allgemeinen Relativitätstheorie und deren Kopplung an Massen. (Quelle: [6], [13])