Mathematische Unterhaltungen: Mandelpinskis

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Mathematische Unterhaltungen: Mandelpinskis

Eine unscheinbare Änderung an einer Formel eröffnet den Weg zu neuen Objekten der fraktalen Geometrie.

Eine einfache mathematische Formel hat es außerhalb des eigenen Fachs zu erstaunlich großer Popularität gebracht:

\(f(z) = z^2 + c \)

Das liegt im Wesentlichen daran, dass man mit ihrer Hilfe viele detailreiche und farbenfrohe Bilder produzieren kann, allen voran die berühmte Mandelbrot-Menge. Die merkwürdigen Teilmengen der Ebene (»Fraktale«), die dabei entstehen und so gar nicht in klassische Konzepte der Geometrie passen wollen, sind Gegenstand der Theorie dynamischer Systeme, die früher den – zu eng gefassten – Namen Chaostheorie trug.

Wie jede mathematische Theorie strebt auch diese nach Verallgemeinerung. Dementsprechend haben verschiedene Forscher die obige Formel durch diverse, etwas weniger einfache ersetzt und neuartige Fraktale gefunden …

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Quellen

Blanchard, P. et al.: The Rabbit and Other Julia Sets Wrapped in Sierpinski Carpets. In: D. Schleicher (Hg.): Complex Dynamics. Families and Friends. A K Peters, Wellesley, Massachusetts 2009

Devaney, R. L. et al.: The escape trichotomy for singularly perturbed rational maps. Indiana University Mathematics Journal 54, 2005

Milnor, J.: Geometry and Dynamics of Quadratic Rational Maps. With an Appendix by Milnor and Tan Lei. Experimental Mathematics 2, 1993

Steinmetz, N.: On the dynamics of the McMullen family R(z)=z^m+\lambda / z^l. Conformal geometry and dynamics Volume 10, 2006

Steinmetz, N.: Sierpinski Curve Julia Sets of Rational Maps. Computational Methods and Function Theory 6, 2006

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