Wenn ein Mathematiker am Ende einer Vortragsreihe mit dem unscheinbaren Titel "Modulformen, elliptische Kurven und Galois-Darstellungen" ein Theorem beweist, interessiert das in der Regel bestenfalls die vielleicht 50 Fachkollegen in der Welt, die davon etwas verstehen. Aber nachdem der an der Universität Princeton (New Jersey) tätige englische Zahlentheoretiker Androw Wiles am 23. Juni dieses Jahres in Cambridge (England) genau das getan hatte, eilten die Zuhörer zu ihren Computern und verbreiteten binnen weniger Stunden das Ergebnis mit der elektronischen Post über die ganze Welt. Nicht nur die Fachwelt geriet in Erregung – auch die Massenmedien befassen sich intensiv damit: Solche Beachtung genießt die als besonders weltfern verschrieene Wissenschaft vielleicht einmal in 100 Jahren.

Die ungewöhnliche Aufmerksamkeit für das spröde Thema rührt daher, daß Wiles eine berühmte Frage beantwortet hat, die mehr als 350 Jahre lang jedem Angriffsversuch widerstanden hatte.

Pierre de Fermat (1601 bis 1665), im Hauptberuf Parlamentsrat in Toulouse, betrieb in seiner Freizeit die Mathematik so kreativ, daß er heute zu den Großen seiner Zunft gerechnet wird. Wesentliche Beiträge zu Algebra und Zahlentheorie tragen seinen Namen. An den Rand eines Buches des Griechen Diophantos von Alexandria, der im 3. Jahrhundert die Zahlentheorie begründete, schrieb er – vermutlich 1637 – die sprichwörtlich gewordene Bemerkung: "Es ist ganz unmöglich, einen Kubus in zwei Kuben, ein Biquadrat in zwei Biquadrate und allgemein irgendeine Potenz außer dem Quadrat in zwei Potenzen von demselben Exponenten zu zerfällen. Hierfür habe ich einen wahrhaft wunderbaren Beweis entdeckt, aber dieser Rand ist zu schmal, ihn zu fassen."

Offenbar fand er bis zu seinem Tode kein geeignetes Papier zur Niederschrift des Beweises – wenn er sich nicht ohnehin geirrt hat. Man suchte nicht nur vergebens danach in seinem Nachlaß; es gelang auch in den folgenden 300 Jahren trotz zahlreicher und intensiver Bemühungen nicht, einen Beweis zu finden – oder ein Gegenbeispiel, das seine Vermutung widerlegt hätte. Das war um so frustrierender, als die Behauptung nicht schwer zu verstehen ist und stützende Beispiele leicht zu finden sind. So wurde die Fermatsche Vermutung zum Paradebeispiel eines über die Jahrhunderte ungelösten Problems.

Es geht um die Gleichung aⁿ + bⁿ = cⁿ, wobei a, b, c und n ganze Zahlen sein sollen. Für n= 2 hat sie unendlich viele Lösungen. Zum Beispiel ist 3² + 4² = 5²; nach dem Satz des Pythagoras folgt daraus, daß ein Dreieck mit den Seitenlängen 3, 4 und 5 rechtwinklig ist. Weitere Beispiele sind 5, 12, 13 und 8, 15, 17. Die Fermatsche Vermutung besagt nun, daß es für n größer als 2 keine Lösung der Gleichung gibt (abgesehen von dem trivialen Fall, daß eine der Zahlen a, b, c gleich null ist).

Das Problem motivierte die Mathematiker zur Erarbeitung ganzer Theorien von eigenständigem Wert (vergleiche "Sophie Germain" von Amy Dahan Dalmédico, Spektrum der Wissenschaft, Februar 1992, Seite 80). Im Laufe der Zeit gelang es, die Vermutung für alle n unterhalb einer sechsstelligen Zahl zu beweisen und für unendlich viele Werte oberhalb dieser Schranke – aber eben nicht für alle n.

Fermat hatte mit seiner Vermutung gleichsam einen einzeln stehenden Pfeiler in unbekannten Untergrund gerammt; Wiles hat nun das letzte Glied in einer vielteiligen Brücke konstruiert, die diesen Pfeiler mit bekanntem Gelände verbindet. Für einen einzigen großen Brückenschlag war die Fermatsche Vermutung zu weit vom Festland entfernt: Die Konstruktion mußte sich auf einen wei teren Pfeiler stützen, eine Vermutung, die der Japaner Yukata Taniyama 1954 aufgestellt hat. Und wie vielfach im Brückenbau war das letzte noch einzusetzende Glied nicht das End-, sondern ein mittleres Verbindungsstück: Es gab bereits einen Zusammenhang zwischen den Vermutungen von Taniyama und Fermat, der sich seinerseits auf die Theorie der sogenannten elliptischen Kurven stützt. Wiles hat den Kontakt zum Festland hergestellt, indem er die Vermutung von Taniyama bewiesen hat.

Von Taniyama zu Fermat

Taniyamas Aussage – wie die Fermats an vielen Beispielen bestätigt – lautet, daß man eine Klasse mathematischer Objekte mit dem irreführenden Namen "elliptische Kurven" in eine spezielle Ordnung bringen könne, so daß über sie zahlreiche Strukturaussagen möglich sind. Andererseits gelang es 1986 dem Zahlentheoretiker Gerhard Frey, der seit 1990 am Institut für experimentelle Mathematik der Universität Gesamthochschule Essen arbeitet, die Fermatsche Vermutung mit gewissen elliptischen Kurven in Beziehung zu setzen.

Damit verläuft der Beweis der Fermatschen Vermutung über die mittlerweile gangbare Brücke ungefähr wie folgt: Angenommen, es gäbe eine Lösung der Fermatschen Gleichung. Dann hätte die zugehörige elliptische Kurve einerseits eine äußerst ungewöhnliche Eigenschaft, in der Fachsprache: Sie wäre nicht modular. Gleichzeitig müßte sie über andere Eigenschaften verfügen, aus denen man mit Hilfe von Taniyamas Vermutung schließen kann, daß sie doch modular ist. Damit ist die Annahme, die Fermatsche Gleichung hätte eine Lösung, zum Widerspruch geführt.

Der Beweis kann hier nur skizziert werden (siehe Kasten auf den Seiten 14 und 15) und ist im Detail auch für Fachleute sehr schwierig; gleichwohl erwarten die Spezialisten, daß er der jetzt fälligen Überprüfung standhalten wird. Der Grund für diese Zuversicht liegt darin, daß Wiles sich zum einen durch andere Arbeiten bereits Respekt in der Fachwelt verschafft hat und zum anderen für seinen Beweis erkennbar nur wohletablierte Techniken verwendet – allerdings in äußerst raffinierter Kombination.

Gerüchteweise hieß es, Wiles habe vor zwei Jahren – nach siebenjährigen Vorarbeiten – bereits ein Teilergebnis erzielt, es aber für sich behalten, weil er den Ruhm für den vollständigen Beweis mit niemandem teilen wollte. Wenn das stimmt, dann hat er sich möglicherweise die Fields-Medaille, die dem Nobelpreis gleich geachtete Ausgleichnung für Mathematiker, entgehen lassen; denn die dafür gültige Altersgrenze von 40 Jahren hat er inzwischen überschritten.

Daß er eine Weltsensation nicht mit einem Paukenschlag, sondern ohne Vorwarnung, geradezu beiläufig als Anmerkung zu einem anderen mathematischen Satz verkündet hat, ist nicht nur mit britischem Understatement zu erklären. Für die Zahlentheorie war die Fermatsche Vermutung zwar eine quälende Herausforderung, für ihren inneren Aufbau jedoch nicht bedeutend. An ihrer Gültigkeit hängt keine Theorie oder Arbeitsmethode, ganz im Gegensatz zu Taniyamas Vermutung. Deren Beweis – der als viel schwieriger oder gar unmöglich eingeschätzt worden war – eröffnet eine Fülle von Verwendungsmöglichkeiten.

Gleiches gilt für die Vermutung des britischen Mathematikers Louis Joel Mordell (1888 bis 1972), für deren Beweis der damals in Wuppertal tätige Gerd Faltings 1986 die Fields-Medaille erhielt (Spektrum der Wissenschaft, September 1983, Seite 16, Oktober 1986, Seite 14, und Mai 1987, Seite 16). Er liefert ebenfalls ein Teilstück zu einer – noch nicht vollendeten – Brücke, die bis zur Fermatschen Vermutung reichen könnte; aber seine eigentliche Bedeutung liegt in seiner Verwendbarkeit innerhalb der Zahlentheorie.

Aus der Sicht der Mathematiker ist daher das nunmehr erreichte Ziel gar nicht so wichtig wie der Weg dorthin.

 

 

Elliptische Kurven

Elliptische Kurven sind keine Ellipsen. Sie tragen ihren Namen, weil sie bei der Berechnung der Bogenlänge von Ellipsen eine wesentliche Rolle spielen. Will man etwa die Länge des Weges wissen, den ein Planet auf seiner ellipsenförmigen Bahn um die Sonne in einer gegebenen Zeit zurücklegt, muß man ein Integral über eine Funktion ausrechnen, die ihrerseits mit elliptischen Kurven zusammenhängt.

Es ist auch nicht die Kurve im landläufigen Sinne, die krumme Linie auf dem Papier, die den Mathematiker vorrangig interessiert. Die krumme Linie ist dadurch definiert, daß ihre Punkte eine Gleichung erfüllen. Beispielsweise ist der Einheitskreis die Menge aller Punkte (x,y), für die x²+y²–1=0 gilt. Deshalb sprechen die Mathematiker auch dann von einer Kurve, wenn sie eine Gleichung mit zwei Unbekannten x und y meinen, und von einer algebraischen Kurve, wenn diese Gleichung – wie im obigen Beispiel – durch ein Polynom gegeben ist. Ein Polynom wie x² + y² – 1 oder 7x³y²+2xy–3x+1 ist eine Summe von Ausdrücken, die ihrerseits Produkte aus konstanten Koeffizienten und Potenzen von x und y sind.

Elliptische Kurven sind algebraische Kurven, deren Polynom von der speziellen Gestalt x³ + Ax² + Bx + C – y² ist, wobei die Koeffizienten A, B und C noch weitere Bedingungen erfüllen. Diese laufen darauf hinaus, daß die krumme Linie keine sogenannten Singularitäten hat; das sind Punkte, in denen sich die Kurve selbst überschneidet, oder sogenannte Kuspen, Spitzen, in denen sich zwei Äste der Kurve mit gemeinsamer Tangente treffen. Durch Koordinatentransformation kann sich die Form des Polynoms noch ändern; wichtig ist, daß es die Terme x³ und y² enthält und höhere Potenzen von x oder y nicht vorkommen. Für die Zwecke der Zahlentheorie müssen außerdem die Koeffizienten ganze Zahlen sein.

Eine herausragende Eigenschaft elliptischer Kurven ist, daß man auf ihnen addieren kann: Zu je zwei Punkten P und Q der Kurve gibt es stets einen dritten – den man dann P+ Q nennt – mit der Eigenschaft, daß die so definierte Addition die üblichen Rechenregeln erfüllt. Das neutrale Element dieser Addition ist der unendlich ferne Punkt der Kurve. Es gibt eine Formel, um aus den Koordinaten von P und Q diejenigen von P + Q zu berechnen, und eine geometrische Konstruktion: Wenn eine Gerade eine elliptische Kurve in drei Punkten P, Q und R schneidet, dann ist P + Q + R = O. Das Bild zeigt die (aus zwei Teilen bestehende) Kurve y²+y = x³ – x, den Punkt P = (0,0) sowie einige seiner Vielfachen: 2P = P + P und so weiter.

Eine überraschende Verbindung zur komplexen Analysis (Funktionentheorie) ergibt sich, wenn man die Koeffizienten und die Unbekannten der elliptischen Kurve als komplexe Zahlen auffaßt. Mit Hilfe der Weierstraßschen p-Funktion, die in der Funktionentheorie eine prominente Rolle spielt, kann man nämlich gewissermaßen eine parallelogrammförmige Landkarte verfertigen, so daß jedem Punkt der Landkarte ein Punkt der elliptischen Kurve entspricht. Wie man sich bei einer Weltkarte den rechten und den linken Rand an der internationalen Datumsgrenze miteinander verklebt vorstellen muß, so sind hier die jeweils gegenüberliegenden Ränder des Parallelogramms miteinander zu verkleben, so daß sich ein Torus (Autoschlauch) bildet.

Da jede komplexe Zahl aus zwei reellen besteht, ist eine elliptische Kurve über den komplexen Zahlen ein zweidimensionales Gebilde im vierdimensionalen Raum und damit jenseits unseres Vorstellungsvermögens; die Parallelogramm-Landkarte ermöglicht jedoch trotzdem die Aussage, daß eine elliptische Kurve die Geometrie eines Tonus hat: an jeder Stelle glatt, mit genau einem Loch. Die Addition auf der Kurve entspricht der Vektoraddition im Parallelogramm (wobei ein Vektor, der eine Klebegrenze überschreitet, auf der anderen Seite entsprechend fortzusetzen ist).

Verbindung zur Fermatschen Vermutung

Was hat nun die Fermatsche Vermutung mit algebraischen Kurven – oder auch Polynomen in x und y – zu tun? Die Behauptung lautet, die Gleichung aⁿ + bⁿ = cⁿ habe für n > 2keine ganzzahlige Lösung (abgesehen von dem uninteressanten Fall, daß eine der drei Zahlen a, b, c gleich null ist). Man dividiere diese Gleichung durch cⁿund führe die neuen Variablen x = a/c und y = b/c ein. Es ergibt sich die Gleichung xⁿ + yⁿ – 1 = 0. Wenn die zugehörige Kurve einen rationalen Punkt hätte – das heißt, wenn es eine Lösung (x,y) der Gleichung gäbe, in der sowohl x als auch y rationale Zahlen sind –, dann könnte man die Gleichung mit dem Hauptnenner von x und y multiplizieren und erhielte eine Lösung der Fermatschen Gleichung. Die Mordellsche Vermutung besagt gerade, daß es für n >3 höchstens endlich viele solcher Punkte geben kann.

Merkwürdigerweise hat Wiles für seinen Beweis der Fermatschen Vermutung diese Kurve und die Mordellsche Vermutung gar nicht venwendet. Vielmehr hat die elliptische Kurve, mit der Gerhard Frey 1986 die Fermatsche Gleichung in Beziehung setzte, das Polynom x(x – aⁿ)(x+bⁿ) – y². Wenn es eine Lösung (a,b,c)der Fermatschen Gleichung gäbe, dann – so konnte Frey beweisen – wäre die zugehörige elliptische Kurve "semistabil gegenüber Reduktionen modulo jeder Primzahl"; so der Fachausdruck. Das zusammen mit anderen, gleichfalls herleitbaren Eigenschaften galt allgemein als unmöglich, eine Vorstellung, die Wiles durch seinen Beweis jetzt bestätigt hat.

Reduktion modulo einer Primzahl läuft darauf hinaus, Spielzeugvarianten der elliptischen Kurve zu untersuchen. Man geht von der Forderung ab, die Unbekannten und die Koeffizienten der algebraischen Gleichung müßten Zahlen sein. Es genügt, wenn man sie nach den üblichen Regeln addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren kann, damit die Gleichung weiterhin einen Sinn hat. Was genau die Objekte sind, die man da addiert oder multipliziert, und was unter diesen Rechenoperationen zu verstehen ist – das zu definieren hat man beträchtliche (und weidlich genutzte) Freiheit, die nur durch die Forderung nach Gültigkeit der Rechenregeln eingeschränkt wird. Eine Menge, deren Elemente man durch alle vier (geeignet definierten ) Grundrechenarten miteinander verknüpfen kann, heißt ein Körper.

Die Körper IFp, auf die es hier ankommt, können sehr klein sein: Sie haben p Elemente, wobei p eine beliebige Primzahl ist. Man nennt die Elemente 0, 1, 2, ... p – 1 und rechnet mit ihnen wie mit den gleichnamigen natürlichen Zahlen; nur wenn das Ergebnis nicht zwischen 0 und p – 1 liegt, dividiert man es durch p und ersetzt es durch den Rest, der bei dieser Division bleibt. Eine beliebige Gleichung unter ganzen Zahlen kann man in eine Gleichung unter den Elementen von IF_p verwandeln, Indem man jeden Term links und rechts vom Gleichheitszeichen "modulo p nimmt" das heißt durch seinen Rest bei Division durch p ersetzt.

Somit hat auch eine Polynomgleichung wie x³+ Ax² + Bx + C – y² = O, modulo p genommen, in IFp einen Sinn, und die Menge ihrer Lösungen (x,y) heißt nach wie vor eine algebraische Kurze, obgleich man sich beim besten Willen nichts Krummes mehr darunter vorstellen kann. Man spricht sogar von Singularitäten solcher Kurven. Das ist zunächst kurios, denn eigentlich ist eine Singularität eine Stelle, wo die Tangenten an die Kurve Besonderheiten aufweisen, und damit es Tangenten überhaupt gibt, muß man differenzieren und insbesondere Grenzwerte unendlicher Folgen bilden können – einigermaßen abwegig in einem Körper mit nur endlich vielen Elementen. Glücklicherweise gibt es eine algebraische Formel für das Differenzieren von Polynomen. Die nimmt man modulo p und verwendet sie zur Definition von Singularität.

So kann man jede elliptische Kurve reduzieren, das heißt modulo p nehmen; die reduzierte Kurve hat möglicherweise gänzlich andere Eigenschaften als die ursprüngliche, erbt aber doch gewisse ihrer Strukturmerkmale, so daß man von der reduzierten Kurve auf die ursprüngliche zurückschließen kann. Hätte die Fermatsche Gleichung eine Lösung, dann würde die von Frey angegebene zugehörige elliptische Kurve bei der Reduktion modulo jeder Primzahl höchstens Überkreuzungspunkte, aber keine Kuspen bekommen. Das ist mit "Semistabilität" gemeint.

Die Vermutung von Taniyama

"Jede semistabile elliptische Kurve ist modular." Hinter dieser kurzen Formulierung von Taniyamas Vermutung steckt die Behauptung, daß es eine Beziehung dieser Kurven zu algebraischen Kurven einer anderen Art, sogenannten Modulkurven, gibt. Kurioserweise sind diese Modulkurven man bezeichnet sie in der Regel mit X₀(N), wobei N eine natürliche Zahl ist – selbst über elliptische Kurven definiert: Die Unbekannten – oben x und y genannt – der zugehörigen Polynomgleichung heißen hier j und j_Nund haben eine Bedeutung als Zahlen, die zur Charakterisierung einer Klasse einander nahe venwandter elliptischer Kurven beitragen. Aber diese elliptischen Kurven haben mit denen zur Fermat-Gleichung zunächst nichts zu tun.

Eine elliptische Kurve heißt modular, wenn die zugehörige Modulkurve als erschöpfende Landkarte für sie dienen kann, wenn es also – technisch – ausgedrückt eine surjektive, durch ein Polynom definierte Abbildung von Xo(N) auf die elliptische Kurve gibt. ( Die natürliche Zahl N ist in diesem Fall eine Größe, welche die elliptische Kurve charakterisiert; es handelt sich nicht um den Exponenten n in der Fermat-Gleichung.)

Nun hat aber Kenneth Ribet von der Universität von Kalifornien in Berkeley bewiesen, daß die Freysche Kurve nicht modular sein kann. Andererseits wäre sie aber semistabil und damit – nach der von Wiles bewiesenen Vermutung von Taniyama – modular, wenn sie von einer Lösung der Fermatschen Gleichung herkäme. Das ist ein Widerspruch; deswegen kann es (für n > 2) keine Lösung der Fermatschen Gleichung geben, was zu beweisen war.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 8 / 1993, Seite 14
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