In den alten Zeiten, wo das Wünschen noch geholfen hat, lebte ein König, dessen Töchter waren alle schön; aber die älteste war so schön, daß die Sonne selber, die doch so vieles gesehen hat, sich verwunderte, sooft sie ihr ins Gesicht schien. Nahe bei dem Schlosse des Königs lag ein großer dunkler Wald, und in dem Walde unter einer alten Tanne war ein Brunnen. Wenn nun der Tag recht heiß war, so ging das Königskind hinaus in den Wald und setzte sich an den Rand des kühlen Brunnens; und wenn sie Langeweile hatte, so nahm sie eine goldene Kugel, warf sie in die Höhe und fing sie wieder; und das war ihr liebstes Spielwerk.

Nun trug es sich einmal zu, daß die goldene Kugel der Königstochter nicht in ihr Händchen fiel, das sie in die Höhe gehalten hatte, sondern vorbei auf die Erde schlug und geradezu ins Wasser hineinrollte. Die Königstochter folgte ihr mit den Augen nach, aber die Kugel verschwand, und der Brunnen war tief, so tief, daß man keinen Grund sah. Wie staunte sie da, als wenige Augenblicke später die goldene Kugel wie von Zauberkraft gehoben auftauchte und ihr in den Schoß sprang. Glücklich kehrte die Prinzessin heim und sann noch lange über die merkwürdige Begebenheit nach, ohne jemandem ein Sterbenswörtchen darüber zu erzählen.

Des anderen Tages aber stellte sie sich eigens ein wenig ungeschickt an, so daß die Kugel abermals in den Brunnen fiel. Diesmal aber kehrte sie nicht wieder, so lange die Königstochter auch warten mochte. Da fing sie an zu weinen und weinte immer lauter und konnte sich gar nicht trösten. Und wie sie so klagte, rief ihr jemand zu: "Was hast du vor, Königstochter, du schreist ja, daß sich ein Stein erbarmen möchte." Sie sah sich um, woher die Stimme käme, da erblickte sie einen Frosch, der seinen dicken häßlichen Kopf aus dem Wasser streckte (Bild 1). "Ach du bist's, alter Wasserpatscher", sagte sie, "ich weine über meine goldene Kugel, die mir in den Brunnen hinabgefallen ist."

"Sei still und weine nicht", sagte der Frosch, "ich kann wohl Rat schaffen." Und alsbald hub er an zu quaken: "Dieser Brunnen ist verzaubert. Sowie die Kugel unter dem schwarzen Wasserspiegel verschwindet, gibt es nichts mehr, was ihrer Bewegung Widerstand entgegensetzte; und wenn sie bis zum Boden des Brunnens oder an eine seiner Wände gelangt, springt sie ebenso schnell wieder davon, als sie aufgetroffen ist. So mag ihr Schwung sie zurück in ihre alte Höhe tragen, bis über den Wasserspiegel hinaus."

"Das ist gestern auch geschehen", erwiderte traurig die Königstochter. "Aber warum ist sie nun verschwunden?"

"Es ist ein Zauberbrunnen von besonderer Art", versetzte der Frosch. "Die böse Hexe, die ihn einst verzauberte, hat einen riesengroßen Spiegel schräg in den Brunnenschacht gestellt, so daß der Brunnen jetzt eine senkrechte und eine schräge Wand hat. Deine goldene Kugel ist zuerst auf den Spiegel geprallt, dann auf die senkrechte Wand, dann wieder zurück und so weiter" (Kasten Seite 16/17). "Horch!"

Es war mäuschenstill im Wald. Als nun die Königstochter sich über den Brunnen beugte, ward sie von seinem Zauber gefangen und hörte, wie tief un-ten die Kugel ohne Unterlaß hin- und hersprang: "ding-dong-ding-dong-ding-ding-dong-ding-dong". Es ertönte jedesmal ein "ding", wenn sie den Spiegel traf, und ein "dong", wenn sie von der Brunnenwand abprallte, aber es war keine liebliche Musik, sondern klang, als ob eine Triangel und ein Gong sich heftig zankten.

Auf einmal hob etwas die Prinzessin in die Luft, es wurde finster um sie, und sie stürzte in eine unergründliche Tiefe hinab. Erst über eine Weile wurde sie gewahr, daß der Frosch sie an der Hand genommen hatte und mit ihr in den Brunnen gesprungen war. "Nun ist es um mich geschehen", dachte sie, denn wie zuvor ihre Goldkugel fiel sie, immer schneller werdend, auf den Zauberspiegel zu. Aber statt aufzuprallen, schien sie einfach – ding – durch ihn hindurchzufallen; nur die Kraft, die sie bis dahin nach unten gezogen hatte, kam nun aus einer anderen Richtung.

"Es ist einerlei, ob du den Weg der Kugel im echten Brunnen oder in seinem Spiegelbild anschaust", ließ sich der Frosch vernehmen. "Du darfst auch die senkrechte Wand des Brunnens, die wir jetzt" – dong – "berühren, für einen solchen Zauberspiegel ansehen. Wenn am Grunde des Brunnens der Spiegel mit der Wand einen geeigneten Winkel bildet, fügen sich die vielen Spiegelbilder zusammen wie in einem Kaleidoskop, und unsere Bewegung ist weniger regellos, als sie sonst wäre" (Bild 3; vergleiche Spektrum der Wissenschaft, April 1997, Seite 14).

"Aber in welchem Winkel steht denn der Spiegel?"

"Das ist ein großes Geheimnis", erwiderte der Frosch.

Jedesmal, wenn es "ding" oder "dong" machte, entfernte sich sein Weg ein wenig mehr von dem der Königstochter, und als sie einmal bis fast an den Grund des Brunnens gerieten, schien er gar weit davonzuhüpfen. Anfangs war sie erleichtert, dem glitschigen Kerl nicht mehr so nahe sein zu müssen. Aber je weiter er im Dunkel des Zauberbrunnens verschwand, desto mehr ängstigte sie sich und war am Ende sogar froh, als er unverhofft wieder in ihre Nähe geriet. Vielfach wiederholte sich der Wechsel von Nähe und Ferne, so daß der armen Königstochter ganz wirr im Herzen ward.

"Das ist die empfindliche Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen", erklärte der Frosch. "Wir sind in einem chaotischen System; darum streben Wege, die sich anfangs nur um ein weniges unterscheiden, stets auseinander. So ist es unmöglich vorherzusehen, wie ein Weg in der Zukunft verlaufen wird. Denn dazu müßte sein Anfangspunkt genauer bekannt sein als alle Genauigkeit der Welt. Nur müssen zwei getrennte Wege auch wieder einander näherkommen, denn in dem Brunnen ist nicht genug Platz, als daß sie auf ewig nur voneinander weg streben könnten." Wahrhaftig streifte auch die goldene Kugel immer wieder zum Greifen nahe an der Königstochter vorüber.

"Aber warum bist du in diesem Brunnen?" fragte sie, als sie wieder einmal einander näherkamen.

Da seufzte der Frosch aus tiefem Herzen. "Ich bin ein verwunschener Mathematiker. Einst löste ich wundervolle Differentialgleichungen. Ich wollte wissen, wie sich die Sterne bewegen – nicht nur einige wenige, sondern sehr viele. Und weil das zu schwer war, dachte ich mir, wie es wäre, wenn die Sterne alle in flachen, unendlich ausgedehnten Scheiben lägen. Aber dann kam die böse Hexe und bewies, daß ich ebensogut Kugeln im Zauberbrunnen studieren könnte. Seitdem sitze ich hier."

"Ach Fröschle", entfuhr es der Königstochter, denn der Frosch dauerte sie, und sie stammte aus dem Schwabenlande. "Wie erforschst du den Brunnen?"

"Durch Buchhaltung. Ich notiere jedesmal, wenn die Kugel den Spiegel trifft, die Geschwindigkeit, mit der sie wieder davonfliegt. Was sie dazwischen tut, muß ich nicht eigens vermerken."

Abermals wirkte ein Zauber, und statt weiter durch den Brunnen zu fliegen, stand die Prinzessin auf einmal im kalten Winter vor einem großen dunklen Platz, auf den Schnee fiel: eine Flocke für jeden Aufprall auf den Spiegel (Kasten Seite 16/17). Manche Stellen aber blieben dunkel. Es war, als ob eine geheimnisvolle Kraft die Flocken stets von ihnen ablenkte.

Der Frosch aber hatte den Platz mit kleinen, quadratischen Steinchen gepflastert. Sorgfältig zählte er, wieviel Schnee auf jedes Steinchen fiel. Die Wolke, aus der die Flocken kamen, hatte er selbst kunstreich angefertigt. So konnte er ihr einen Winkel ansagen, und gehorsam rieselte der Schnee, als wollte er Buch führen über eine Zauberkugel in einem Brunnen, den es gar nicht gab und in dem der Spiegel in dem angesagten Winkel stand.

Staunend sah die Königstochter, wie sich zu immer neuen Winkeln immer neue Muster bildeten (Bild 2). Mal bedeckte der Schnee die ganze Fläche, mal war von ihm nur ein kümmerliches Häuflein zu sehen. Doch nie beherrschte die Ordnung das ganze Feld; ein kleiner Teil blieb stets dem Chaos vorbehalten.

"Der Grund des Brunnens, wo der Spiegel an die Wand stößt, ist ein Scheideweg", sagte der Frosch. "Gerät die goldene Kugel sogleich wieder auf den Spiegel, so nimmt sie einen Weg, trifft sie zuvor die Wand, einen ganz anderen; und dadurch bricht alle Ordnung und Stetigkeit zusammen" (Bild 4).

Der Frosch fuhr fort: "Früher glaubten die Menschen, auf dem Wege von der Ordnung zum Chaos würde die Unordnung stets zunehmen" (Spektrum der Wissenschaft, Februar 1987, Seite 78). "Aber nun wissen wir, daß ein solcher Weg vielfach zwischen Ordnung und Chaos hin- und herschwanken kann."

Über all dem Gequake hätte die Königstochter beinahe vergessen, daß ihr Spielwerk immer noch nicht aufgetaucht war. Nun aber wollte sie wissen, ob der Frosch ihr nicht nur Rat, sondern auch die goldene Kugel wieder herbeischaffen könne.

"Nun, was gibst du mir, wenn ich dein Spielwerk wieder heraufhole?"

"Was du haben willst, lieber Frosch", sagte sie, "meine Kleider, Perlen und Edelsteine, auch noch die goldene Krone, die ich trage."

Der Frosch antwortete: "Deine Kleider, deine Perlen und Edelsteine, und deine goldene Krone, die mag ich nicht; aber wenn du mich liebhaben willst, und ich soll dein Geselle und Spielkamerad sein, an deinem Tischlein neben dir sitzen, von deinem goldenen Tellerlein essen, aus deinem Becherlein trinken, in deinem Bettlein schlafen…"

Das war es, wovor sich die Königstochter insgeheim schon die ganze Zeit gefürchtet hatte. Sie nahm Reißaus, so schnell sie konnte. Um ihr Herz aber ließ sie drei eiserne Bande legen, verschloß sie und warf den Schlüssel in den Brunnen. Dann floh sie viele Meilen weit, damit nichts mehr sie an den armen Frosch erinnerte, der wieder in seinen Brunnen hinabsteigen mußte.

Der aber hatte der Königstochter verschwiegen, daß es gar nicht in seiner Macht stand, die Kugel herauszuholen. Er mußte warten, bis sie von selbst über die Wasserfläche emporstieg und so dem Zauber entrann. All seine Mathematik half ihm nichts; denn nach der Chaostheorie gilt ja gerade, daß im allgemeinen kein Frosch der Welt die Bewegung der Kugel vorhersagen kann.

Erst viele Jahre später tauchte sie wieder auf, denn sie war auf eine periodische Bahn mit sehr langer Periode geraten. Als nun der Frosch mit der Kugel im Maul plitsch, platsch zur Königstochter gekrochen kam und Einlaß begehrte, erschrak sie heftig. Der Schlüssel aber folgte einer gänzlich anderen chaotischen Bahn und war nicht mit aufgetaucht. So verhinderten die eisernen Reifen, daß er das Herz der Prinzessin rührte.

Als er aber dennoch sein Sprüchlein aufsagte: "Nun trag mich in dein Kämmerlein und mach dein seiden Bettlein zurecht, da wollen wir uns schlafen legen…", da ward sie erst bitterböse, holte ihn herauf und warf ihn aus allen Kräften wider die Wand.

Und wenn er nicht vertrocknet ist, so klebt er da noch heute.

Literaturhinweise

- Stochasticity of Dynamical Systems with Increasing Number of Degrees of Freedom. Von C. Froeschlé und J.-P. Scheidecker in: Physical Review, Band A 12, Heft 5, Seiten 2137 bis 2143, 1975.

– Numerical Study of a Billiard in a Gravitational Field. Von H. E. Lehtihet und B. N. Miller in: Physica, Band 21 D, Seiten 93 bis 104, 1986.

– A Breathing Chaos. Von Peter H. Richter, Hans-Joachim Scholz und Andreas Wittek in: Nonlinearity, Band 3, Seiten 45 bis 67, 1990.

– Physik zwischen Chaos und Ordnung – von Pendeln und Planeten. Von Peter H. Richter in: Der Flügelschlag des Schmetterlings. Herausgegeben von Reinhard Breuer. Deutsche Verlags-Anstalt, Stuttgart 1993.

– A Two-Parameter Study of the Extent of Chaos in a Billiard System. Von Holger R. Dullin, Peter H. Richter und Andreas Wittek in: Chaos, Band 6, Heft 1, Seiten 43 bis 58, 1966

Kasten: Der Zauberbrunnen – prosaisch betrachtet

Die wundersamen Eigenschaften der Goldkugel und des Brunnens entsprechen Annahmen, mit denen sich theoretische Physiker häufig das Leben erleichtern. Peter H. Richter, Hans-Joachim Scholz und Andreas Wittek vom Institut für Dynamische Systeme der Universität Bremen haben folgendes System untersucht: Ein Massenpunkt (die Goldkugel) bewegt sich reibungsfrei unter dem Einfluß der Gravitation in dem keilförmigen Gebiet zwischen einer lotrechten Begrenzung (der Brunnenwand) und einer schrägen (dem Spiegel). Die Bewegung findet gänzlich in einer Ebene statt; daß die goldene Kugel innerhalb des Brunnens sich auch, vom Betrachter aus gesehen, vor und zurück bewegen könnte, wird außer acht gelassen, denn die beiden Komponenten der Bewegung sind völlig unabhängig voneinander. (Man stelle sich einen rechteckigen Brunnen vor.) An den Grenzen wird der Massenpunkt ohne Energieverlust nach dem üblichen Gesetz (Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel) reflektiert. Ein auf den ersten Blick völlig anderes System läßt sich auf dieses zurückführen: die Bewegung dreier unendlich ausgedehnter ebener, paralleler, homogen mit Masse belegter Scheiben unter Gravitation. Dieses System dient seinerseits als erste Näherung, um die Bewegung extrem flacher Galaxien zu studieren. Die Gesamtenergie des im Keil auf und ab hüpfenden Massenpunktes bleibt erhalten; es wandeln sich nur unentwegt potentielle und kinetische Energie ineinander um. Erstere ist der Höhe über einem Nullniveau, letztere dem Quadrat der Geschwindigkeit proportional. Kennt man also die Geschwindigkeit bei einem Abprall von der schrägen Wand, so kann man die Höhe und daraus wiederum den Ort des Abpralls erschließen. Wenn die Goldkugel genau rechtwinklig auf eine der Wände auftrifft, läuft sie im folgenden auf ihrer bisherigen Bahn zurück. Die Bahn ist insgesamt periodisch, wenn sie einen weiteren Umkehrpunkt hat, etwa den höchsten Punkt einer vertikal aufsteigenden Bewegung (Bild oben, a). Der einfachste Fall einer periodischen Bewegung ist das Hin- und Herpendeln zwischen den Wänden mit beiderseits rechtwinkligem Aufprall. Eine Bahn, die, ohne selbst periodisch zu sein, mit geringfügigen Abweichungen der periodischen Bahn folgt, heißt quasiperiodisch (b). Sämtliche anderen Bahnen sind chaotisch (c). Alle drei Bilder zeigen Bahnen in einem Keil mit einem Öffnungswinkel q von 40 Grad. Es hängt von den Anfangsbedingungen ab, welcher Bahnform die Kugel im Einzelfall folgt. Zwischen zwei Begegnungen mit den Wänden folgt der Massenpunkt einer Wurfparabel, die relativ einfach zu berechnen ist. Statt diese Bewegung kontinuierlich mitzuvollziehen, wendet man bei der Analyse einen Kunstgriff an, der nach dem französischen Mathematiker und Physiker Henri Poincaré (1854 bis 1912) benannt ist: Man betrachtet das System nur zu ausgewählten Zeitpunkten, in diesem Falle immer dann, wenn der Massenpunkt von der schrägen Wand abprallt (Spektrum der Wissenschaft, Dezember 1994, Seite 86). In diesem Moment ist der Zustand des Systems durch Richtung und Länge des Geschwindigkeitsvektors vollständig festgelegt. Man pflegt diesen in die Komponenten v₁ parallel (aufwärtsgerichtet) und v₂ senkrecht zur schrägen Wand zu zerlegen. Aus dem kontinuierlichen System wird ein diskretes: Ein Zustand (v₁,v₂)_n wird abgebildet auf einen Folgezustand (v₁,v₂)_n+1, indem man aus den Daten eines Abpralls die des nächsten berechnet – jeweils an der schrägen Wand. Je nachdem, ob die goldene Kugel zwischendurch die lotrechte Wand trifft oder nicht, sind verschiedene Berechnungsvorschriften anzuwenden. Daher ist die sich ergebende Iterationsfunktion nicht nur nichtlinear, wie es sein muß, wenn das Chaos eine Chance haben soll, sondern auch unstetig. Das Verhalten des diskreten Systems läßt sich durch einen Punkt (einen Floh, vergleiche Spektrum der Wissenschaft, Juli 1991, Seite 12) darstellen, der von einem Anfangswert (v₁,v₂)₀ zu einem Folgewert (v₁,v₂)₁ hüpft, von diesem zu einem weiteren (v₁,v₂)₂ und so weiter. Jeder Absprungpunkt bestimmt eindeutig den zugehörigen Zielpunkt: Das System ist deterministisch. Aus Gründen, die zu erläutern hier zu weit führen würde, ist in den Bildern dieses Artikels nicht v₂ gegen v₁, sondern v₂² gegen v₁ aufgetragen. Im Bild rechts oben ist der Keilwinkel wieder q=40 Grad. Der gelbe Punkt entspricht einer periodischen, die grünen Ringe einer quasiperiodischen und die weiße Punktwolke einer chaotischen Bahn. Der schwarze Bereich besteht gewissermaßen aus lauter grünen Ringen, von denen einige Beispiele abgebildet sind. Die drei orangefarbenen Punkte gehören zu einer Bahn mit der Periode 3; der Floh springt gewissermaßen stets im Dreieck. Das gilt auch für die Punkte der quasiperiodischen Bahnen (hellblau), welche die periodischen Punkte umschließen. Man beachte, daß große kinetische Energie kleiner Höhe über Grund entspricht und umgekehrt. Punkte am oberen Rand des Bildes entsprechend maximaler Geschwindigkeit gehören also zu Reflexionen in unmittelbarer Nähe der Keilspitze, während eine weit oben auftreffende Kugel einen Punkt nahe der Mitte des unteren Randes (zugleich Nullpunkt des Koordinatensystems) hinterläßt. Die kinetische Energie ist proportional zu v₁²+v₂² und nach oben beschränkt durch die Gesamtenergie. Deswegen ist der obere Rand des Bildes in der (v₁,v₂)-Ebene ein Halbkreis; daraus wird in der (v₁,v₂²)-Ebene ein Parabelbogen. Wie wirkt die Iterationsabbildung auf die gesamte Fläche des Halbkreises? Sie zerschneidet sie gewissermaßen in einen unteren und einen oberen Teil, deformiert beide Teile und setzt sie wieder zusammen (Bild links unten). Punkte im oberen Teil entsprechen Bahnen, die erst nach Reflexion an der lotrechten Wand wieder zur schrägen zurückkehren, während die zum unteren Teil gehörigen Bahnen die Brunnenwand nicht berühren. Eng benachbarte Punkte beiderseits der Grenzlinie werden weit auseinandergezogen; der Bogen CDE am oberen Rand dagegen wird zusammengefaltet, so daß bisher weit entfernte Punkte nahe aneinander geraten. Im rechten unteren Bild ist der Flächenanteil des Chaos über dem Kehrwert des Keilwinkels q aufgetragen. Die Forschungen der Bremer Gruppe legen die Vermutung nahe, daß nicht der vielfach beschriebene monotone Übergang von der Ordnung zum Chaos, sondern ein häufiges Schwanken zwischen den Extremen – das "atmende Chaos" – die Regel ist.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 8 / 1997, Seite 12
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