Der englische Puzzleerfinder Henry Ernest Dudeney kleidet in seinem Buch "Amusements in Mathematics" von 1917 eine Aufgabe in eine fantasievolle Geschichte über die Schlacht von Hastings, jenen berühmten Kampf, in dem 1066 die Normannen unter Wilhelm dem Eroberer die Sachsen unter König Harald besiegten und fortan die Geschicke Englands bestimmten. Nach Dudeney schildert eine alte Chronik: "Haralds Mannen standen tapfer zusammen und bildeten 61 Quadrate mit gleich vielen Recken in jedem Quadrat … Als Harald sich in die Schlacht warf, bildeten die Sachsen mit ihm zusammen ein einzig mächtiges Quadrat von Männern." Wie groß, so fragte Dudeney, war also die kleinstmögliche Anzahl von Männern in König Haralds Armee?

Mathematisch formuliert suchen wir also eine Quadratzahl, die mit 61 multipliziert und um 1 erhöht wieder eine Quadratzahl ergibt. Das heißt, wir suchen ganzzahlige Lösungen der Gleichung y^2=61x^2+1. Dies ist ein Beispiel einer so genannten Pellschen Gleichung, benannt nach dem englischen Mathematiker John Pell (1610–1685), der selbst nichts Wesentliches zu dem Gebiet beigetragen hat; aber solche Fehlbenennungen sind in der Mathematik häufig. Anstelle der 61 darf irgendeine andere positive ganze Zahl stehen, die keine Quadratzahl ist. Derartige Gleichungen haben stets unendlich viele Lösungen. Man berechnet sie mit dem so genannten Kettenbruchverfahren, das in Lehrbüchern der Zahlentheorie beschrieben ist.

Zum Aufwärmen betrachten wir die weniger bekannte Schlacht von Brighton, in der unter im Übrigen gleichen Umständen Haralds Leute 11 Quadrate bildeten. Die Gleichung lautet nun y^2=11x^2+1, und mit etwas Probieren findet man die kleinste Lösung: x=3 und y=10.

Für Dudeneys ursprüngliches Rätsel wird Probieren nicht funktionieren, es sei denn vielleicht auf einem Computer; denn die kleinste mögliche Lösung ist x=226153980, y=1766319049. Wenn man den Wert des Koeffizienten D in der allgemeinen Pellschen Gleichung y^2=Dx^2+1 variiert, können die jeweils kleinsten Lösungen wild umherspringen. Die "schwierigen" Werte von D unter 100, das heißt die, bei denen das kleinstmögliche x größer als 1000 ist, sind D=29, 46, 53, 58, 61, 67, 73, 76, 85, 86, 89, 93, 94 und 97. Der bei weitem schwierigste unter ihnen ist D=61, Dudeney hat also eine gute Wahl getroffen. Mit etwas Anstrengung sollten Sie herausfinden, wie es für die beiden Nachbarwerte D=60 und D=62 aussieht. Die Antworten finden Sie am Ende dieses Artikels.

Aber seien Sie froh! Dudeney hätte sein Puzzle noch viel schwieriger machen können. Bei D=1597 sind die kleinsten Lösungen für x und y ungefähr 1,31xE46 und 5,2x10E47. Und D=9781 ist noch schlimmer.

Das Problem des Archimedes…

Die Pellsche Gleichung ist auch der Schlüssel zur Lösung eines viel berühmteren Problems. Im Jahre 1773 entdeckte der deutsche Dramatiker Gotthold Ephraim Lessing ein Manuskript mit dem Problem, das in ein Gedicht gekleidet war: 22 Paare elegischer Verse, die angeblich der griechische Mathematiker Archimedes von Syrakus um 250 vor Christus geschrieben und an Eratosthenes von Kyrene, den Vorsteher der Bibliothek von Alexandria und Namensgeber des Primzahlsiebs, gesandt hatte. Es beginnt: "Bist Du, oh Fremder, fleißig und weise, so berechne die Zahl der Rinder des Sonnengottes, die einst grasten auf den Feldern des tyrrhenischen Eilands Sizilien."

Auch Homer erwähnt die Rinder des Sonnengottes Helios in seiner "Odyssee" und gibt ihre Zahl mit 350 an. Archimedes dachte offenbar in größeren Dimensionen. Nach seinem Rätsel besteht die Herde aus weißen (W), schwarzen (S), braunen (B) und gefleckten (G) Stieren sowie entsprechend gefärbten Kühen (w, s, b und g). Die Anzahl der Tiere wird durch sieben leicht zu erfüllende Bedingungen und zwei schwierige festgelegt. Die leichten Bedingungen lassen sich durch sieben Gleichungen in den acht Unbekannten ausdrücken. Die erste schwierige Bedingung verlangt, dass die Gesamtzahl W+S der weißen und schwarzen Stiere eine Quadratzahl sein muss. Nach der zweiten muss die Gesamtzahl B+G der braunen und der gefleckten Stiere eine Dreieckszahl sein, also eine Summe 1+2+3+…+m für irgendeine natürliche Zahl m oder, was dasselbe ist, eine Zahl der Form m(m+1)/2.

Die ersten sieben Bedingungen laufen alle auf eine einzige hinaus: Alle acht Unbekannten sind in festgelegten Verhältnissen zueinander proportional. Mit einer noch zu bestimmenden natürlichen Zahl n gilt:

W=10366482 n, S=7460514 n,

B=4149387 n, G=7358060 n,

w=7206360 n, s=4893246 n,

b=5439213 n, g=3515820 n

Jetzt geht es darum, die kleinste natürliche Zahl n zu finden, für die auch die beiden schwierigen Bedingungen erfüllt sind. Im Jahre 1830 löste der deutsche Mathematiker J. F. Wurm das Rätsel unter Missachtung der Bedingung, dass W+S eine Quadratzahl sein soll. Die verbleibende Forderung, dass B+G eine Dreieckszahl sein muss, führt nach einigen algebraischen Umformungen auf die Bedingung, dass 92059576 n+1 eine Quadratzahl sein muss. Setzen wir den kleinsten Wert von n ein, für den das der Fall ist, so ergibt sich für den Sonnengott eine relativ bescheidene Herde von 5916837175686 Tieren.

Aber Wurms Gleichung hat Lösungen für unendlich viele n, und unter ihnen gilt es nun die kleinste zu finden, die auch die letzte noch offene Bedingung (W+S ist eine Quadratzahl) erfüllt. Der deutsche Mathematiker A. Amthor bewies 1880, dass n die Form 4456749 m2 hat, wobei m eine Pellsche Gleichung erfüllen muss: 410286423278424 m2+1 muss eine Quadratzahl sein.

… ist theoretisch gelöst

Im Prinzip kann man das kleinste solche m mit einem Kettenbruchverfahren finden. Die Berechnungen überstiegen die technischen Möglichkeiten Amthors; immerhin fand er heraus, dass die Größe der Herde eine Zahl mit 206545 Stellen ist, und konnte die ersten vier Stellen berechnen. Zwischen 1889 und 1893 berechnete der Mathematische Club in Hillsboro (Illinois) die ersten 32 Stellen, von denen 30 sich später als richtig herausstellten. Mathematiker an der Universität von Waterloo in Ontario (Kanada) fanden 1965 die erste vollständige Lösung. Als 1981 Harry L. Nelson sämtliche 206545 Stellen veröffentlichte, war die dafür benötigte Rechenzeit (auf einer CRAY-1) bereits auf zehn Minuten geschrumpft.

Das war bis vor kurzem der Stand der Dinge. Moderne ultraschnelle Computer erledigen arithmetische Berechnungen mit Hunterttausenden von Stellen in einem Augenblick. Ilan Vardi vom Occidental College in Los Angeles (Kalifornien) stellte fest, dass das Software-Paket "Mathematica" (Spektrum der Wissenschaft 2/2000, S. 100) die beschriebene Analyse in wenigen Sekunden komplett nachvollziehen konnte. Mit etwas mehr Aufwand produzierte Mathematica für die Größe der Herde auch eine explizite Formel – deren Existenz man gar nicht vermutet hatte. Auf einer Sun-Workstation – einem angemessenen Arbeitsgerät, wenn man den Eigner der Herde bedenkt – dauerte die Berechnung eineinhalb Stunden. Die Größe der Herde ist die kleinste natürliche Zahl, welche die Zahl

(p/q)(a+b sqr(4729494))E4658

übertrifft. Dabei ist

p=25194541,

q=184119152,

a=109931986732829734979866-

232821433543901088049,

b=50549485234315033074477-

819735540408986340.

Man fragt sich natürlich, ob wirklich Archimedes dieses Problem gestellt hat. Die allgemeine Meinung ist ja, aber möglicherweise hat er das Gedicht nicht geschrieben. Mit Sicherheit konnte Archimedes das Rätsel nicht lösen; dafür ist die Lösung einfach zu groß. Rechnungen mit der Hand hätten viel zu lange gedauert. Aber wusste Archimedes, dass es eine Lösung gibt? Wahrscheinlich nicht. Er war sicher klug genug, eine Gleichung aufzustellen, aber er kann kaum gewusst haben, dass eine solche Gleichung immer eine Lösung hat.

Die Moral von der Geschicht’: Hüte dich vor den Griechen, wenn sie Rätsel stellen.

Lösungen: Für D=60 ist x=4, y=31.

Für D=62 ist x=8, y=63.

Literaturhinweise


Archimedes’ Cattle Problem. Von Ilan Vardi in: American Mathematical Monthly, Bd. 105, S. 305, April 1998.

Einführung in die elementare Zahlentheorie. Von Friedrich Schwarz. Teubner, Stuttgart 1998.

Aus: Spektrum der Wissenschaft 1 / 2001, Seite 114
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