Oliver hatte Deirdre und mich in eine kleine Galerie in der Nähe des Sloane Square geschleppt. Deirdre las den Namen des Künstlers und fragte: „Wer ist Anatolii Fomenko?“

„Ein Mathematiker. Er arbeitet in Moskau, hauptsächlich in den Gebieten Topologie und Geometrie“, antwortete ich, und Oliver fügte hinzu: „Er wurde 1945 in Donezk in der Ukraine geboren. Mit 13 Jahren begann er zu malen und Skulpturen zu machen. Seit Mitte der siebziger Jahre hat er nahezu 300 Gemälde und Zeichnungen zu mathematischen Themen angefertigt. Schau dir dieses an. Was ist das wohl?“ (Bild 1)

„Eine Art Wolkenkratzer mit Punktmustern darauf“, wagte ich zu raten.

„Die kleine Frau oben auf dem Dach ist niedlich“, sagte Deirdre. „Aber was ist das merkwürdige Ding neben ihr, das wie eine Skulptur von Henry Moore aussieht?“

„Keine Ahnung“, erwiderte Oliver. „Ian, zähl doch die Kreise auf den Platten, aus denen die Wand des Hochhauses besteht. Von links oben angefangen.“

„Hm… drei, eins, vier, eins, fünf, neun, zwei, sechs…“

„Klingt zufällig“, sagte Deirdre.

„Ja. Nein… Ach so! 3,1415926! Das ist p!“

„Du hast es erfaßt, Ian. Wie steht es mit der rechten Wand?“

„Zwei sieben, eins, acht, zwei, acht… 2,71828, die Zahl e!“

„p kenne ich, aber was ist e?“

„Die Basis des natürlichen Logarithmus“, erklärte Oliver.

„Stell dir vor, du würdest dein Geld mit 100 Prozent Zinsen anlegen“, versuchte ich zu erläutern.

„Schön wär’s.“

„Und es würde nicht jedes Jahr abgerechnet, sondern jeden Monat. Dann wäre das günstiger für dich, weil der Zinseszinseffekt sich bemerkbar macht.“

„Dann will ich täglich abrechnen.“

„Noch besser. Oder jede Stunde, Minute, Sekunde… Wenn du unendlich kurze Zeiten nimmst, hast du nach einem Jahr das e-fache deines Kapitals…“

Deirdre interessierte sich plötzlich lebhaft für die schaumartig angeordneten Kreise auf den anderen Wänden. „Ich weiß nicht, wie man die zählen soll. Sie sind nicht irgendwie geordnet.“

„Stimmt. Sie bilden ein Fraktal. Fomenko will darauf hindeuten, daß die zufällig wirkenden Ziffernfolgen von p und e so scheinbar regellos und doch strukturiert sind wie Fraktale.“

„Und die Frau auf dem Dach?“

„Was sie betrachtet, ist ein stark verzerrter Krapfen, das, was die Topologen einen Torus nennen.“

„Warum?“

„Wahrscheinlich mag sie Krapfen.“

Exotische topologische Gebilde

„Oh. Schau, hier ist noch ein deformierter Krapfen. Was ist das?“

„Topologie. Eigenschaften von Formen, die unter beliebigen Deformationen erhalten bleiben. Die Welt ist stetig, die Natur macht keine Sprünge. Das ist die mathematische Theorie dazu“ (Bild 2).

„Was du nicht sagst. Was sind diese drei Dinger im Vordergrund?“

„Das sind intelligente Kreaturen aus einer fernen Welt. Sie schauen in die große Halle eines Schlosses hinunter, wo eine Prozession topologischer Formen vorbeizieht. Der vorderste Torus in der mittleren Reihe ist gerade damit beschäftigt, sich umzustülpen. Du kannst das selbst mit einem Autoschlauch versuchen. Schneide ein Loch hinein und zieh den Schlauch hindurch. Was glaubst du, was dabei herauskommt?“

„Gummisalat“, vermutete Oliver.

„Nein. Du erhältst wieder einen Torus. Aber statt eines dünnen Schlauchs mit einem großen Loch in der Mitte bekommst du einen dicken Schlauch mit einem kleinen Loch.“

„Was ist das für eine Halskette unten links, im Schatten des Pfeilers?“

„Das ist die Antoinesche Menge der Topologie. Louis-Auguste Antoine (1888 bis 1971), der an der Universität Rennes wirkte, hat sie 1921 vorgestellt. Nimm einen Torus und ersetze ihn durch eine Kette aus ineinanderhängenden Tori in seinem Inneren. Jedes Kettenglied ersetze wieder durch eine kleinere Kette, und so weiter, unendlich oft. Das Gebilde, das sich im Grenzwert ergibt, ist ein Beispiel für eine total unzusammenhängende Menge: eine, die keine zusammenhängenden Teilmengen enthält, außer einzelnen Punkten. Aber ihr Komplement ist gleichwohl nicht einfach zusammenhängend: Es ist unmöglich, etwa ein Glied aus irgendeiner der Ketten herauszunehmen. So dünn die Punktmenge ist, sie würde dich daran hindern.

Antoine gilt als der Gründer der französischen Topologenschule. Er war übrigens blind und meinte, das habe für einen Geometer gewisse Vorzüge. Man werde in seinem Denken über n-dimensionale Strukturen nicht dauernd von zweidimensionalen Bildern der Realität abgelenkt.“

„Unvorstellbar. Und was ist das Ding daneben?“

„Eine Drahtschleife mit einer eingespannten Seifenhaut. Um 1850 fand der belgische Physiker Joseph Plateau heraus, daß sich elegant geformte Flächen aus Seifenhaut bilden, wenn man eine Drahtschleife in Seifenwasser taucht und wieder herauszieht. Er suchte nach einer mathematischen Theorie für die Form einer Seifenhaut. Die Grundidee ist, daß ihre Oberfläche minimal sein soll unter der Bedingung, daß sie den Draht zum Rand hat“ (siehe „Die Geometrie von Minimalflächen“ von Hermann Karcher und Konrad Polthier, Spektrum der Wissenschaft, Oktober 1990, Seite 96).

„Warum?“ fragte Oliver.

„Weil die Energie der Haut der Oberflächenspannung und diese der Oberfläche selbst proportional ist. Das Problem ist intensiv untersucht worden und nicht einfach. Wenn man beispielsweise ein reguläres Tetraeder eintaucht, bildet der Seifenfilm sechs ebene Dreiecke aus, die sich im Mittelpunkt des Tetraeders treffen. Plateau hat das experimentell gefunden. Aber erst 1976 konnten Frederick Almgren und Jean Taylor zeigen, daß diese Anordnung minimal ist.“

„Plateau muß eine bemerkenswerte geometrische Intuition gehabt haben.“

„Ja. Besonders wenn man bedenkt, daß Plateau zu dieser Zeit bereits blind war. Er hatte vorher optische Experimente angestellt und sein Augenlicht beim Beobachten der Sonne verloren.“

„Oh. Was sind diese Muscheldinger mit Beinen, rechts oben?“

„Das sind die Teile eines Raumes, der Löcher bekommt, wenn man ihn entzweischneidet. Nur die Beine hat Fomenko dazuerfunden. Es handelt sich um ein Gegenbeispiel in der Theorie homologisch zusammenhängender Räume.“

„Darüber will ich lieber nichts hören“, murmelte Oliver.

„Ist wahrscheinlich besser so. Der Raum wird langsam in skorpionartige Gebilde zersägt. Der gelangweilt dreinblickende Mann an dem Tisch ist wahrscheinlich ein Buchhalter, der die Teile zählt. Seine Aufgabe nimmt kein Ende, denn es gibt unendlich viele von diesen Muscheln.“

„Ein echter Buchhalter würde sich nicht langweilen. Er hätte seine Lebensaufgabe gefunden“, wagte Oliver zu bemerken.

„Das Ganze hat etwas Surreales an sich“, fand Deirdre.

„Es ist halt Mathematik. Fomenkos Kunst schöpft tief aus der mathematischen Psyche. Wenn du in einen Mathematikerkopf hineinschauen könntest, würdest du solche Dinge finden.“

„Nun, das erklärt einiges. Sehen wir hier die Windungen eines Mathematikergehirns?“ (Bild 3)

Umstülpung einer Sphäre

Ich lächelte leicht gequält. „Es ist eine ziemlich direkte Darstellung einer recht überraschenden Transformation. In seiner Doktorarbeit hat Stephen Smale 1959 gezeigt, daß man bei einer Kugeloberfläche die Innenseite nach außen stülpen kann. Sein Doktorvater wollte es zuerst gar nicht glauben.“

„Das überrascht mich nicht!“

„Die Kugel darf sich durchdringen.“

„Ach so. Dann ist es einfach.“

„Nicht so einfach, wie du denkst. Du mußt die Fläche immer noch knickfrei halten. Genaugenommen fand Smale keinen konstruktiven Weg. Das gelang erst später Nicolaas Kuiper und Arnold Shapiro unabhängig voneinander. Ber-nard Morin, ein – ebenfalls blinder – Schüler von Antoine, hat Shapiros Methode dann in die elegante verwandelt, die hier dargestellt ist.

Das Bild zeigt rechts unten eine Sphäre. Wenn du entgegen dem Uhrzeigersinn weitergehst – Mathematiker machen das immer so, ich weiß auch nicht warum –, siehst du aufeinanderfolgende Stadien der Deformation bis zu der kreuzförmig verschlungenen Fläche links unten. Damit ist die Umstülpung zur Hälfte vollendet. An die Innenseite dieser Fläche schmiegt sich – unsichtbar – eine gleichartige Fläche. Deren Außenseite ist durch die komplizierte Folge der Verbiegungen aus der Innenseite der ursprünglichen Sphäre entstanden. Die sichtbare kreuzförmige Fläche ist also sozusagen doppelt vorhanden; man nennt sie die zweifache Überlagerung einer eingebetteten projektiven Ebene. Eine projektive Ebene hat eigentlich nur eine Seite, wie eine Kleinsche Flasche.“

„Was ist eine Kleinsche Flasche?“

„So etwas wie eine eingebettete projektive Ebene“, erklärte Oliver.

„Du bist eine große Flasche, Oliver. Die Kleinsche Flasche ist nach dem Mathematiker Felix Klein (1849 bis 1925) benannt; sie ist eine Fläche, die ebenso wie das Möbius-Band nur eine Seite hat. Wenn man glaubt, auf der Innenseite zu sein, läuft man ein Stück auf der Fläche entlang und findet sich auf der vermeintlichen Außenseite wieder, ohne einen Rand überquert zu haben.

Wenn nun die beiden Kreuzflächen einander durchdringen, so daß sie ihre Plätze vertauschen, dann werden Innen- und Außenseite auch vertauscht. Sodann läßt sich die ganze Folge von Deformationen rückwärts durchführen, und am Ende erhält man wieder die Kugelfläche – aber umgestülpt.“

„Genial“, kommentierte Oliver. „Das mittlere Stadium der eingebetteten projektiven Ebene ist sich so unsicher darüber, wo seine Innen- und wo seine Außenseite ist, daß man beide einfach vertauschen kann.“

„Es gibt sie gar nicht“, sagte ich, „aber wenn, dann hättest du völlig recht.“

Wolken des Unendlichen

„In diesem Bild kann ich nichts Mathematisches finden. Es sieht mehr nach spanischer Inquisition aus“ (Bild 4).

„Das ist eine Anspielung auf verschiedene Größen des Unendlichen.“

„Wie bitte?“

„Transfinite Zahlen, entwickelt von dem deutschen Mathematiker Georg Cantor ab 1874. Unendlich, mehr als unendlich, noch unendlicher…“

„Ich dachte, Unendlich sei das Größte, was man denken kann.“

„Nicht in Cantors Denkweise. Er versuchte, die Grundlagen des Zahlbegriffs zu verstehen. Angenommen, du hast einen Tisch, gedeckt mit gleich vielen Messern wie Gabeln. Wie kannst du überprüfen, daß es wirklich gleich viele sind, ohne sie zu zählen?“

„Ich lege je ein Messer und eine Gabel an einem Platz zusammen. Wenn zu jedem Messer eine Gabel da ist und nichts übrigbleibt, dann sind von beiden gleich viele da.“

„Genau. Zwei endliche Mengen haben gleich viele Elemente, wenn man die Elemente der beiden Mengen einander eindeutig zuordnen kann. Cantor erkannte, daß man die gleiche Definition für unendliche Mengen verwenden kann, bei denen Zählen nicht hilft. Du kannst sagen, daß zwei unendliche Mengen ,gleich viele Elemente‘ haben – man sagt, sie seien gleichmächtig –, wenn du ihre Elemente restlos zu Paaren anordnen kannst. Dann kannst du neue Zahlen erfinden – die transfiniten Zahlen –, die solchen Anzahlen entsprechen. Damals fanden das viele Mathematiker völlig unverständlich, aber heute wird es allgemein akzeptiert“ (siehe „Georg Cantor und die Mächtigkeit der Mengen“ von Joseph W. Dauben, Spektrum der Wissenschaft, August 1983, Seite 112).

„Ach so. Und zweimal unendlich ist dann noch unendlicher?“

„Nein. Du kannst zwei Exemplare der Menge der natürlichen Zahlen mit einem einzigen paaren, indem du dessen gerade Zahlen dem einen Exemplar und die ungeraden dem anderen zuordnest. Es gibt noch einige solcher Tricks mehr. Aber das hilft nicht gegen die reellen Zahlen. Man kann die natürlichen Zahlen und die unendlichen (nicht-abbrechenden) Dezimalbrüche auf keine Weise paaren. Die reellen Zahlen haben daher eine neue, größere Art von Unendlichkeit.“

„Und dazwischen gibt es nichts?“

„Schwierige Frage. Das Problem hat unter dem Namen ,Kontinuumshypothese‘ viele Mathematiker beschäftigt. Erst 1963 konnte Paul Cohen beweisen, daß die Antwort davon abhängt, welches logische Axiomensystem man benutzt. Aber schon Cantor konnte zeigen, daß es Mengen gibt, die noch unendlicher sind als die der reellen Zahlen, Mengen, die deren Unendlichkeit noch übertreffen, und so weiter. Man pflegt sie mit dem hebräischen Buchstaben ¿ (aleph) zu numerieren: ¿0, ¿1, ¿2, ¿3, … Genau das ist auf diesem Bild ausgedrückt. Die Prozession der bemäntelten Figuren geht immer weiter, gegen den Horizont, wie die Zahlen 1, 2, 3,… – und sie kommen tatsächlich dort an, wo am Horizont die Sonne erstrahlt; der steht für ¿0. Und dann kommen die Berge hinter dem Horizont, hinter ¿0, wie die reellen Zahlen. Und dann siehst du Wolken von Unendlichkeiten, die sich noch weiter erstrecken, Schicht über Schicht von dunklen Sturmwolken, die die brennende Scheibe einer rätselhaften Sonne auslöschen…“

„Wie poetisch.“

Chaotische Bewegung des starren Körpers

Ein anderes Bild forderte meinen Kommentar heraus (Bild 6). „Topologie ist nicht nur reine, abstrakte Mathematik. Man versteht mit ihrer Hilfe gelegentlich auch die Natur besser. Bei dem Versuch, die Bewegungsgleichungen für einen allgemeinen starren Körper zu lösen, waren Joseph-Louis Lagrange und seine Zeitgenossen Anfang des 19. Jahrhunderts auf enorme Schwierigkeiten gestoßen. Nur in einfachen Spezialfällen fanden sie Lösungen. Heute wissen wir dank einer topologischen Analyse, warum. Die Bewegung eines starren Körpers ist zwar deterministisch; aber sie kann so verwickelt sein, daß sie rein zufällig, chaotisch aussieht. Der Körper kann so wild herumtorkeln wie der Saturnmond Hyperion. Was die Mathematiker so lieben – handliche Formeln für die Position zu jedem Zeitpunkt –, funktioniert einfach nicht, wenn Chaos im Spiel ist.

Fomenko stellt diese Ideen dar, indem er eine Höhle mit Stalaktiten und so weiter malt – sie stellt den Raum dar –, in der dynamische Formen – Feuerschweife ausstoßend – die Bewegung darstellen. Seht ihr den blauen Steifen, auf dem das glühende Objekt herumrast? Seine Glattheit und Regularität steht für die einfachen, klassischen Bewegungen eines starren Körpers. Aber die Kanten des Streifens zerfließen ins Chaos. Das betrifft nicht den hier gemalten Körper, denn der ist symmetrisch, wie durch die feinen Details, die winzigen Kreuze etwa, dargestellt wird. Das wird durch Fomenkos Kommentar bestätigt.“

Turbulenzen

Deirdre war schon beim nächsten Bild. „Was für ein erregender Titel!“ rief sie uns zu (Bild 6).

„Na ja… Trotzdem treffend. Wenn eine Flüssigkeit auf eine rauhe Oberfläche trifft, neigt die Strömung dazu, sich in komplizierten Mustern abzulösen. Die interessanten Vorgänge finden dort statt, wo die Flüssigkeit erstmals auf das Objekt trifft. Winzige Störungen in dieser Grenzschicht können riesige Wirbel in der umgebenden Strömung auslösen. So entsteht Turbulenz. Die Mathematiker beschreiben die Bewegung der Flüssigkeit durch ein Vektorfeld; das gibt in jedem Punkt des Raumes Richtung und Geschwindigkeit der Strömung an. Hast du das Vektorfeld, kannst du Stromlinien berechnen: die Wege der Flüssigkeitsteilchen. An manchen Stellen ist die Geschwindigkeit null; diese singulären Punkte des Vektorfelds ergeben interessante Strömungsformen – Quellen, Senken und Sattelpunkte. Damit können wir die Formen einer Flüssigkeitsströmung auf einfache, spezielle Eigenschaften des zugehörigen Geschwindigkeitsfelds zurückführen und sehen so, daß die zugrundeliegenden Gesetze eigentlich recht einfach sind, obwohl Flüssigkeiten sich unglaublich kompliziert verhalten.“

„Sieht aus wie eine geschmolzene Honigwabe“, sagte Deirdre nachdenklich. „Was hat Fomenko wohl dazu inspiriert, diese Bilder anzufertigen?“

„Nun“, sagte Oliver, „er selbst sagt folgendes über seine Arbeit:“



Nach meinem Eindruck sind die allgemeinen Naturgesetze so mächtig, daß wir uns ihre Stärke kaum vorstellen können – und diese Gesetze regieren unsere Welt. Unsere Lebensbahnen, unsere Bewegungen in gewissem Sinne, werden von diesen Gesetzen determiniert, obwohl wir uns in einem schmalen Bereich frei bewegen können.

Als Individuen sind wir so klein, daß wir nur einen kleinen Ausschnitt aus dieser großen Welt sehen können, die viel größer ist als unsere Fähigkeiten, sie zu verstehen. Aber die Mathematik kann uns eine Art allgemeines Gefühl dafür verschaffen, wie diese große Welt aussieht, obwohl wir sicherlich nicht alle Einzelheiten zu verstehen vermögen. Das ist schlicht unmöglich.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 6 / 1993, Seite 10
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