Von allen Gebieten der Mathematik ist für den Zauberkünstler am ergiebigsten die Topologie. Sie wird auch Gummituch-Geometrie genannt, weil sie diejenigen Eigenschaften eines Gegenstands untersucht, die sich unter Verzerrungen (genauer gesagt: unter stetigen Deformationen) nicht ändern.

Es ist immer wieder überraschend, welche Deformationen unter der Bedingung der Stetigkeit noch möglich sind – und noch überraschender, daß es eben doch verborgene, nicht ohne weiteres einsichtige Beschränkungen gibt. Indem der Mathemagier diese beiden dem gesunden Menschenverstand widersprechenden Fakten gegeneinander ausspielt, kann er die einfachsten und doch verwirrendsten Illusionen zustande bringen.


Der Narrenknoten

Sie können einen dekorativen Knoten binden, während alle zuschauen. Aber keiner kann es Ihnen nachmachen, so oft Sie den Trick auch vorführen.

Nehmen Sie ein etwa zwei Meter langes, sehr glattes und flexibles Seil und halten Sie es wie in Bild 1a gezeigt. Lassen Sie die beiden Enden so herabhängen, daß sie ein Gegengewicht zu dem Seilteil zwischen Ihren Handflächen bilden. Bewegen Sie Ihre Hände nun langsam aufeinander zu – unter bedeutsam scheinenden Aktionen der rechten Hand, um das Publikum von den wirklich wichtigen Bewegungen abzulenken, die alle mit der linken Hand auszuführen sind.

Schieben Sie deren Daumen unter das Seil (Bild 1b). Dann ziehen Sie schnell die Finger weg und legen sie hinter das herabhängende Ende (Bild 1c). Schieben Sie, ohne in der Bewegung innezuhalten, Ihre Finger unter das horizontale Seilstück und ziehen Sie dann den Daumen zurück (Bild 1d). Schließlich greifen Sie mit Zeige- und Mittelfinger jeder Hand das Seilende, das von der anderen Hand herabhängt (Bild 1e). Wenn Sie jetzt das Seil festhalten und die Hände auseinanderziehen, erscheint ein hübscher, symmetrischer Knoten (Bild 1f).

Üben Sie die Bewegungsfolge so lange, bis sie ohne zu stocken harmonisch abläuft. Der Knoten löst sich, wenn Sie die Seilenden auseinanderziehen, und schon können Sie den Trick wiederholen – je öfter, desto rätselhafter scheint er.


Ein Seil geht in den Ärmel...

Kann man sich einer Seilschleife um den Arm entledigen, ohne die Hand aus der Tasche zu ziehen? Es geht, erfordert aber akrobatische Fähigkeiten. Demonstrieren Sie deshalb das Kunststück an einer Person aus dem Kreis, was immer noch eindrucksvoll genug ist.

Nehmen Sie ein zwei Meter langes Stück Seil und verknoten Sie die Enden. Ihr Partner zieht ein Jackett an, knöpft es zu, steckt einen Arm durch die Schleife und dann die Hand in die Jackett-Tasche (Bild 2a). Es wäre ein billiger Scherz, nun die ganze Schleife in die Tasche zu stopfen und über die Finger zu ziehen.

Die Grundlage für den wirklich anspruchsvollen Trick: Die Schleife ist gar nicht mit dem Körper verschlungen, weil das Jackett Löcher hat – ein Beispiel topologischer Flexibilität. Schieben Sie zunächst die Schleife zwischen Arm und Ärmel an der Außenseite des Arms hoch (Bild 2a). Ziehen Sie sie am Kragen heraus und über den Kopf, dann auf der Außenseite des anderen Armes, aber unter dem Ärmel abwärts (Bild 2b), über die freie Hand hinweg und dann den Ärmel wieder hinauf, diesmal an der Innenseite. Fassen Sie nun die Schlinge da, wo sie vor dem Hals vorbeiläuft, und ziehen Sie sie innerhalb des Jacketts abwärts. Die Schleife zieht sich dann durch die Ärmel, fällt schließlich zu Boden, und der Befreite kann aussteigen.


... und in die Hose

Sobald Ihre Zuschauer das Verfahren durchschaut haben, fragen Sie einen Freiwilligen, ob das Kunststück wohl auch gelingen könne, wenn seine Hand nicht in der Jackett-, sondern in der Hosentasche steckt. Nach der eben beschriebenen Bewegungsfolge verfahren Sie, bis die Schleife um die Taille des Opfers liegt; sie ist dann immer noch mit dem Arm verschlungen. Um sie gänzlich loszuwerden, muß man eine ähnliche Bewegungsfolge nochmals durchführen, aber mit der Hose statt dem Jackett.

Stopfen Sie einen Teil der Schleife in den Hosenbund, außen an der Seite gegenüber der in der Tasche steckenden Hand, schieben Sie die Schleife im Hosenbein abwärts, dann über den Fuß, wieder im Hosenbein innen nach oben – und ziehen Sie sie schließlich von dem anderen Hosenbein ab. Dies sieht alles sehr unschicklich aus, und die Zuschauer werden ihren Spaß haben.


Finger durchschneiden

Sie können einen Faden so geschickt um die Finger einer Hand winden, daß es so aussieht, als würden sie durchschnitten, wenn man an dem Faden zieht.

Binden Sie eine einen Meter lange Schnur zu einer Schleife. Legen Sie sie über den kleinen Finger der linken Hand, überkreuzen Sie die Fäden und ziehen Sie sie über den nächsten Finger, überkreuzen Sie wieder in derselben Richtung und fahren Sie so fort, bis der Rest der Schleife hinter dem Daumen herabhängt (Bild 3a). Führen Sie beide Fäden um den Daumen und über die Finger in der umgekehrten Reihenfolge. Zwischen je zwei Fingern überkreuzen Sie wieder die Fäden, aber in der anderen Richtung als auf dem Hinweg (Bild 3b).

Geben Sie nun unauffällig die Schnur frei, indem Sie den Daumen einknicken, und ziehen Sie fest an der Schlaufe, die vom kleinen Finger herabhängt. Man kann geradezu hören, wie die Schnur die Finger durchschneidet. Aber merkwürdigerweise bleiben sie alle heil – es sei denn, Sie hätten eine Überkreuzung falsch herum gelegt.


Knotenketten

Zu diesem Trick gehört eine Geschichte, die Sie dem Publikum erzählen, während Sie die notwendigen Handgriffe ausführen: König Kreuzhaube III. von Topologopolis hatte eine wunderschöne Tochter namens Möbia. Zwei Männer wollten sie heiraten – ein alter Graf, der so kurzgewachsen, rund und häßlich war, daß er nur Sir Kleine Flasche genannt wurde, und der gutgebaute Schmied Hans Hartnagel. Der König, der mehr auf eine standesgemäße Verbindung als das Glück seines Kindes sah, wollte die Entscheidung durch einen Geschicklichkeitswettbewerb treffen: Derjenige sollte die Hand seiner Tochter erhalten, der in einer Minute die meisten Knoten in einen Faden binden könnte.

Das Volk versammelte sich auf dem Marktplatz, um dem Spektakel beizuwohnen. Punkt zwölf Uhr ließ der Großwesir einen Gong ertönen, und der Graf begann, mit wieselflinken Fingern Knoten um Knoten zu knüpfen, während Hans Hartnagel einfach den Faden viele Male um seinen Daumen wand, aber dabei vergnügt vor sich hinpfiff. Der armen Möbia wurde angst und bange.

"Einundfünfzig", zählte der Wesir, "zweiundfünfzig". Nur noch wenige Sekunden – Sir Kleine Flasche hatte schon 77 Knoten gebunden und der Schmied keinen einzigen! Aber als der Wesir "fünfundfünfzig" ansagte, zog Hans seinen Daumen aus den Schlaufen heraus. Bei "sechsundfünfzig" steckte er das freie Ende durch die Schlaufen, bei "siebenundfünfzig" begann er langsam, doch stetig an einem Ende zu ziehen. Bei "achtundfünfzig" schlang der Graf seinen siebenundachtzigsten Knoten – "neunundfünfzig!" – und warf siegesgewiß lüsterne Blicke auf die schöne Möbia. Da aber bemerkte er, wie sich in Hansens Faden beim Herausziehen lauter kleine Knoten bildeten, und als der Gong zum zweiten Mal ertönte, hatte der Graf 90 Knoten geschafft, während sich auf dem Faden des Schmieds 100 wie kleine Perlen aneinanderreihten.

Das Geheimnis besteht darin, die Schlaufen wie in Bild 4 a zurechtzulegen und nacheinander auf den Daumen zu stecken. Wenn Sie etwa ein Dutzend Schlaufen haben (die hundert in der Geschichte sind eine poetische Übertreibung), schieben Sie das Ende hindurch (Bild 4b). Halten Sie das Ganze fest in Ihrer linken Hand, so daß nur das Ende des Fadens herausschaut, und ziehen Sie die Schnur vorsichtig und gleichmäßig mit der rechten Hand heraus. Dabei bilden sich die Knoten (Bild 4c).

Früher stellten die Feuerwehrleute auf diese Weise geknotete Seile her, an denen Eingeschlossene aus brennenden Häusern herausklettern konnten. Die topologische Erkenntnis ist, daß man zusammengesetzte Knoten – eine ganze Knotenfolge – erzeugen kann, ohne einen nach dem andern formen zu müssen. Auch das Prinzip der mathematischen Induktion spielt hier eine Rolle; denn nachdem man eine Schlaufe herausgezogen und einen Knoten gebildet hat, ist man wieder in der gleichen Situation wie zuvor – abgesehen davon, daß es jetzt eine Schlaufe weniger ist – und kann weitere Knoten herausziehen, solange noch Schlaufen übrig sind.


Das rote Musselinband

Der in Leipzig lehrende Mathematiker August Ferdinand Möbius (1790 bis 1868) hat wichtige Beiträge zur Geometrie geleistet und war Direktor der Sternwarte auf der Pleißenburg; bekannt ist er indes durch das nach ihm benannte Band, das er im Jahre 1858 sowie unabhängig davon Johann Benedikt Listing (1808 bis 1882) entdeckten. Sie können es herstellen, um seine paradox anmutenden Eigenschaften zu erkunden, indem Sie die Enden eines Papierstreifens nach einer halben Drehung zusammenkleben: Es hat nur eine Seite (versuchen Sie es anzumalen!), und wenn man es an der Mittellinie entzweischneidet, entsteht eine zweifach in sich gedrehte Schleife, die bei nochmaligem Längsschnitt in zwei zusammenhängende Möbius-Bänder zerfällt. Für Zaubertricks sind Stoffstreifen anstelle von Papier geeigneter.

Bei dem einfachsten Trick gibt man zwei Freiwilligen je eine Schleife, die sie entlang der Mittellinie zerschneiden sollen, und verspricht demjenigen einen Preis, der als erster zwei getrennte Schleifen vorweisen kann. Aber keiner der beiden hat eine Chance, etwas richtig oder falsch zu machen, weil Sie das eine Band vor dem Zusammennähen um eine halbe Drehung verwunden haben, das andere um eine volle. Wenn die Bänder lang genug sind (4 oder 5 Meter), fällt der Unterschied nicht auf.

Eine Variation hat der Amateur-Zauberer James Wobensmith 1923 unter dem Titel "The red muslin band" beschrieben: Nähen Sie die wie oben präparierten Schleifen mit schlechtem Garn so aneinander, daß Sie sie zu Beginn der Vorführung effektvoll auseinanderreißen können (Bild 5).

Ein Lasso für Finger

Der folgende Partytrick basiert auf dem Jordanschen Kurvensatz. Eine geschlossene Kurve (Schleife) heißt einfach, wenn sie sich nicht selbst überschneidet. Der Satz des an der École Polytechnique lehrenden Camille Jordan (1838 bis 1922) besagt nun, daß jede einfache, geschlossene Kurve in der Ebene diese in einen Innen- und einen Außenbereich zerlegt. Das scheint selbstverständlich, ist aber schwer zu beweisen. Jordans erste Arbeit darüber war sogar fehlerhaft; die korrekte von 1887 umfaßt immerhin etwa hundert Seiten.

Knoten Sie ein etwa sechs Meter langes Stück Schnur zu einer Schleife. Bitten Sie einen Freiwilligen, sie in beliebig komplizierter Weise auf dem Fußboden auszulegen, aber so, daß die Schnur sich nirgends überkreuzt (Bild 6a). Dann bedeckt ein zweiter Freiwilliger fast das ganze Gebilde mit Zeitungspapier, so daß nur in der Mitte ein kleiner rechteckiger Ausschnitt zu sehen bleibt (Bild 6b), und einen dritten lassen Sie einen Finger irgendwo in diesem Ausschnitt auf den Boden setzen.

Nun fragen Sie Ihr Publikum: "Wenn ich jetzt außen eine Zeitung wegnehme und an dem freiwerdenden Stück Schnur ziehe, wird dann der Finger eingefangen oder nicht?" Eine Antwort scheint unmöglich; aber Sie können immer die richtige geben.

Worin besteht das Geheimnis? Es ergibt sich aus einem Beweis des Jordanschen Kurvensatzes, der für glatte (knickfreie) Kurven gilt. Man verbinde in Gedanken zwei nicht auf der Kurve gelegene Punkte durch eine Linie, welche die Kurve in einer endlichen Anzahl von Punkten schneidet. Ist diese Anzahl gerade, liegen entweder beide Punkte außen oder beide innen; ist die Anzahl hingegen ungerade, liegt ein Punkt innen, der andere außen.

Während das Seil ausgelegt wird, wandert der Zauberer in Gedanken von außen in das Muster ein, ohne das Seil zu überschreiten, bis er einen markanten Punkt in der Nähe der Mitte gefunden hat, der im Äußeren liegt (wie etwa Punkt A in Bild 6). Er merkt sich die Formen der Schnur in der Nähe dieses Punktes, so daß er ihn leicht wiederfindet, wenn der Rest mit Zeitung abgedeckt ist. Wenn der Freiwillige dann seinen Finger aufsetzt, zählt der Zauberer, wie oft er die Schnur überkreuzen muß, wenn er in Gedanken den Finger zu dem gemerkten Punkt A bewegt. Wenn diese Anzahl gerade ist, liegt der Finger im Außenbereich; also läßt sich das Seil abziehen. Anderenfalls bleibt die Schlaufe am Finger hängen.

In einer Variante steckt der Zauberer ein Dutzend Stecknadeln schnell und scheinbar zufällig in den Teppich. Wenn die Schnur dann abgezogen wird, bleiben sie alle stecken. Der Trick ist nicht schwer: Beginnen Sie mit dem gemerkten Punkt, kreuzen Sie zweimal die Schnur und stecken Sie eine Nadel ein; wiederholen Sie diese Prozedur beliebig oft. Sie können es auch so einrichten, daß alle Nadeln in der Schlaufe hängenbleiben: Kreuzen Sie beim ersten Mal nicht zweimal, sondern nur einmal die Schnur und verfahren Sie im übrigen wie zuvor.


Die verdrehte Schere

Nehmen Sie zwei Schnurstücke von drei Meter Länge, ziehen Sie eines durch einen Scherengriff und knoten Sie es zu einer Schleife; verfahren Sie ebenso mit der anderen Schnur und dem zweiten Scherengriff. Achten Sie darauf, daß die beiden Schleifen nicht ineinander hängen. Nun lassen Sie einen Freiwilligen die Schere mit den Klingen nach oben halten und je einen Fuß auf beide herabhängenden Schleifen stellen. Damit verlaufen vier annähernd parallele Schnurstücke von der Schere zum Boden. Drehen Sie die Schere einmal um die Vertikale. Dabei verheddern sich die Schnüre.

Bitten Sie nun den Freiwilligen, die Schnüre wieder zu entwirren, ohne die Schere zu drehen und ohne die Füße zu bewegen; parallelverschieben darf er die Schere beliebig. Aber das wird ihm nichts helfen. Wenn jedoch Sie das Kunststück versuchen, klappt es immer.

Das Geheimnis: Der Zauberer dreht die Schere um 360 Grad, bevor er sie seinem Opfer wiedergibt. Für sich selbst dreht er sie zweimal, also um 720 Grad, und dann läßt sich leicht eine Folge von Bewegungen finden, die alles entwirrt.

Der topologische Grund dahinter ist freilich ziemlich schwierig. Für Fachleute: Es liegt an der Existenz von Elementen der Ordnung 2 in der Fundamentalgruppe der projektiven Ebene. Nach der Drehung um 360 Grad stehen der Mensch und die Schere in einer anderen topologischen Beziehung zueinander als zuvor, was plausibel ist; aber nach Drehung um 720 Grad ist die Beziehung die gleiche wie zu Anfang. Das ist weit weniger plausibel.

Anstelle der Schnurschleifen können Sie Bänder verwenden und verlangen, daß diese am Ende nicht nur entwirrt sein müssen, sondern auch nicht in sich verdreht sein dürfen. Das scheint komplizierter zu sein, vereinfacht das Problem aber tatsächlich, weil es dann weniger Löcher gibt, durch die man die Schere schieben kann. Wenn Sie sich die Kanten der Bänder als Schnurstücke denken, sehen Sie, daß es sich um das gleiche Problem handelt.


Die Befreiung der Handtasche

Für diesen Trick brauchen Sie eine Dame, die eine Handtasche mit zwei Henkeln hat. Befestigen Sie eine lange Schleife mit einmaligem Durchziehen an einem Henkel. Ziehen Sie das andere Ende durch den anderen Henkel (Bild 7a) und halten es fest. Nun soll die Dame ihre Handtasche befreien, ohne daß Sie loslassen.

Das Geheimnis besteht darin, die kleine Schleife aufzuweiten und durch den anderen Henkel sowie dann über die gesamte Handtasche zu ziehen (Bild 7). Nur wenige Menschen finden diese Methode von alleine. Der Zauberer kann also zuversichtlich sein, daß er selbst nach mehreren Fehlversuchen der Freiwilligen als erster die Lösung präsentiert.

Nach demselben Verfahren lassen sich kompliziertere Gegenstände mit vielen Henkeln und Löchern von einer Fadenschlinge losmachen, die zuerst wie am Handtaschenhenkel verknotet und dann als Doppelfaden kompliziert um das Ding gewunden ist. Zuerst schiebt man so viel Schnur durch die Windungen, daß sich die erste Schlinge aufweiten läßt. Dann schiebt man diese lose Schlaufe an dem Doppelfaden entlang, getreulich allen Windungen folgend, bis sie frei ist, zieht sie um das ganze Ding herum und bringt sie so auf die andere Seite des Doppelfadens. Schließlich bringt man sie in die Ausgangslage zurück, wobei sie auf der anderen Seite des Doppelfadens verbleibt. Am Ende kann man den Gegenstand vorsichtig herausziehen.

Dazu eine alte Seefahrergeschichte: Ein Pirat hat mehr Gefangene gemacht, als er auf seinem Schiff unterbringen kann. So steckt er sie in ein Beiboot, schlingt ein Doppelseil auf komplizierte Weise um Ösen an Bug und Heck, legt noch Mastwürfe um jede Ruderbank und vertäut das Boot achtern an seinem Schiff (Bild 8). Wie können die Gefangenen entkommen? Der Trick ist am besten mit einem Pappmodell vorzuführen.

Literaturhinweise

- Das Ashley-Buch der Knoten. Von Clifford W. Ashley. 4. Auflage. DK Edition Maritim, Hamburg 1993.

– Mathemagische Tricks. Von Martin Gardner. Vieweg, Braunschweig 1981.

– Get Knotted! Von John Jaworski und Ian Stewart. Pan Books, London 1976.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 12 / 1994, Seite 10
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