Das Dodekaeder hat 20 Ecken, 30 Kanten und 12 Seitenflächen – jede ein Fünfeck. Aber welcher Körper hat 22,9 Ecken, 34,14 Kanten und 13,39 Seitenflächen, deren jede ein 5,103-Eck ist? Irgendein verrücktes Fraktal vielleicht? Keineswegs. Sie finden ihn bei sich zu Hause. Halten Sie danach Ausschau, wenn Sie ein Glas Cola oder Bier trinken, duschen oder Geschirr spülen.

Natürlich habe ich ein bißchen gemogelt. Meinen bizarren Körper findet man in einer typischen Wohnung in demselben Sinne, wie man in einer typischen Familie 2,3 Kinder findet. Er existiert nur als Durchschnitt. Und es handelt sich nicht um einen Festkörper, sondern um eine Schaumblase. Schaum enthält Tausende von Blasen, dicht zusammengedrängt in Form winziger, unregelmäßiger Polyeder – und zwar mit durchschnittlich 22,9 Ecken, 34,14 Kanten und 13,39 Flächen. Wenn es eine "durchschnittliche Blase" gäbe, dann müßte sie also einem Dodekaeder ähnlich sehen – nur ein bißchen vielflächiger.

Seifenblasen begeistern die Menschen, seit es Seife gibt. Aber ihre mathematische Erforschung begann erst in den dreißiger Jahren des letzten Jahrhunderts, als der belgische Physiker Joseph A. Plateau (1801 bis 1883) Drahtgestelle in Seifenwasser tauchte und über die Ergebnisse staunte. Selbst heute, 170 Jahre später, haben wir noch keine vollständige mathematische Erklärung – oder auch nur Beschreibung – einiger interessanter Phänomene, die Plateau beobachtet hat.

Berühmt geworden ist die Doppel-Blasen-Vermutung (im englischen Original blubbert der Name viel schöner: double bubble conjecture). Sie besagt, daß zwei aneinandergrenzende Blasen eine Form bilden, die aus drei Kugelflächenstücken besteht (Bild 2). Dabei ist die ebene Fläche zwischen zwei Blasen gleichen Volumens als Grenzfall eines Stücks Kugelfläche mit unendlichem Radius inbegriffen. Im Jahre 1995 haben Joel Hass von der Universität von Kalifornien in Davis und Roger Schlafly von der Firma Real Software in Soquel (Kalifornien) einen Beweis dieser Vermutung für den Spezialfall angekündigt, daß die beiden Kugeln das gleiche Volumen umschließen. Der Fall verschieden großer umschlossener Volumina ist weiter offen. Viele andere von Plateau beobachtete Phänomene sind mittlerweile aber gut verstanden; Experimente mit Seifenfilmen haben den Mathematikern wiederholt dabei geholfen, strenge Beweise für wichtige geometrische Sätze zu finden.

Plateau führte 1829 ein optisches Experiment durch, bei dem er 25 Sekunden lang in die Sonne blicken mußte. Das schädigte seine Augen so schwer, daß er später erblindete. Gleichwohl lieferte er weiterhin wichtige Beiträge zum "anschaulichsten" Gebiet der Mathematik, der dreidimensionalen Geometrie.

Seifenblasen und -filme sind reale Beispiele für Flächen minimalen Inhalts – in der Mathematik als Minimalflächen bekannt und intensiv studiert (vergleiche Spektrum der Wissenschaft, Oktober 1990, Seite 96). Die durch die Oberflächenspannung der Seifenhaut bedingte potentielle Energie ist proportional zur Fläche. Die Natur minimiert gerne die Energie – deshalb minimieren Seifenhäute ihre Oberfläche. Beispielsweise ist die Fläche kleinsten Inhaltes, die ein gegebenes Volumen umschließt, eine Kugeloberfläche: Seifenblasen sind kugelförmig.

Ein Seifenfilm ist so dünn, ungefähr ein tausendstel Millimeter, daß er dem mathematischen Ideal einer unendlich dünnen Fläche schon einigermaßen nahe kommt. Bewegte Blasen sind ein Fall für sich, weil dynamische Kräfte – zum Beispiel aus dem Mund des Aufpustenden – ihnen phantastische Gestalten geben können.

Ohne irgendwelche Zusatzbedingungen wäre die Oberfläche einer Minimalfläche gleich null. Üblicherweise fordert man, daß die Fläche ein gegebenes Volumen einschließen, ihr Rand auf einer gegebenen Fläche oder Kurve liegen soll, oder beides. Eine Blase auf einer horizontalen Ebene – zum Beispiel einer Tischplatte – bildet gewöhnlich eine Halbkugel, denn das ist die Form kleinster Oberfläche, die ein gegebenes Volumen einschließt und deren Rand in einer Ebene liegt.

Plateau hatte sich besonders für Flächen interessiert, deren Rand aus einer oder mehreren vorgegebenen Kurven besteht. In seinen Experimenten realisierte er die Randkurven durch geeignet gebogene und miteinander verlötete Drahtstücke. Man nehme beispielsweise zwei Kreise, welche die obere und die untere Randkurve eines Zylinders bilden: gleich groß und in parallelen Ebenen, auf denen die Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte senkrecht steht. Welche Minimalfläche stellt sich ein? Naheliegend wäre der Zylindermantel. Aber es geht besser. Der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707 bis 1783) bewies, daß die Minimalfläche mit solch einem Rand ein Katenoid ist, eine Fläche, die entsteht, wenn man eine U-förmige Kurve, eine sogenannte Kettenlinie, um eine Achse durch die Mittelpunkte der beiden Randkreise dreht (Bild 4 links).

Die Kettenlinie ist die Kurve, die eine schwere, homogene Kette unter der Wirkung der Schwerkraft einnimmt, wenn sie an beiden Enden gleich hoch aufgehängt wird. (Denken Sie besser an ein Seil als an eine Kette; denn auf die endlich langen Kettenglieder kommt es nicht an.) Sie ist einer Parabel ähnlich, nur etwas dicker. Eulers Satz kann man bestätigen, indem man zwei Drahtringe mit Griffen – die Drahtgestelle von Teenetzen oder ähnliches – parallel zueinander in spülmittelhaltiges Wasser taucht, herausholt und vorsichtig auseinanderzieht. Dabei ensteht das Katenoid in voller Pracht.

Eine klassische Beschreibung von Experimenten mit Seifenhäuten findet sich in dem Buch "Was ist Mathematik?" von Richard Courant und Herbert Robbins. Die Autoren schildern auch, welche Formen sich einstellen, wenn man ein Drahtgestell in Form eines regulären Polyeders (platonischen Körpers) aus der Seifenlauge zieht. Auch dieses Experiment hatte Plateau schon durchgeführt. Der einfachste Fall steht nicht bei Courant und Robbins: das reguläre Tetraeder, ein Gebilde aus vier Dreiecken mit sechs gleichlangen Kanten. Die zugehörige Minimalfläche besteht aus sechs Dreiecken, die alle im Mittelpunkt des Tetraeders zusammentreffen.

Ein würfelförmiges Gestell ergibt ein kompliziertes System von 13 nahezu ebenen Flächen (Bild 4 rechts). Anders als beim Tetraeder ist dieser Fall theoretisch noch nicht vollständig geklärt.

An den Flächen zum Tetraeder sieht man zwei allgemeine Eigenschaften, die schon Plateau beobachtet hatte. Die Seifenhäute treffen entlang der Kanten, die von den Ecken zum Mittelpunkt verlaufen, zu je dreien unter dem Winkel 120 Grad zusammen. Im Mittelpunkt bilden die vier Kanten Winkel von 109 Grad 28 Minuten. Diese beiden Winkel – 120 Grad zwischen Flächen und 109 Grad 28 Minuten zwischen Kanten – treten so gut wie jedesmal auf, wenn Seifenhäute aneinandergrenzen (Bild 7).

In echtem Schaum sind die Häutchen zwischen Blasen leicht gekrümmt; sie verdicken sich zu den Kanten hin (Bild 1; siehe auch "Wäßrige Schäume" von James H. Aubert, Andrew M. Kraynik und Peter B. Rand, Spektrum der Wissenschaft, Juli 1986, Seite 126). Aber je länger der Schaum absteht, desto dünner werden die Flüssigkeitsfilme und nähern sich immer besser ebenen Flächen an, zwischen denen sich auch die angegebenen Winkel einstellen. Wenn man annimmt, daß Schaum aus vielen gleichen Polyedern besteht, deren Seitenflächen reguläre Polygone mit Winkeln von 109 Grad 28 Minuten sind (das geht zwar nicht, aber das soll uns nicht stören), kommt man auf die merkwürdigen Werte für die mittlere Anzahl von Ecken, Kanten und Seitenflächen, die ich zu Beginn angegeben habe. Es gibt übrigens konkurrierende Überlegungen und Messungen an Schäumen sowie zusammengepreßten Bleikugeln, die zu höheren Werten kommen. Eine endgültige Antwort auf diese Frage steht noch aus.

Es stellte sich bald heraus, daß der von Plateau beobachtete Winkel von 120 Grad mathematisch wohlbegründet war. Diese Erkenntnis wird meist dem großen Schweizer Geometer Jacob Steiner (1796 bis 1863) zugeschrieben, der 1837 einen Beweis fand. Aber Evangelista Torricelli (1608 bis 1647) und Francesco B. Cavalieri (1598 bis 1647) waren ihm um fast 200 Jahre zuvorgekommen. Alle diese Mathematiker untersuchten ein analoges Problem für Dreiecke. Gegeben seien ein Dreieck und darin ein Punkt. Man zeichne die Verbindungslinien von diesem Punkt zu den Ecken des Dreiecks und zähle deren Längen zusammen. Für welchen Punkt wird diese Gesamtlänge minimal? Antwort: Für den Punkt, in dem sich die drei Linien unter Winkeln von 120 Grad treffen. (Das gilt, falls kein Dreieckswinkel größer als 120 Grad ist. Andernfalls ist der gesuchte Punkt die Ecke des Dreiecks, an der dieser Winkel anliegt.) Das Problem für Seifenhäutchen läßt sich auf das für Dreiecke zurückführen, indem man die Häute mit einer geeigneten Ebene schneidet.

Im Jahre 1976 konnten Frederick J. Almgren jr., damals an der Universität Princeton (New Jersey), und Jean E. Taylor, damals am Massachusetts Institute of Technology in Cambridge, Plateaus zweite Regel über den Winkel von 109 Grad 28 Minuten beweisen. Wie sieht es in der Umgebung einer Ecke aus, in der sechs Flächen aneinandergrenzen, die ihrerseits jeweils zu dritt eine Kante gemeinsam haben? Innerhalb des Tetraeders muß sich der Winkel 109 Grad 28 Minuten schon aus Symmetriegründen einstellen; aber gilt das auch für den allgemeinen Fall? Almgren und Taylor zeigten zuerst, daß man die geringe Krümmung der realen Seifenhäute vernachlässigen und die Flächen als eben annehmen darf. Dann legten sie eine gedachte kleine Kugel um die fragliche Ecke. Die Flächen, die dort zusammentreffen, schneiden die Kugeloberfläche in Kreisbögen. Da die Seifenhäute Minimalflächen sind, muß auch die Gesamtlänge der Kreisbögen minimal sein. Der Satz von Torricelli und Cavalieri läßt sich von der Ebene auf die Kugeloberfläche übertragen und ergibt, daß diese Bögen miteinander Winkel von 120 Grad bilden müssen.

Almgren und Taylor zeigten, daß es genau zehn verschiedene Konfigurationen gibt (Bild 5), die dieses Kriterium erfüllen. Für jede Konfiguration bestimmten sie, ob sich die Gesamtfläche der Häutchen innerhalb der Kugel verkleinern läßt, wenn man die Flächen ein wenig deformiert und dabei möglicherweise neue Flächenstücke einfügt. Wenn das der Fall ist, hat die zugehörige Konfiguration nicht minimalen Flächeninhalt und ist deshalb zu verwerfen. Genau drei Fälle blieben übrig, die ersten drei im Bild. Sie entsprechen einer einzigen Haut; drei Teilstücken, die unter Winkeln von 120 Grad aneinandergrenzen; und sechs Flächen, die sich in Winkeln von 109 Grad 28 Minuten treffen – genau wie von Plateau beobachtet.

In ihrem Beweis mußten Almgren und Taylor Methoden außerhalb der Geometrie verwenden, aus der Analysis und deren esoterischen Abkömmlingen bis hin zur Maßtheorie. Damit erfaßten sie auch Blasenformen, die viel komplexer sind als solche mit glatten Oberflächen.

Aus der 120-Grad-Regel ergibt sich eine schöne Eigenschaft für zwei aneinandergrenzende Bläschen. Aus empirischen Gründen wurde schon seit langem vermutet, daß zwei aneinandergrenzende Blasen drei kugelförmige Flächen ausbilden (Bild 2 links). Das ist die Doppel-Blasen-Vermutung. Wenn sie zutrifft, besteht zwischen den Radien der drei Kugelflächen ein einfacher Zusammenhang. Die Radien der beiden Kugeln seien r und s, und der Radius der Kugelfläche, entlang der die beiden Blasen aneinandergrenzen, sei t (Bild 6). Dann gilt 1/r = 1/s + 1/t. Das zeigt Cyril Isenberg in seinem Buch "The Science of Soap Films and Soap Bubbles", indem er nur elementare Geometrie und die 120-Grad-Regel verwendet.

Es bleibt zu zeigen, daß die Flächen überhaupt Teile von Kugelflächen sind. Eben das haben Hass und Schlafly 1995 erreicht – allerdings nur unter der Zusatzannahme, daß beide Blasen gleiche Volumina enthalten. Zum Beweis mußten sie 200260 Integrale berechnen, um konkurrierende Möglichkeiten auszuschließen. Aber dazu brauchte ihr Computer nur 20 Minuten.

Eine Tatsache über den Fall mit ungleichen Volumina ist allerdings bekannt. Einerlei wie die Minimalkonfiguration aussieht, sie muß eine rotationssymmetrische Fläche sein. Damit läßt sich das Problem auf ein System von Kurven in der Ebene zurückführen. Aber trotz dieser Vereinfachung bleibt das Problem so unzugänglich wie damals, als der fast blinde Plateau sein erstes Drahtgerüst in Seifenlauge tunkte.

Literaturhinweise

The Kelvin Problem: Foam Structures of Minimal Surface Area. Herausgegeben von Denis Weaire. Taylor & Francis, 1997.

Scienza e arte nelle bolle di sapone. Von Michele Emmer in: Le Scienze, April 1998, Seiten 40 bis 47.

Was ist Mathematik? Von Richard Courant und Herbert Robbins. 4. Auflage, Springer, Heidelberg 1992.

The Science of Soap Films and Soap Bubbles. Von Cyril Isenberg. Dover, 1992.

Doppelseifenblasen und Studentenforschung. Von Frank Morgan in: Mitteilungen der DMV, Heft 1-1997, Seiten 25 bis 27.

Bilder von Doppel-Seifenblasen und Schäumen, gerechnet von John Sullivan, finden sich im World Wide Web unter http://www.math.uiuc.edu/~jms/Images/.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 12 / 1998, Seite 14
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