Wenn man eine Flüssigkeit mit niedriger Geschwindigkeit durch ein zylindrisches Rohr pumpt, stellt sich nach kurzer Zeit ein stationärer laminarer Strömungszustand ein: Die Flüssigkeitsmoleküle bewegen sich im wesentlichen parallel zur Längsachse des Rohres mit einer Geschwindigkeit, die von null an der Wand des Rohres bis zu einem Maximum in der Mitte parabelförmig ansteigt (Bild 1). Erhöht man die mittlere Strömungsgeschwindigkeit, so ändert sich an dieser sogenannten Poiseuille-Strömung zunächst nichts Wesentliches, bis bei einem gewissen Wert Wirbel entstehen und die Strömung einen völlig anderen Charakter annimmt: Sie wird turbulent.

Das ist wohlbekannt und experimentell an jedem Wasserhahn nachvollziehbar. Um so ärgerlicher war es bislang, daß die mathematische Modellierung dieses Phänomens weit von der Realität entfernt blieb. Während im Experiment die Turbulenz bereits bei Reynolds-Zahlen um 1000 einsetzt, müßte nach der üblichen Stabilitätsanalyse die Strömung bis hinauf zu einer Reynolds-Zahl von 5772 laminar bleiben. (Die Reynolds-Zahl ist eine dimensionslose Größe, in welche die Abmessungen des Systems zum Beispiel der Rohrdurchmesser –, die Strömungsgeschwindigkeit und die Viskosität des Mediums eingehen. Wesentliche Eigenschaften einer Strömung wie etwa die Laminarität hängen nur von der Reynolds-Zahl ab. )

Es gibt allerdings eine gute Entschuldigung für diese Diskrepanz. Die Differentialgleichungen der Hydrodynamik – insbesondere die Navier-Stokes-Gleichungen, welche die viskose Strömung beschreiben – sind ihrer Natur nach nichtlinear und damit schwierig. Es ist zum Beispiel unmöglich, die turbulente Bewegung von Wasser in einem Rohr durch eine geschlossene Formel zu beschreiben; das gelingt lediglich für Situationen wie bei der Poiseuille-Strömung, wenn Symmetrien die Anzahl der zu berücksichtigenden Raumdimensionen reduzieren: Weil sich das Strömungsbild durch Verschieben entlang der Rohrachse oder durch Rotation um dieselbe nicht ändert, kann man die zugehörigen Koordinaten eliminieren und dadurch das Problem hinreichend vereinfachen.

Bei einer linearen Theorie würde die Kenntnis solcher speziellen Lösungen bereits wesentlich weiterhelfen. Typische Beispiele sind die Wellenausbreitung und die Diffusion von Wärme oder von chemischen Substanzen. Da nach dem Huygensschen Prinzip jede Welle sich so ausbreitet, als wären die anderen nicht da, kann man spezielle Wellenlösungen addieren und dadurch kompliziertere Lösungen aus einfachen zusammensetzen. Dieses Superpositionsprinzip scheitert jedoch bei den Navier-Stokes-Gleichungen daran, daß ein Term nicht linear von der Geschwindigkeit abhängt (ihr nicht proportional ist), sondern quadratisch: Er ist gleich dem Produkt aus der Geschwindigkeit und ihrer räumlichen Änderung.

Störungsrechnung

Das erklärt das Versagen der Theorie jedoch nur zum Teil. Man kann auch bei nichtlinearen Problemen mit der linearen Theorie durchaus etwas ausrichten, wenn man sich auf kleine Abweichungen von einer bekannten Lösung beschränkt. Das Produkt zweier kleiner Abweichungen ist nämlich noch viel kleiner und deswegen, wenn man es geschickt anstellt, vernachlässigbar.

Also arbeitet man mit einer linearen Gleichung, in der die unbekannte Funktion beispielsweise die Abweichung von der laminaren Poiseuille-Strömung ist. Damit hat man ein reichhaltiges, aus der Theorie der Schwingungen und Wellen geläufiges Instrumentarium zur Verfügung. Insbesondere kann man nach Resonanzen fragen: Regt man ein schwingfähiges Gebilde mit seiner Eigenfrequenz an, kann es sich im Prinzip bis zu beliebig hohen Amplituden aufschaukeln. Hat der lineare Operator– das mathematische Objekt, das die kleine Abweichung beschreibt – auch so etwas wie eine Lieblingsfrequenz (im Fachjargon: einen instabilen Eigenwert)?

Wenn dies der Fall ist, erklärt es den Ausbruch von Turbulenz. Denn dann vergrößert sich jede noch so kleine Störung der laminaren Strömung, bis sie nicht mehr klein ist und deshalb der linearen Theorie nicht mehr folgt. Dann kann man sie zwar nicht mehr ausrechnen, weiß aber trotzdem, daß die Strömung nicht zum laminaren Zustand zurückkehren wird. (Denn dazu müßte ihr Zustand in die Nähe des laminaren geraten; da ist aber die lineare Theorie wieder gültig und besagt, daß der Zustand sich von der Laminarität entfernen wird – und so weiter.) Die laminare Strömung ist instabil geworden.

Nicht-normale Operatoren

Nach diesem Muster kann die Theorie den Verlust der Stabilität in vielen anderen Situationen zufriedenstellend beschreiben. Den Fehlschlag im Falle der Hydrodynamik pflegte man damit zu erklären, daß man sich bei der Linearisierung ungeschickt angestellt habe.

Eine Gruppe um die Mathematiker Lloyd N. Trefethen vom Fachbereich Informatik der Cornell-Universität in Ithaca (New York) und Satish C. Reddy, der vor kurzem vom Courant-Institut für Mathematik der Universität New York an die Staats-Universität von Oregon in Corvallis gewechselt ist, hat in den vergangenen Jahren nun eine ganz andere Erklärung erarbeitet ("Science", Band 261, Seite 578, 30. Juli 1993, "Journal of Fluid Mechanics", Band 252, Seite 209, 1993, "SIAM Journal of Applied Mathematics", Band 53, Seite 15, Februar 1993): Die lineare Theorie, so konstatieren die Forscher, sei im Gegensatz zur üblichen Erklärung sehr wohl korrekt formuliert und anwendbar; allerdings habe man über dem Erfolg der Eigenwertanalyse vergessen, daß sie ihre volle Kraft nur in einem besonders bequemen Spezialfall entfalte, der gerade bei hydrodynamischen Problemen nicht einmal annähernd gegeben ist: dem eines normalen (oder auch selbstadjungierten) Operators.

Das hat nun mit der Hauptschwierigkeit der Theorie, daß es nämlich Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten zu lösen gilt, gar nichts zu tun. Vielmehr findet sich der Unterschied zwischen normalen und nicht normalen Operatoren bereits in Beispielen, die man sich noch geometrisch vorstellen kann. Es handelt sich um Verzerrungen (Transformationen) der Ebene oder des Raums, die Geraden auf Geraden abbilden und den Nullpunkt unverändert lassen, aber ansonsten beliebig sind. Drehungen um den Nullpunkt zählen dazu. Im allgemeinen wird eine solche Abbildung eine Kugel in ein Ellipsoid verwandeln, dessen Hauptachsen irgendwie schräg im Raum liegen.

Normale Operatoren sind nun solche, bei denen das Ellipsoid ausschließlich durch Streckung beziehungsweise Stauchung entlang der Hauptachsen entsteht, wobei diese obendrein senkrecht aufeinander stehen. In diesem Falle kann man das Problem erheblich vereinfachen, indem man zu einem neuen, an den Hauptachsen orientierten Koordinatensystem übergeht. In diesem System beeinflussen sich die Variablen nicht gegenseitig; was entlang der einen Koordinate geschieht, ist von den anderen vollkommen unabhängig, und der Operator wird bereits vollständig durch die Streckungs- (beziehungsweise Stauchungs-)faktoren beschrieben; das sind die Eigenwerte.

Die zu Schwingungsproblemen gehörigen Operatoren sind normal; hier spielen die Eigenschwingungen die Rolle der Hauptachsenkoordinaten, und die Lieblingsfrequenzen sind die Eigenwerte. Die Unabhängigkeit der Koordinaten entspricht der physikalischen Tatsache, daß die Schwingungen verschiedener Frequenzen unabhängig voneinander sind: Zwischen ihnen wird keine Energie ausgetauscht.

Nun ist es geradezu ein Charakteristikum der Turbulenz, daß die Energie von den großräumigen Bewegungen zu den kleinräumigen, von den großen Wirbeln zu den kleinen, von den niedrigen Frequenzen zu den hohen wandert. So erklärt sich, daß die zugehörigen Operatoren hochgradig nichtnormal sind; und daraus folgt, daß in diesem Falle die Eigenwertanalyse zwar korrekt ist (oberhalb einer Reynolds-Zahl von 5772 herrscht Turbulenz), aber belanglos (unterhalb auch).

Die Eigenwert-Theorie besagt außerdem, daß der erste Eigenwert, der die Instabilitätsgrenze überschreitet, einer symmetrischen Störung entsprechen muß. Beispielsweise gehört zur tiefsten Frequenz eines kreisförmigen Trommelfells eine radialsymmetrische Schwingung. Demnach müßte die Turbulenz zunächst in einer zweidimensionalen Form ausbrechen. Dagegen zeigt sich im Experiment, daß die früheste Form der Instabilität wesentlich dreidimensional ist: Es handelt sich um Wirbel in Stromrichtung (Bild 2). Auch diese Beobachtung wird durch den neuen Ansatz plausibel erklärt.

An die Stelle der wenig hilfreichen Eigenwerte des Operators selbst setzen Trefethen, Reddy und ihre Kollegen die Eigenwerte aller Operatoren, die aus dem gegebenen durch geringfügige Veränderungen in irgendeiner Richtung hervorgehen. Wegen der Nichtnormalität kann nämlich eine geringe Veränderung des Operators bereits dramatische Abweichungen in seinen Eigenwerten auslösen. Das so erhaltene mathematische Gebilde, das sogenannte epsilon-Pseudospektrum, erlaubt weitgehende und realitätsnahe Aussagen. Während ein echter Eigenwert einer im Prinzip unbegrenzten resonanten Verstärkung kleiner Störungen entspricht, gehören zu einem Pseudo-Eigenwert begrenzte Verstärkungsfaktoren, die jedoch immerhin Größenordnungen um 1000 erreichen können (Bild 3).

Damit haben Trefethen, Reddy und ihre Kollegen einen Weg aus einer vermeintlichen Sackgasse gewiesen, der das Phänomen der Turbulenz einer mathematisch korrekten Erklärung erheblich näherbringt. Zugleich haben sie an einer liebgewordenen Gewohnheit gerüttelt, die den Wissenschaftlern möglicherweise auch auf anderen Gebieten den Blick verstellt hat: Eigenwerte könnten irreführend, Pseudo-Eigenwerte hingegen hilfreich sein, wenn es um die Instabilität eines magnetischen Plasmas, Zyklone oder auch numerische Instabilitäten bei Lösungsverfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen geht.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 1 / 1994, Seite 30
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