Für s = 49 und r = 6 ergibt sich aus dieser Formel 13 983 816. Im deutschen Lotto kann man sich also mit knapp vierzehn Millionen Tipps einen garantierten Hauptgewinn holen; in Österreich und der Schweiz ist dieses Vergnügen bereits mit 8 145 060 Einsätzen zu haben. Entsprechend gering ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem einzigen Tipp sechs Richtige zu treffen, nämlich (in Deutschland) 1 durch 14 Millionen oder ungefähr 7x10E-8. Bei einer typischen Anzahl von 100 Millionen Tipps pro Spiel müsste es also im Durchschnitt ungefähr sieben Hauptgewinner pro Ausspielung geben.

Das gilt unter zwei Voraussetzungen: Erstens ist das Spiel fair, das heißt, die Lottomaschine zieht jede Kugel mit gleicher Wahrscheinlichkeit, und verschiedene Ziehungen sind voneinander unabhängig. Zweitens wählen die Spieler, ebenso wie die Lottomaschine, jede mögliche Kombination mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

Die erste Voraussetzung ist mit hinreichender Genauigkeit erfüllt. Jedenfalls lassen die Abweichungen von der Gleichhäufigkeit, die für gezogene Zahlen der Vergangenheit zu beobachten sind, keinen Schluss auf systematische Fehler des Ziehungsgerätes zu.

Dagegen weicht das tatsächliche Verhalten der Spieler weit von der zweiten Voraussetzung ab. Sonst könnte man die Anzahl der Gewinner in jeder Kategorie im Durchschnitt mehrerer Ausspielungen gut voraussagen. Vor allem würde sich die Standardabweichung, also die durchschnittliche Abweichung von der durchschnittlichen Gewinnerzahl, in einem vorhersagbaren Rahmen halten. Doch dies trifft nicht zu. In der 3. Ausspielung des Jahres 1988 gab es 222 Sechser, weit mehr als die zu erwartende Anzahl von 7.

Ein Blick auf das deutsche Tippfeld zeigt den Grund für diese hohe Zahl: Die gezogenen Zahlen 24, 25, 26, 30, 31 und 32 bilden einen Block in der Mitte des Tippfelds. Offensichtlich neigen viele Spieler dazu, ihre Kreuzchen in Form eingängiger Muster zu machen.

Die systematische Abweichung der Spieler von der Gleichverteilung gibt uns die einzige Chance in die Hand, unseren Lottogewinn zu maximieren, genauer gesagt: den zu erwartenden Verlust zu minimieren. Ein Sechser ist ein extrem unwahrscheinliches Ereignis, daran ist nichts zu ändern; aber wir können etwas dafür tun, dass wir uns den Gewinn mit niemandem teilen müssen, wenn es denn eintrifft. Allgemein ist es zweckmäßig, anders zu spielen als die anderen.

Aber wie spielen die anderen? Zur Beantwortung dieser Frage müssen alle Tipps einer oder mehrerer Ausspielungen statistisch aufbereitet werden. Erst in den letzten Jahren ist es dank der Computerentwicklung einfach geworden, so große Datenmengen zu analysieren und interpretieren. Dieses neue Teilgebiet der Statistik hat den Namen "Data Mining" bekommen.

Die schweizerische Lotteriegesellschaft Swiss Lotto hat uns die 7 Milliarden Zahlen aller Tipps der Jahre 1997 und 1998 zur Verfügung gestellt. Deren Untersuchung förderte überraschende Strukturen zu Tage.

So wird keineswegs jede Zahl von 1 bis 45 auch nur annähernd gleich häufig angekreuzt. Vielmehr wählen die Spieler tendenziell lieber kleine als große Zahlen und vernachlässigen die Zahlen am Rande des Feldes zu Gunsten derjenigen in der Mitte. Spitzenreiter ist die 9 mit einem Beliebtheitsquotienten (Häufigkeit geteilt durch Durchschnittshäufigkeit) von 1,4; die unbeliebteste, die 43, bringt es nur auf einen Quotienten von 0,6. Die Bevorzugung kleiner Zahlen und speziell der 9 ist wahrscheinlich dadurch zu erklären, dass viele Spieler Geburtsdaten in ein- und zweistellige Zahlen verwandeln.

Man könnte nun vermuten, dass ein Tipp um so beliebter ist, je beliebter die in ihm enthaltenen Zahlen sind. Bezeichnen wir das Produkt der sechs Beliebtheitsquotienten dieser Zahlen als die Beliebtheit des Tipps, so können wir bestätigen, dass ein Tipp im Erfolgsfall umso weniger Gewinn einbringt, je beliebter er ist (Bild links oben). Statt der Beliebtheit kann man auch die Summe aller Zahlen eines Tipps oder die Anzahl der randständigen Zahlen als Kenngröße verwenden, mit ähnlich eindeutigem Ergebnis.

Eine solche grobe "Makrodatenanalyse" mittels einer linearen Regression kann bereits einen beachtlichen Anteil der Variabilität in den Gewinnquoten erklären. Aber bisher haben wir die Beziehungen unter den Zahlen eines Tipps noch gar nicht berücksichtigt. Dafür gilt es, in einer so genannten Mikrodatenanalyse die Tipphäufigkeit jeder einzelnen Zahlenkombination auszuzählen.

Eine solche Liste, nach Häufigkeit sortiert, bringt interessante Ergebnisse . Unter den Top Ten sind in allen Ausspielungen vorwiegend Zahlenkombinationen, die auf dem Tippfeld ein einfaches Muster bilden, zum Beispiel eine schräge Linie (1, 8, 15, 22, 29, 36) oder eine horizontale Gerade, wie (1, 2, 3, 4, 5, 6). Alle arithmetischen Folgen (solche, bei denen die Differenz aufei-nander folgender Glieder konstant ist) sind stark vertreten. Ein guter Spieler muss diese einfachen Figuren auf dem Tippfeld unbedingt vermeiden, sonst wird sein Gewinn auch bei sechs Richtigen sehr mager ausfallen.

In der Liste der meistgewählten Tipps finden sich Systematiken aller Art. So kennen – oder erfinden – Lottospieler die Fibonacci-Folge, bei der jedes Glied gleich der Summe seiner beiden Vorgänger ist. Jedenfalls tippen in jedem Spiel regelmäßig rund fünfzig Personen die Folge (3, 5, 8, 13, 21, 34).

Überdurchschnittlich häufig tippen die Spieler auch auf Gewinnkombinationen vergangener Ziehungen. Rational ist das kaum zu erklären. Selbst wenn man dem Lotteriegerät fälschlich ein Gedächtnis unterstellt, müsste dieses doch eher darauf gerichtet sein, Wiederholungen zu vermeiden als sie zu erzeugen.

Die Häufigkeit, mit der eine vergangene Kombination getippt wird, nimmt mit dem Abstand zu deren Ziehung vorerst annähernd exponentiell ab, aber der Effekt ist noch Wochen später deutlich spürbar (Bild rechts). Die Lehre daraus: Wähle nie Zahlen, die früher gezogen wurden, auch nicht von anderen Lotterien. So sind 1977 einmal im deutschen Lotto die Zahlen der niederländischen Ziehung der Vorwoche eingetroffen, was 205 Sechser ergab – ein Rekord, der erst elf Jahre später mit den genannten 222 Sechsern übertroffen wurde. Manche Spieler verändern diese Zahlen, etwa indem sie zu jeder Zahl eine positive oder negative Konstante addieren. Ähnliche Muster zeigen Tippempfehlungen in den Medien.

In der fünften Woche 1998 erzeugte das Ziehungsgerät von Swiss Lotto die Zahlen (7, 8, 17, 19, 27, 29). Es gab fünf Sechser – für dieses Jahr und für Schweizer Verhältnisse eine Rekordmenge. Auch in früheren Spielen war diese Kombination regelmäßig ungefähr drei- bis siebenmal vertreten, die noch regelmäßigere (7, 9, 17, 19, 27, 29) sogar 50- bis 80-mal. Man stelle sich vor, diese Kombination wäre einmal und in der darauf folgenden Woche noch einmal gezogen worden! Es wäre mit mehr als tausend Gewinnern und einer entsprechend enttäuschenden Quote zu rechnen gewesen.

Spiele anders als die anderen

Am 20. Juni 1998 wurden in der deutschen Lotterie die Zahlen (19, 27, 29, 31, 38, 44) gezogen. Es gab stolze 54-mal sechs Richtige, aber die glücklichen Gewinner erhielten nur je rund 140000 DM. Drei Wochen später berichteten die Medien, dass diese Zahlen wenige Wochen zuvor in einem Horoskop einer Zeitschrift als Glückszahlen abgedruckt waren. Schlug sich dieses Ereignis auch in der Schweiz nieder? Tatsächlich sind dort dieselben Zahlen nach der Veröffentlichung des Horoskops etwa 20-mal getippt worden, nach der Ziehung im deutschen Lotto sogar 200-mal. Nach der Publikation der Geschichte in den Medien kann man erneut eine Zunahme dieses Tipps feststellen.

Die Anweisung "Spiele anders als die anderen" mündet also in eine Fülle von "Verboten": Spiele keine arithmetischen Folgen, keine symmetrischen Muster und keine Kombination, die aus einer einfachen Anweisung hervorgeht (Quadratzahlen, Primzahlen, Fibonacci-Zahlen). Lege keinen Vorzug auf kleine und nicht-randständige Zahlen. Spiele keine Kombination, die jüngst in irgendeiner Ausspielung vorkam oder die in der Presse empfohlen wird – auch nicht in "Spektrum der Wissenschaft". Es wäre sehr einfach, hier eine Kombination anzugeben, die sämtliche genannten Verbote einhält. Aber wenn Sie die tippen, müssen Sie damit rechnen, dass zahlreiche Leser es Ihnen gleichtun und Ihnen damit die Quote verderben. Jede brauchbare Empfehlung muss sehr viele Tipps zulassen, damit auch viele Leute, die dieser Empfehlung folgen, ei-nander nicht auf die Füße treten. Hier ist eine solche Empfehlung:

Bestimmen Sie Ihre Zahlen ebenso wie die Lottogesellschaft mit einem Ziehungsgerät, ziehen Sie 6 aus 49 mit Zahlen beschrifteten und sorgfältig gemischten Spielkarten oder nutzen Sie den Pseudo-Zufallszahlengenerator, den manche Lotteriegesellschaften unter dem Namen "Quickpick" anbieten. Wenn dabei zufällig eine "verbotene" Kombination (regelmäßiges Muster, arithmetische Folge, die Lottozahlen von letzter Woche …) erscheint, kann man sie ja verwerfen und noch einmal den Zufall entscheiden lassen.

Für die oben genannte fünfte schweizerische Ausspielung von 1998 sind rund 7,3 Millionen Tipps abgegeben worden. Wären alle Tipper dem Zufallsprinzip gefolgt, so wäre zu erwarten gewesen, dass ungefähr sechzig Prozent aller überhaupt möglichen Kombinationen auch getippt wurden. Da aber viele Spieler die gleichen Kombinationen ankreuzten, betrug diese so genannte Abdeckung nur fünfzig Prozent. Damit hat derjenige, der streng nach dem Zufallsprinzip spielt, eine Chance von immerhin fünfzig Prozent, Alleingewinner zu werden, falls seine Zahlen auch gezogen werden. Nur in seltenen Fällen würde ihn der Zufall mit vielen Spielern in einen Topf werfen.

Kann man dieses Wissen nun nutzen, um aus einer Lotterie im Erwartungswert mehr herauszuholen als den eigenen Einsatz? Kann man auf diese Weise auf die Dauer Geld von seinen Mitspielern, die den üblichen Tippgewohnheiten folgen, aufs eigene Konto lenken, zum Beispiel indem man mit Millionenaufwand auf sämtliche nicht "verbotenen" Kombinationen setzt? Wohl kaum. Es müsste schon in Form eines wohlgefüllten Jackpots das Geld der Mitspieler aus mehreren Run-den zusammenkommen. Und selbst dann müsste man dieses Spiel treiben, bevor andere auf dieselbe Idee kommen und einem den schönen Gewinn verdünnen.

Aus: Spektrum der Wissenschaft 3 / 2002, Seite 114
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH