Ein 68 Kilogramm schwerer Mann soll drei kiloschwere Kanonenku- geln auf einmal über eine hohe, knarrende Brücke transportieren, die nur 70 Kilogramm tragen kann. Wie macht er das? Die klassische Lösung dieses alten Rätsels lautet: Er jongliert unterwegs; denn da er zu jedem beliebigen Zeitpunkt höchstens eine Kugel in jeder Hand hat, hält er die Belastungsgrenze gerade noch ein.

Der Unglückliche, der sich auf solche Argumentation verließe, würde samt Brücke in den Abgrund stürzen. In dem Moment nämlich, in dem der Jongleur eine Kanonenkugel hochstößt oder auffängt, übt das Gesamtsystem aus Mann und Kugel eine nach unten gerichtete Kraft aus, die größer ist als sein Eigengewicht.

Wozu ist Jonglieren überhaupt nütze? Sicherlich zum Vergnügen am Spielen und Zuschauen (der französische Begriff Jongleur leitet sich von lateinisch ioculator, Spaßmacher, her). Außerdem aber sind die auszuführenden Bewegungen und ihre Steuerung einerseits so kompliziert, daß sie interessante Eigenschaften haben, andererseits so einfach, daß man sie in Modellen nachbilden kann. Mit Jonglieren als einem Beispielproblem läßt sich somit ein erster Schritt zum Verständnis anderer, komplexerer Phänomene und Prozesse tun.

Ein Forschungsfeld ist die Koordination der menschlichen Bewegung, ein zweites die Robotertechnik: Die Konstruktion einer Jongliermaschine ist eine gute Testaufgabe, an der man Prinzipien mechanischer Echtzeitsteuerung entwickeln und anwenden kann. Das dritte ist die Mathematik; Jongliermuster haben erstaunliche kombinatorische Eigenschaften.

Jonglieren hat eine lange Tradition. Die älteste bekannte Darstellung stammt aus dem antiken Ägypten (Bild 2); auch Griechen und Römer erfreuten sich solcher Belustigungen, die dann insbesondere wieder im Hochmittelalter zum Repertoire reisender oder im Hofdienst stehender Spielleute gehörten. Als Variété- und Zirkusnummer wurde diese Kunstfertigkeit etwa seit 1870 populär.

Die wissenschaftliche Untersuchung des Jonglierens setzte, soweit wir wissen, erst in diesem Jahrhundert ein. Im "American Journal of Psychology" veröffentlichte Edgar James Swift 1903 einen Artikel darüber, wie schnell Studenten zwei Bälle mit einer Hand zu beherrschen lernten. In den vierziger Jahren nutzte man die ersten Computer, Flugbahnen geworfener Gegenstände zu berechnen; zu der Zeit wurde auch die Internationale Jongleur-Vereinigung (International Jugglers Association) gegründet. In den fünfziger und sechziger Jahren verwendeten einige wenige Wissenschaftler Jonglier-Übungen als Lernziel, um allgemeine Methoden für das Erlernen sensomotorischer Fertigkeiten zu vergleichen.

In den siebziger Jahren begann man vor allem am Massachusetts Institute of Technology (MIT) in Cambridge, das Jonglieren um seiner selbst willen zu erforschen. Claude E. Shannon, besser bekannt als einer der Schöpfer der Informationstheorie, baute Jongliermaschinen und formulierte ein Theorem, das die Zeit, in der die Bälle in der Luft beziehungsweise in den Händen sind, und die Zeit, in der die Hände leer sind, durch eine Gleichung verknüpft (Bild 4). Seymour A. Papert und seine Kollegen in einem Vorläuferprojekt des Labors für künstliche Intelligenz am MIT untersuchten, wie ein Mensch überhaupt die Kunst des Jonglierens meistert. Damals wurde auch der Jonglier-Club des MIT gegründet, eine der ältesten noch existierenden einschlägigen Amateurvereinigungen. In den achtziger Jahren kam schließlich die Mathematik ins Spiel: Mehrere Forscher entwickelten eine spezielle Notation für Jongliermuster (Kasten Seite 82/83).

Die meisten Neulinge fangen mit drei Bällen an und versuchen, sie im Kreis zu jonglieren. Wesentlich leichter als dieser sogenannte Shower ist allerdings das Kaskaden-Muster: Die Hände werfen einander abwechselnd die Bälle zu, die dabei insgesamt eine achtförmige Bahn beschreiben (Bilder 3 und 5). Viele Anfänger brauchen nur Stunden oder allenfalls einige Tage, um drei Bälle jonglieren zu lernen. Aber mit vier Bällen dauert der Lernprozeß Wochen bis Monate und mit fünf Bällen Monate bis Jahre, während derer sich durch Übung die Sinne für das Fangen und Werfen immer mehr verfeinern.

Die Weltrekorde für die größte Anzahl jonglierter Gegenstände, wobei jeder einzelne mindestens einmal geworfen und gefangen wurde, liegen bei zwölf Ringen, elf Bällen beziehungsweise acht Keulen. Der Italiener Enrico Rastelli (1896 bis 1931) wurde in den zwanziger Jahren mit immerhin zehn Bällen weltberühmt und sein Name zum Synonym für atemberaubend geschwinde Geschicklichkeit. Die Rekordzahlen differieren, weil es je nach Gegenstand verschieden schwer ist, ihn zu halten und sicher zu werfen, ihm die richtige Orientierung zu geben sowie Zusammenstöße zu vermeiden.


Die Grenzen der Lernkurve

Zahlreiche Gegenstände zu beherrschen ist so schwierig, weil die Gesetze der Schwerkraft – genauer: der klassischen Mechanik – äußerst harte Bedingungen setzen. Der Artist muß jeden Ball so hoch werfen, daß er zwischendurch ausreichend Zeit hat, die anderen auf ihre Flugbahnen zu bringen. Die Zeit, die ein Ball in der Luft verbringt, ist proportional zur Quadratwurzel aus der Wurfhöhe. Der Bedarf entweder an Geschwindigkeit oder an Höhe wächst also rapide mit der Anzahl der jonglierten Gegenstände.

Dabei gerät die räumliche und zeitliche Bewegungspräzision des Menschen sehr schnell an ihre Grenzen. Niedrig zu jonglieren läßt einem wenig Platz, um Zusammenstöße zu vermeiden, und wegen der kurzen Flugzeiten muß man schnell werfen und fangen, was fehlerträchtig ist. Höher zu werfen verschafft einem zwar mehr Zeit, Fehler zu vermeiden oder zu korrigieren, verstärkt aber auch jede Abweichung. Schon bei einer wenige Meter hohen Bahnkurve läßt ein Winkelfehler von nur zwei oder drei Grad beim Abwurf den Ball 30 Zentimeter oder weiter vom idealen Fangpunkt entfernt niederkommen.

Shannons Theorem beschreibt in eleganter Form die zeitlichen Bedingungen, die der Jongleur einzuhalten hat. Insbesondere folgt, daß mit wachsender Anzahl von Bällen die Wurfgeschwindigkeiten immer genauer eingehalten werden müssen. Wenn sehr viele Bälle bis zu einer bestimmten Höhe zu jonglieren sind, würde bereits eine minimale Abweichung in der Geschwindigkeit das Muster zerstören.

Wie Jongleure ihre Arme und Hände so koordinieren, daß sie sich unter Einhaltung dieser Bedingungen rhythmisch und mit derselben Frequenz bewegen, ist ein zentrales Thema der menschlichen Bewegungsphysiologie geworden. Die Forscher entlehnten dazu Konzepte aus der mathematischen Theorie der gekoppelten Oszillatoren (Spektrum der Wissenschaft, Februar 1994, Seite 74).

Deren Grundphänomen ist Synchronisation. Schon beim gewöhnlichen Gehen beispielsweise pflegen Arme und Beine mit derselben Frequenz zu schwingen. Beim Jonglieren müssen die Hände des Artisten je nach Muster einem von mehreren Koordinationstypen folgen.

Bei der Kaskade etwa wechseln die Bälle stets von Hand zu Hand; also muß die eine im selben Rhythmus fangen, wie die andere wirft – aber zeitverzögert. Außerdem tauschen die Hände immer wieder die Rollen. Hingegen kann man die Fontäne auf zwei Arten werfen: im Gleichtakt (Bilder 3 und 5), indem man die Bälle gleichzeitig mit beiden Händen wirft (und fängt), oder im Gegentakt; die Würfe der einen Hand liegen zeitlich genau in der Mitte zwischen denen der anderen. Theoretisch sollte man die Fontäne auch mit unabhängigen Rhythmen für beide Hände jonglieren können; allerdings ist das wegen der übermächtigen Tendenz zur Synchronisation extrem schwierig.

Drei weitere Faktoren machen die Sache noch komplizierter. Erstens ist die jonglierende Hand während einer Phase ihrer Bewegung mit einem Ball belastet, während der übrigen Zeit frei; deswegen ist ihre Schwingungsbewegung nicht von Natur aus gleichmäßig. Zweitens muß präzises Werfen und Fangen in diesen Bewegungsablauf integriert werden. Drittens gelingt die zeitliche Abstimmung der Hände nur, wenn Gesichtssinn, Tastsinn und Gedächtnis eng zusammenspielen.

Insgesamt sind die Bewegungsmuster so instabil, daß auch beim erfahrensten Jongleur keine zwei Werf- und Fangbewegungen exakt gleich ausfallen. Wie gelingt es ihm, trotzdem ein stabiles Muster mit minimalem Ausfallrisiko zu erreichen? Dazu untersucht man zweckmäßig die Variabilität der einzelnen Parameter.

Die Jongleure pflegen alle Parameter des Werfens – Ort, Geschwindigkeit und Winkel des Abwurfs sowie dessen Zeitpunkt nach den Vorgaben des Shannonschen Theorems – in den engsten Grenzen zu halten. Bei gegebener Wurfhöhe ist das entscheidende Maß für das Jongliertempo das sogenannte Verweilverhältnis (dwell ratio); das ist der Anteil der Zeit zwischen zwei Würfen einer Hand, in dem diese Hand einen Ball hält. Im allgemeinen ist die Kollisionsgefahr um so geringer, je größer das Verweilverhältnis ist, denn die Hand kann während der relativ langen Spanne, in der sie den Ball führt, den Wurf präzise vorbereiten. Bei kleinem Verweilverhältnis dagegen hat die Hand mehr Zeit, sich nach dem Abwurf zum Fangen an die richtige Stelle zu bewegen.

Anfänger pflegen größere Verweilverhältnisse zu bevorzugen, weil sie viel Aufmerksamkeit auf das genaue Werfen aufwenden müssen. Erfahrenere Jongleure neigen zu geringeren Werten, besonders bei drei Bällen, weil sie dadurch mehr Gelegenheit zu Mustervariationen haben. Einer von uns (Beek) hat das Verhältnis beim Kaskademuster nachgemessen. Die beobachteten Werte schwanken ungefähr zwischen 0,5 und 0,8 mit Häufungen in der Nähe von 3/4, 2/3 und 5/8. In einer Drei-Ball-Kaskade sind also die Bälle bis zu doppelt so lange in der Luft wie in den Händen. (Man setze zum Beispiel das Verweilverhältnis D/(L+D) =1/2 in die Shannonsche Gleichung – siehe Legende zu Bild 4 – mit H=2 und N=3 ein; es ergibt sich für den Anteil F/(F+D) der Zeit, während dessen ein Ball in der Luft ist, der Wert 2/3.)

Anscheinend sind diese Werte für das Verweilverhältnis geeignete Kompromisse zwischen den widerstreitenden Anforderungen an Präzision einerseits, Flexibilität und Möglichkeit zur Fehlerkorrektur andererseits. Daß obendrein Brüche mit kleinen Nennern bevorzugt werden, ist plausibel unter der Annahme, daß der Mensch zu rhythmischen Lösungen für körperliche Aufgaben neigt.

Bei mehr als drei Bällen bleibt weniger Freiheit, das Verhältnis zu variieren, weil die Bälle höher und deshalb genauer geworfen werden müssen. Entsprechend eingeschränkt sind die Aktionsmöglichkeiten des Jongleurs. Bei drei Objekten kann man noch zahlreiche Varianten, Tricks und Späße in die Vorführung einbauen; aber es gibt nur sehr wenige Arten, neun Objekte überhaupt in der Luft zu halten.


Nie den Ball im Auge behalten

Wie koordiniert der Jongleur Augen und Hände, um diese Bewegungsmuster zu realisieren? Wie gewinnt er jeweils im richtigen Moment Information über die Bewegungen seiner Hände und der Bälle? Der etwa für Tennisspieler wichtige Regel "Immer den Ball im Auge behalten" ist hier völlig verfehlt. Die Aufmerksamkeit muß vielmehr von einem Ball zum nächsten wechseln, so daß man jeweils nur einen Teil der Flugbahn sieht.

Welcher Teil ist am informativsten, also am aufmerksamsten zu beobachten? "Schau auf den höchsten Bahnpunkt" und "Wirf den nächsten Ball ab, wenn der vorige seinen Scheitelpunkt erreicht" lauten gewöhnlich die Anweisungen des Lehrers.

Howard A. Austin untersuchte 1974 als Doktorand am MIT, welcher Bereich um diesen Höhepunkt für einen Spieler mittleren Könnens sichtbar sein muß, damit er die Jonglage aufrechterhalten kann. Er setzte zwischen Hände und Augen des Probanden einen fächerartigen Schirm mit keilförmiger Aussparung. Nach den Ergebnissen des Experimentes sind bloße zweieinhalb Zentimeter am Scheitel der Flugbahn ausreichend, was einer Sichtdauer von ungefähr 50 Millisekunden entspricht – einem sehr flüchtigen Blick auf diesen speziellen Punkt.

Tony A. M. van Santvoord von der Freien Universität Amsterdam analysierte 1994 die Verbindung zwischen den Handbewegungen und dem Sehen noch eingehender. Er ließ Jongleure von mittleren Fähigkeiten eine Drei-Ball-Kaskade ausführen, während sie Spezialbrillen mit Flüssigkristallen in den Gläsern trugen, die nur zu voreingestellten Zeitintervallen die Sicht freigaben. So vermochte er zu erschließen, welchen Teil der Bahn seine Versuchspersonen bevorzugt verfolgten und wie sie visuelle Information und Handbewegungen koordinierten. Gelegentlich synchronisierten sie ihren Jonglierrhythmus mit dem Öffnen und Schließen der Brille; in diesen Fällen wurden die Bälle regelmäßig unmittelbar nach Erreichen des Bahnscheitels sichtbar.

Die Experimente lassen zudem darauf schließen, daß mit zunehmender Übung das Sehen immer weniger wichtig wird. Im allgemeinen arbeiten Anfänger und fortgeschrittene Jongleure überwiegend mit den Augen, die Meister jedoch mehr mit dem Tastsinn beim Ballkontakt. Der amerikanische Psychologe und Philosoph William James (1842 bis 1910) berichtete in seinen "Principles of Psychology" von 1890, daß der französi-sche Magier Jean-Eugène Robert-Houdin (1805 bis 1871), der als Begründer der modernen Zauberkunst als erster Elektrizität für Tricks nutzte, mit vier Bällen üben konnte, während er ein Buch las. Viele erfahrene Jongleure sind imstande, einige Minuten lang blind zu jonglieren (Bild 5).

Es ist plausibel anzunehmen, daß der Blick auf den sich bewegenden Ball im Verlauf des Lernens allmählich den Tastsinn kalibriert. Ein Experte fühlt eine kleine Abweichung vom beabsichtigten Abwurfwinkel oder von der richtigen, dem Ball zu verleihenden Energie sofort und kommt mit einer kleinen, unauffälligen Korrektur aus. Hingegen muß ein weniger geübter Jongleur die Auswirkung von Fehlern in der Flugbahn erst sehen, reagiert deswegen später und entsprechend heftiger und beeinträchtigt dadurch die Harmonie der Darbietung.


Jonglierende Roboter

Nachdem einige Klarheit darüber gewonnen war, wie ein Mensch jongliert, versuchten etliche Forscher, das mit Robotern nachzumachen. Eine dafür geeignete Maschine kann als Vorform fähigerer und vor allem nützlicherer Automaten dienen; denn gewisse Aufgaben, auf die es beim Jonglieren ankommt, müssen auch im täglichen Leben bewältigt werden. Wer auf einer belebten Straße Auto fährt, einen hochfliegenden Fußball bei windigem Wetter abpaßt oder auch nur seinen Weg durch einen überfüllten Raum bahnt, muß unmittelbar bevorstehende Ereignisse sehr präzise gedanklich vorwegnehmen, um seine Aktionen darauf einzustellen.

Pionier dieser Techniksparte war abermals Shannon. Er konstruierte in den siebziger Jahren aus Stabilbaukasten-Teilen eine Maschine, die kleine Stahlkugeln abwärts warf und von einem straff gespannten Trommelfell wieder hochspringen ließ. Jonglieren nach unten ist einfacher als nach oben, weil die Bälle am Scheitelpunkt ihrer Bahn gefangen werden, wo sie sich am langsamsten bewegen.

Die Arme von Shannons Maschine waren fest miteinander verbunden. Das Gerät vollführte eine einfache Schaukelbewegung; jede Seite fing beim Abschwung und warf beim Aufschwung. Anstelle der Hände hatte es kurze rinnenförmige Schäufelchen. Die Bälle trafen beim Fangen nahe dem Scheitelpunkt ihrer Flugbahn irgendwo auf die Schäufelchen auf und rollten in die Rinnenmitte; dadurch wurden Wurffehler korrigiert. Der Abwärtsschwung ließ die Kugel ans Ende der Rinne rollen, und der Aufwärtsschwung vor dem Abwurf verlieh ihr genügend kinetische Energie, so daß sie aufs Trommelfell und von dort auf den anderen Arm hüpfen konnte.

Shannons Original ließ drei Kugeln tanzen. Später konstruierten Christopher G. Atkeson und Stefan K. Schaal vom Georgia Institute of Technology in Atlanta nach denselben Prinzipien eine Fünf-Ball-Maschine. Die nach unten jonglierenden Roboter sind neiderregend geschickt; hingegen muß ein Roboter, der eine Drei-Ball-Kaskade nach oben vollführen und aktiv Fehler korrigieren kann, erst noch gebaut werden.

Immerhin gab es einige Fortschritte. So wurden Maschinen hergestellt, die Bälle fangen, und solche, die sie mit einer Art Schläger in die Luft schlagen können (Bild 6).

In den achtziger Jahren baute Marc D. Donner vom Thomas-J.-Watson-Forschungszentrum der IBM in Yorktown Heights (New York) einen Roboter, der in zwei Dimensionen jongliert. Er läßt kleine Pucks über eine sehr glatte, schräggestellte Ebene gleiten. Anstelle der Hände verfügt die Maschine über Wurfvorrichtungen, die sich entlang der Unterkante der Ebene auf Schienen bewegen.

Im Jahre 1989 führten Martin Bühler von der Yale-Universität in New Haven (Connecticut) und Daniel E. Koditschek, der jetzt an der Universität von Michigan in Ann Arbor arbeitet, das Prinzip noch einen Schritt weiter. Sie ersetzten die hin- und herfahrenden Wurfvorrichtungen durch einen einzelnen, mit einem Stück Billardtisch-Bande gepolsterten drehbaren Schlagarm. Um ein periodisches Jongliermuster zu erzielen, verwendeten die Forscher den sogenannten Spiegelalgorithmus.

Dieses Konzept kombiniert im wesentlichen zwei Ideen. Erstens wird die kontinuierliche Bahn des Pucks durch eine sorgsam ausgewählte nichtlineare Funktion laufend in eine Sollbahn für den Schlagarm abgebildet (quasi gespiegelt). Das erspart es einem, das Verhalten des Pucks beim Aufprall vorauszuberechnen – was mit der erforderlichen Präzision kaum möglich wäre. Zweitens hält die Maschine den vertikalen Anteil der Bewegung stabil, indem sie die Energie des Pucks mißt und mit der Idealenergie eines perfekten Wurfes vergleicht. Daraus ermittelt das steuernde Programm, wann und wie stark der Hebel zuschlagen muß. Mit einer erweiterten Version des Spiegelalgorithmus kann der Roboter auch eine Art Ein-Hand-Jonglage mit zwei Pucks ausführen, indem er sie abwechselnd mit dem linken und dem rechten Teil des Schlagarms geradeaus die schräge Ebene hinaufschleudert.

Der Apparat in Aktion bietet einen etwas gespenstischen Anblick. Bringt man einen der Pucks aus der Bahn, vollführt der Roboterarm einige grotesk wirkende ruckartige Bewegungen, die aber die Jonglage in magisch kurzer Zeit wieder gleichmäßig machen. Die Spiegelalgorithmen sind für das Abschlagen sehr geeignet, jedoch nicht erweiterbar auf die schwierigeren kontrollierten Fangbewegungen.

Es gibt auch Roboter, die eine Reihe jonglierähnlicher Aufgaben bewältigen: Stäbe durch Schläge mit zwei anderen Stäben in der Luft halten (der sogenannte devil sticking robot), hüpfen, balancieren, Bälle werfen und in einer trichterförmigen Hand fangen sowie eine Variante von Tischtennis spielen (siehe "Mechatronik: ein pingpong-spielender schneller Roboter" von Gerhard Schweitzer und Hanspeter Fässler, Spektrum der Wissenschaft, Juni 1989, Seite 12). Noch kann kein Roboter so jonglieren, daß es auch nur annähernd menschlich aussieht. Aber Wissenschaftler befassen sich damit erst seit kurzer Zeit und erzielten gleichwohl bemerkenswerte Fortschritte. Vielleicht können wir schon bald fragen: Wie kam der Roboter mit drei Kanonenkugeln über die knarrende Brücke?

Literaturhinweise

- On Keeping Things Up in the Air. Von Marcello Truzzi in: Natural History, Band 88, Heft 10, Seiten 44 bis 55, Dezember 1979.

– Temporal Patterning in Cascade Juggling. Von Peter J. Beek und Michael T. Turvey in: Journal of Experimental Psychology, Band 18, Heft 4, Seiten 934 bis 947, November 1992.

– Scientific Aspects of Juggling. Von Claude E. Shannon in: Claude Elwood Shannon: Collected Papers. Herausgegeben von N. J. A. Sloane und A. D. Wyner. IEEE Press, 1993.

– Juggling Drops and Descents. Von Joe Buhler, David Eisenbud, Ron Graham und Colin Wright in: American Mathematical Monthly, Band 101, Heft 6, Seiten 507 bis 519, Herbst 1994.

– Phasing and the Pickup of Optical Information in Cascade Juggling. Von Tony van Santvoord und Peter J. Beek in: Ecological Psychology, Band 6, Heft 4, Seiten 239 bis 263, Herbst 1994.

– Juggling by Numbers. Von Ian Stewart in: New Scientist, Heft 1969, Seiten 34 bis 38, 18. März 1995.

– Alles über die Kunst des Jonglierens. Von Dave Finnigan. DuMont, Köln 1988.

– Jongliernotation für Laien. Von Ken Zetie in: Kaskade – Europäische Jonglierzeitschrift. Teil 1: Heft 37 (Frühjahr 1995), Seiten 16 bis 18; Teil 2: Heft 38 (Sommer 1995), Seiten 30 bis 31.

– Juggling Information Service. Im World Wide Web unter http://www. hal.com/services/juggle/.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 2 / 1996, Seite 80
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH