Sind Mathematik und Physik von Grund auf verschieden? Die Physik beobachtet, analysiert und sucht Regeln hinter den Naturereignissen. Die Mathematik dagegen errichtet in ihrer eigenen Sprache Gedankengebäude und erforscht deren innere Struktur. Was in der Welt geschieht, scheint sie weniger zu interessieren. Doch der Unterschied war nicht immer so groß – im Gegenteil.

Seit Galileo Galilei (1564 bis 1642) sprechen die Physiker die Sprache der Mathematik, und vom 17. bis weit ins 19. Jahrhundert hinein entwickelten sich beide Wissenschaften Hand in Hand. Berühmte Naturwissenschaftler jener Zeit waren häufig Mathematiker und Physiker zugleich. Zum Beispiel entwickelte Isaac Newton (1643 bis 1727) die moderne Analysis, um die Bewegung der Körper in Gesetze fassen zu können. Erst in der Mitte des 19. Jahrhunderts folgten die Mathematiker – zumindest die tonangebenden – bedingungslos ihrer Liebe zur reinen Abstraktion, und die Wege der beiden Wissenschaften trennten sich.

Im ersten Drittel des 20. Jahrhunderts revolutionierten zwei Ideen die Physik: die Relativitätstheorie und die Quantenmechanik. Um den mathematischen Rahmen mußten sich die Physiker in beiden Fällen nicht sorgen, denn die Mathematiker hielten ihn schon bereit. Die Relativitätstheorie stützte sich auf die moderne Geometrie und die Tensorrechnung, während die Quantenmechanik in der Sprache der Hilbert-Räume formuliert werden konnte. So bereitete die abstrakte Mathematik den Boden für physikalische Erkenntnisse, die oft erst Jahre später im Experiment bestätigt wurden.

Doch schon in den vierziger Jahren, als in der Physik die ersten Quantenfeldtheorien aufkamen, bahnte sich eine umgekehrte Entwicklung an. Aus ihr gingen in den achtziger Jahren die topologischen Quantenfeldtheorien hervor. Diesmal ließen sich die Mathematiker von der Vorstellungskraft der Physiker anregen und kamen ein Stück voran.

Weitere Felder eines fruchtbaren Zusammenspiels zwischen Mathematik und Physik sind Eichtheorien und die Knotentheorie. Wie sich herausstellen wird, sind diese Konzepte auch untereinander eng verbunden. Unter den Teilgebieten der Mathematik profitierte am meisten eines, das auf den ersten Blick nichts mit Physik zu tun hat: die Topologie.



Topologie


In diesem Zweig der Mathematik geht es – unter anderem – um globale Eigenschaften von Oberflächen, Körpern und anderen Objekten. Vergleichen wir zum Beispiel die Oberflächen eines Wasserballs und eines Schwimmrings. Ist der Ball weich, kann er in die Gestalt einer Birne verformt, zu einem Kissen zusammengedrückt oder wie ein Wurm in die Länge gezogen werden, ohne daß seine Haut verletzt würde. Nur in die Form des Schwimmrings läßt er sich nicht bringen. Denn dazu müßte man die Enden des Wurmes aufschneiden und neu miteinander verbinden oder in die Mitte des Kissens ein Loch stechen. Mathematisch gesprochen: Eine Kugeloberfläche (wie die des Wasserballs) kann nicht stetigzu einer Torusoberfläche (wie der des Schwimmrings) deformiert werden. Im allgemeinen betrachtet die Topologie Objekte als gleich und nennt sie äquivalent, wenn sie durch stetige Deformierungen, das heißt ohne Schneiden oder Kleben, ineinander überführbar sind. Zum Beispiel sind die Oberflächen des Balls, des Kissens, des Wurmes und der Birne topologisch gleich. Dagegen ist die Oberfläche des Schwimmrings von diesen verschieden.

Woran erkennt man, ob sich zwei Objekte topologisch unterscheiden? Man sucht eine Eigenschaft, die sich unter stetigen Deformierungen der Objekte nicht ändert: eine topologische Invariante. Objekte, die sich in ihr nicht gleichen, können auch nicht äquivalent sein.

Für die Kugeloberfläche haben die Mathematiker eine topologische Invariante gefunden: Jede geschlossene Kurve, die wie eine Schlinge aus Gummifaden auf der Oberfläche liegt, läßt sich auf einen einzigen Punkt zusammenziehen. Dasselbe gilt für Kurven auf dem Kissen, dem Wurm, der Birne und jeder anderen stetigen Deformation der Kugeloberfläche. Die Eigenschaft hat globalen Charakter, denn sie macht eine generelle Aussage über die geschlossenen Kurven auf der Kugel, unabhängig davon, wie und wo sie im einzelnen verlaufen.

Auf dem Torus jedoch kann eine um das Loch in der Mitte geschlungene Kurve ebensowenig zu einem Punkt schrumpfen wie eine, die sich um seinen Körper windet (Bild 1). Oberflächen oder allgemeinere Objekte indirekt über geschlossene Kurven zu charakterisieren ist ein Grundprinzip der Topologie, das uns später wieder begegnen wird.



Topologie und Physik


Warum interessieren sich Physiker für diese mathematische Disziplin? Die Physik ist in einem vierdimensionalen Raum zu Hause, denn sie benötigt drei Dimensionen für den Ort und eine weitere für die Zeit. Ihre Gesetze beschreiben normalerweise lokale Ereignisse, wie zum Beispiel den Stoß zweier Körper an einem bestimmten Ort zu einer bestimmten Zeit. Also sollte man erwarten, daß in der Physik nur die lokalen, nicht aber die globalen Eigenschaften des Raumes eine Rolle spielen. Physik und Topologie hätten dann wenig gemeinsam, denn die letztere untersucht ja gerade die globalen Eigenschaften des Raumes.

Doch 1959 sagten die Physiker Yakir Aharonov, heute Emeritus der Universität Boston, und David Bohm (1917 bis 1992) einen Effekt voraus, der zeigt, daß globale Eigenschaften des Raumes ein physikalisches System meßbar beeinflussen können. Er trägt seither ihren Namen; ein Jahr später hat Robert G. Chambers von der Universität Bristol ihn im Experiment beobachtet (Spektrum der Wissenschaft, Juni 1989, Seite 88).

Die eine Hälfte eines geteilten Elektronenstrahls wird links, die andere rechts an einer sehr langen Spule vorbei geschickt, die senkrecht auf der Ebene der Teilchenwege steht. Hinter der Spule werden die Teilstrahlen wieder zusammengeführt und auf einem Leuchtschirm überlagert. Es entsteht ein Interferenzmuster aus hellen und dunklen Streifen: Nur dort, wo viele Elektronen eintreffen, leuchtet der Schirm hell. Die bloße Anwesenheit der Spule hat keinen Einfluß auf das Muster. Schickt man aber einen Strom durch die Spule, so verschieben sich die Streifen auf dem Schirm in Abhängigkeit von der Stromstärke. Das ist der Aharonov-Bohm-Effekt (Bild 2).

Die klassische Physik kann diesen Effekt nicht erklären, denn der Strom erzeugt nur im Inneren der Spule ein Magnetfeld. Im Außenraum, wo die Elektronen fliegen, herrscht weder ein elektrisches noch ein magnetisches Feld, auch wenn Strom fließt. (Genaugenommen müßte dafür die Spule unendlich lang sein. Im Experiment wird das Feld nach außen durch eine supraleitende Hülle komplett abgeschirmt.) Glaubt man den nach ihrem Entdecker James C. Maxwell (1831 bis 1879) benannten Grundgleichungen des klassischen Elektromagnetismus, so ist die Kraft auf ein geladenes Teilchen der Stärke des Feldes an dieser Stelle proportional, insbesondere gleich null, wenn das Feld null ist. Im feldfreien Raum dürften die Elektronen vom Strom in der Spule eigentlich nichts spüren.

Der Schlüssel zur Erklärung des unerwarteten Effekts ist das magnetische Potential. Im Gegensatz zur klassischen Physik, wo es als reine Rechengröße dient, kann es in der Quantenmechanik meßbare Auswirkungen haben. Die Elektronen reagieren auf den Strom in der Spule, weil dieser das magnetische Potential im Außenraum verändert.



Das magnetische Potential


Das Magnetfeld ist ein Vektorfeld in Raum und Zeit: An jedem Raumpunkt sitzt ein Vektor, ein Pfeil, der wie eine Kompaßnadel in die Richtung der Feldlinien zeigt. Seine Länge gibt die Feldstärke an und kann ebenso wie seine Richtung mit der Zeit variieren. Auch das elektrische Feld ist ein solches Vektorfeld. Die Maxwell-Gleichungen beschreiben, wie sich die beiden Felder mit der Zeit verändern.

In der klassischen Physik pflegt man beide Felder durch sogenannte Potentiale auszudrücken. Das sind zunächst künstlich eingeführte Hilfsgrößen; mit ihnen lassen sich die Maxwell-Gleichungen viel übersichtlicher darstellen als mit den Feldern selbst. Das magnetische Potential ist wieder ein Vektorfeld (mit Länge und Richtung in jedem Raumpunkt), das elektrische Potential ein skalares (richtungsloses) Feld. Aus der Kenntnis beider Potentiale kann man jederzeit auf die Felder zurückschließen.

Es gibt einen weiteren guten Grund für ihre Einführung: die Eichfreiheit. Die Potentiale sind nicht eindeutig bestimmt, das heißt, zu ein und demselben Feld gibt es verschiedene Potentiale. Die Entscheidung für ein bestimmtes Paar von Potentialen nennt man Eichung, den Wechsel zu anderen Potentialen, die dieselben Felder beschreiben, Eichtransformation. Die Felder ändern sich also unter dieser Operation nicht – sie sind eichinvariant. Durch geschickte Eichung vereinfachen sich viele Rechnungen.

Wichtig für den Aharonov-Bohm-Effekt ist nicht das magnetische Potential an sich, sondern sein Wegintegral entlang geschlossener Kurven. Was ist das? Betrachten wir zum Beispiel einen Kreis um die Spule. Wie an jedem Raumpunkt sitzt auch an jedem Punkt der Kreislinie ein Vektor des magnetischen Potentials. Er läßt sich zerlegen in eine Komponente tangential zum Kreis und eine Komponente senkrecht dazu. Man bestimmt das Wegintegral des magnetischen Potentials entlang des Kreises, indem man auf der Kreislinie um die Spule herumgeht und dabei die Längen aller Tangentialkomponenten gewissermaßen aufaddiert. Korrekt ausgedrückt: Man integriert über die Tangentialkomponente des Potentials entlang der Kurve.

Welche Werte kann daes Integral annehmen? Aus den Maxwell-Gleichungen ergibt sich, daß das Wegintegral des magnetischen Potentials entlang einer beliebigen geschlossenen Kurve proportional ist zum eingeschlossenen magnetischen Fluß, das heißt anschaulich zur Zahl der umrundeten Magnetfeldlinien. Fließt in der Spule kein Strom, sind die Felder überall gleich null und das Wegintegral entlang jeder geschlossenen Kurve auch, denn es gibt keinen magnetischen Fluß, den eine Kurve einschließen könnte.

Dasselbe läßt sich auch mathematisch zeigen. In der Situation ohne Strom unterscheidet sich das magnetische Potential nur durch eine Eichtransformation vom Nullpotential und kann als Ableitung einer Funktion geschrieben werden (genauer: als deren Gradient). Das Wegintegral des Potentials entlang einer beliebigen Kurve berechnet sich als die Differenz der Werte dieser Funktion am End- und am Anfangspunkt der Kurve. Weil Anfang und Ende bei geschlossenen Kurven zusammenfallen, verschwindet das Wegintegral entlang solcher Kurven automatisch.

Schaltet man den Strom jedoch ein, ändert sich die physikalische Ausgangslage: Im Inneren der Spule wirkt ein Magnetfeld, dessen Feldlinien parallel zur Spulenachse verlaufen. Jetzt ist das Wegintegral des magnetischen Potentials entlang des Kreises um die Spule von null verschieden, weil der Kreis das ganze Bündel von Feldlinien im Inneren der Spule einschließt. Das gleiche gilt für jede andere geschlossene Kurve um die Spule. Nur wenn die Kurve ganz im feldfreien Außenraum verläuft, ohne die Spule zu umrunden, verschwindet das Wegintegral des magnetischen Potentials nach wie vor.

Mathematisch betrachtet, stellt sich die Situation so dar: Es gibt bei eingeschaltetem Strom keine Möglichkeit mehr, ein magnetisches Potential im ganzen Raum zu definieren. Irgendwo – zum Beispiel in der Spulenachse – nimmt es unvermeidlich unendliche Werte an. Dadurch ändert sich die Topologie des Gebietes, in dem es ein Potential gibt: Das Einschalten des Stroms reißt gewissermaßen ein unendlich langes, zylindrisches Loch in den Raum. Eine geschlossene Kurve um die Spule läßt sich nicht mehr auf einen Punkt zusammenziehen.

In dieser Situation läßt sich das magnetische Potential nicht mehr so einfach als Ableitung einer Funktion darstellen. Teilt man jedoch den Außenraum in zwei Hälften, eine rechts, eine links von der Spule, so ist jede Hälfte für sich ein Gebiet ohne Loch, auf dem das Potential als Ableitung einer Funktion geschrieben werden kann. Nur an den Grenzen ist Vorsicht geboten. Das Wegintegral des Potentials entlang eines Kreises um die Spule ergibt sich jetzt als Summe der beiden Integrale entlang der nacheinander durchlaufenen Kreishälften. In der Tat ist es ungleich null und proportional zum eingekreisten magnetischen Fluß.

Verallgemeinerungen des Potentials auf Räume mit Loch kannten die Mathematiker schon vor Aharonov und Bohm. Die Theorie der Faserbündel untersucht als Spezialfall elektromagnetische Potentiale über beliebigen topologischen Räumen (siehe "Faserbündel – der mathematische Schlüssel zur Quantenphysik" von Herbert J. Bernstein und Anthony V. Phillips, Spektrum der Wissenschaft, September 1981, Seite 88).



Erklärung des Aharonov-Bohm-Effektes


Was haben die Interferenzstreifen mit diesem Wegintegral zu tun? In der Quantenmechanik werden Elektronen als Wellen aufgefaßt. Eine Funktion ordnet jedem Raumpunkt eine komplexe (aus zwei reellen Zahlen zusammengesetzte) Zahl zu. Sie heißt Wellenfunktion, denn ihr Wert schwankt periodisch in Raum und Zeit wie die Höhe einer Wasserwelle. Das Quadrat ihres Betrages an einem Raumpunkt gibt die Wahrscheinlichkeit an, das Elektron dort zu finden.

Es ist jedoch physikalisch sinnlos zu sagen, die Welle befinde sich – an einem gewissen Ort und zu einem gewissen Zeitpunkt – im Maximum, im Minimum oder sonst einer Phase. Denn wenn die Phase der Welle überall im Raum gleich verschoben wird, läuft das auf dasselbe hinaus, wie wenn man die gesamte Wellenfunktion mit einem Phasenfaktor multipliziert, das heißt einer komplexen Zahl vom Betrag 1. Dabei bleibt das Betragsquadrat der Wellenfunktion und damit die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons unverändert: Globale Phasen erzeugen in der Quantenmechanik keinen beobachtbaren Effekt.

Werden aber, wie auf dem Leuchtschirm im Experiment, zwei Elektronenstrahlen überlagert, so addieren sich ihre Wellenfunktionen. Multipliziert man beide vor der Addition mit verschiedenen Phasenfaktoren, wirkt sich der Phasenunterschied entscheidend auf das Ergebnis aus: Das Betragsquadrat der Summe, das heißt die Auftreffwahrscheinlichkeit auf dem Schirm, ändert sich. Relative Phasen zeigen also durchaus Wirkung: Sie sind verantwortlich für Interferenzeffekte. Treffen an einer Stelle des Schirms viele Elektronen ein, weil die Auftreffwahrscheinlichkeit hoch ist, leuchtet er hell; sind es wenige, bleibt er dunkel.

Das Magnetfeld im Inneren der Spule muß also einen Phasenunterschied verursachen zwischen den Elektronen, die links, und denen, die rechts an der Spule vorüberfliegen. Nach der Quantentheorie wird die Wellenfunktion eines Elektrons dadurch, daß es einen Weg zurücklegt – zum Beispiel an der Spule vorbei von der Quelle zum Schirm –, mit einem Phasenfaktor multipliziert. Dieser ist durch das Integral des magnetischen Potentials entlang des Elektronenwegs bestimmt. Wenn ein Strom durch die Spule fließt, erwerben die Elektronen entlang des linken und des rechten Wegs unterschiedliche Phasenfaktoren. Das liegt daran, daß das Wegintegral des magnetischen Potentials entlang geschlossener Kurven um die Spule in diesem Fall nicht verschwindet (Bild 3). Abhängig von diesem Phasenunterschied, also letztlich von der Stromstärke in der Spule, verschieben sich die Interferenzstreifen auf dem Schirm – genau wie im Experiment beobachtet.

Was bedeutet der Versuch von Aharonov und Bohm für die Beziehung zwischen Physik und Topologie? Zum einen zeigt er, daß sich topologische Eigenschaften des Raumes in der Quantenmechanik meßbar auswirken können. Indem das Magnetfeld im Inneren der Spule ein Loch in den Raum reißt, verändert es dessen Topologie – in beobachtbarer Weise. Zum anderen ist der Effekt ein Beleg dafür, daß es sinnvoll sein kann, physikalische Konzepte auf topologisch kompliziertere Räume auszudehnen. In der so verallgemeinerten Theorie ist das elektromagnetische Potential ein sogenannter Zusammenhang (connection) eines Hauptfaserbündels.



Eichtheorien


Außer der klassischen und der quantenmechanischen Formulierung des Elektromagnetismus gibt es weitere Theorien, in denen die Felder invariant sind unter Eichtransformationen der zugehörigen Potentiale. Zu diesen sogenannten Eichtheorien gehört auch das Standardmodell der Physik. Es verallgemeinert die quantenmechanische Formulierung des Elektromagnetismus und umfaßt drei der vier bekannten Wechselwirkungen: die starke, die schwache und die elektromagnetische. Eine Transformation der Potentiale kann in der einen Theorie eine Eichtransformation sein, in der anderen dagegen nicht, weil sie dort die Felder verändert. Ein geeignetes Mittel, die Vielfalt dieser Transformationen übersichtlich zu machen, ist die Gruppentheorie.

Die Eichtransformationen bilden ei-ne Gruppe im mathematischen Sinn. Das heißt, zwei nacheinander ausgeführte Transformationen können zu einer einzigen zusammengefaßt werden, jede von ihnen läßt sich durch eine umgekehrte rückgängig machen, und Nichtstun ist auch eine Eichtransformation – das neutrale Element der Gruppe. Sie heißt Eichgruppe, und ihre innere Struktur sagt viel aus über die Eichtheorie, zu der sie gehört.

Die klassische Theorie der vierten Wechselwirkung, der Gravitation, zählt ebenfalls zu den Eichtheorien. Leider entzieht sie sich bis heute hartnäckig einer quantenmechanischen Beschreibung und sorgt damit für eines der größten offenen Probleme der theoretischen Physik. Die Versuche, es zu lösen, konzentrieren sich auf zwei Schwerpunkte: die Verfeinerung quantenfeldtheoretischer Methoden einerseits, denn die Schwierigkeit besteht ja gerade in der Quantisierung des Gravitationsfeldes, und die Weiterentwicklung der String- und Superstringtheorien andererseits (Spektrum der Wissenschaft, April 1998, Seite 62). Im Erfolgsfall erhofft man sich von den Stringtheorien und ihren Nachfolgern, wie beispielsweise der M-Theorie, eine umfassende Beschreibung aller vier Grundkräfte der Natur (theory of everything). Vielleicht besteht die Schwierigkeit aber darin, überhaupt geeignete mathematische Strukturen zu finden.

Quantenfeldtheorien


Eine neue Verbindung zwischen Physik und Mathematik entdeckte 1982 Edward Witten vom Institute for Advanced Study in Princeton (New Jersey). Harold Morse (1892 bis 1977) hatte aus dem Studium gewisser Funktionen Erkenntnisse über die topologischen Eigenschaften der Mengen gewonnen, auf denen die Funktionen definiert sind. Witten verallgemeinerte Morses Ideen mit Hilfe der zweidimensionalen supersymmetrischen Quantenfeldtheorien. Das sind Feldtheorien – grob gesagt solche, die Teilchen aus Feldern erklären – mit besonders symmetrischer Struktur: Anders als in der Wirklichkeit haben in diesen Theorien alle Elementarteilchen dieselbe Masse, und es gibt gleich viele Sorten bosonischer und fermionischer Teilchen. (Bekannte Bosonen sind zum Beispiel die Teilchen des Lichts, die masselosen Photonen; zu den Fermionen gehören die Elektronen und die schwereren Protonen.) Die allgemeinsten unter diesen Quantenfeldtheorien sind die sogenannten Sigma-Modelle, in denen der zweidimensionale Raum mit einem anderen Raum beliebig hoher Dimension in Beziehung gesetzt wird.

Witten stieß in einer solchen Quantenfeldtheorie auf physikalische Größen, die sich unter stetigen Deformierungen des zugrunde liegenden Raumes nicht ändern, auf topologische Invarianten also. Allerdings stützt sich der Nachweis dieser Invarianz auf einen Begriff (das Funktionalintegral), der mathematisch noch nicht sauber definiert ist. Deshalb kann noch nicht von einem Beweis im strengen Sinn die Rede sein. In Wittens Weiterentwicklung der Theorie von Morse verwandeln sich Ungleichungen in Gleichungen. Dadurch werden ihre Resultate aussagekräftiger. Allerdings erfordert die verfeinerte Theorie aufwendigere Rechnungen als die ursprüngliche.

Spätere Arbeiten lösten die Theorie völlig aus dem physikalischen Rahmen der Quantenfeldtheorien und gaben ihr eine eigene, mathematisch strenge Grundlage. Im Jahre 1988 gelang es Witten, den Zusammenhang zwischen der Topologie und den wesentlichen Bausteinen der supersymmetrischen Quantenfeldtheorien aufzuklären. So entstanden die topologischen Quantenfeldtheorien. Für diese Leistung erhielt der Physiker Witten 1990 die für mathematische Errungenschaften ausgesetzte Fields-Medaille (Spektrum der Wissenschaft, Oktober 1990, Seite 38).

Neben den zweidimensionalen Räumen wurden in den achtziger Jahren auch die topologischen Strukturen drei- und vierdimensionaler Räume erforscht. Die beiden berühmtesten Beispiele sind die Formulierung der Invarianten für vierdimensionale Räume durch Simon Donaldson und die Entdeckung der Jones-Polynome als Invarianten für drei Dimensionen. Die Sigma-Modelle hatten zum Verständnis der Topologie zweidimensionaler Räume beigetragen. Auf ähnliche Weise eröffnete nun eine andere Quantenfeldheorie neue Wege für das Studium dreidimensionaler Räume: die Eichtheorie von Shiing-Shen Chern, heute Emeritus der Universität von Kalifornien in Berkeley, und J. Simons, der sich inzwischen hauptsächlich mit Finanzmathematik beschäftigt. Die physikalischen Größen der Chern-Simons-Theorie sind ebenfalls topologische Invarianten; sie beziehen sich auf Knoten.



Knoten und Knoteninvarianten


Man nehme ein Seil, verschlinge es beliebig kunstvoll und verbinde schließlich seine Enden fest miteinander. Vernachlässigt man den endlichen Durchmesser des Seils, so ist das Resultat eine geschlossene Kurve im dreidimensionalen Raum, die sich nirgends selbst durchdringt – ein Knoten. Mehrere ineinander verschlungene Knoten zusammen bilden eine Verkettung. Ein einzelner Knoten ist der Spezialfall einer Verkettung mit nur einer Komponente. Zum Beispiel sind der triviale Knoten, das Kleeblatt und der Kreuzknoten einkomponentig, während sich die Hopfsche Verkettung aus zwei Komponenten zusammensetzt (Bild 4).

Der Begriff des Knotens macht nur in drei Dimensionen Sinn. Wird ein Knoten von der Seite angeleuchtet und auf einen Schirm projiziert, so schneiden sich in seinem zweidimensionalen Schattenbild Kurvenstücke, die räumlich hintereinander liegen. Der wirkliche Knoten im dreidimensionalen Raum hat keine Schnittpunkte. In vier Dimensionen kann sogar jeder Knoten zum trivialen Knoten aufgelöst werden.

Schon im 19. Jahrhundert interessierten sich außer den Seefahrern auch Wissenschaftler für das verschlungene Thema. So versuchte William Thomson (1824 bis 1907), besser bekannt als Lord Kelvin, das Periodensystem der Elemente zu erklären, indem er jedes Atom als Knoten im hypothetischen Äther auffaßte – und zwar je nach Element von verschiedener Art. Dazu mußte sich Thomson überlegen, wann er zwei Knoten als gleich und wann als verschieden ansehen wollte. Obwohl seine Idee bald verworfen wurde, bildeten seine Arbeiten den Ausgangspunkt der Knotentheorie, denn sie waren der erste Versuch einer Klassifizierung.

Fasziniert von Kelvins Überlegungen, veröffentlichte Peter G. Tait (1831 bis 1901) im Jahre 1900 ein Periodensystem der Elemente zusammen mit einer Tabelle, in die er zahlreiche Knoten nach eigenen Kriterien einsortiert hatte. Einige seiner Hypothesen, auf die er sein Ordnungsschema gründete, konnten erst über achtzig Jahre später bewiesen oder widerlegt werden. Bis heute ist es noch nicht gelungen, die Knoten und Verkettungen vollständig zu klassifizieren.

Zwei Knoten werden als gleich angesehen und heißen äquivalent, wenn man den einen durch beliebige Verformungen in die Gestalt des anderen bringen kann, ohne das Seil durchzuschneiden. Wie ein Gummiband darf der Knoten dabei auch gedehnt werden, das heißt, seine Größe spielt keine Rolle. Üblicherweise werden Knoten in Diagrammen dargestellt: In einer zweidimensionalen Projektion wird an jedem Kreuzungspunkt das weiter hinten liegende Kurvenstück unterbrochen gezeichnet (Bild 5). Wird der Knoten deformiert oder die Projektionsrichtung verändert, ist das Diagramm unter Umständen nicht wiederzuerkennen. Wie soll man dann zwei Diagrammen ansehen, ob sie zu äquivalenten Knoten gehören oder zu verschiedenen?

Im Jahre 1920 entdeckte Kurt Reidemeister (1893 bis 1971) drei einfache Manipulationen an Knotendiagrammen (Bild 6). Erzeugt man aus einem Diagramm durch beliebig viele solcher Reidemeister-Bewegungen ein neues, so stellt dieses mit Sicherheit noch immer denselben Knoten dar. Der Knoten könnte also so deformiert werden, daß seine Projektion aus einer geeigneten Richtung das neue Diagramm ergibt. Umgekehrt lassen sich die Diagramme zweier äquivalenter Knoten stets durch eine Abfolge von Reidemeister-Bewegungen ineinander überführen, sogar wenn sie so verschieden aussehen, daß niemand diese Abfolge erraten kann.

Die Reidemeister-Bewegungen eröffnen eine Möglichkeit, Knoten anhand ihrer Diagramme zu unterscheiden: Wenn es gelingt, jedem Diagramm auf eindeutige Weise eine Eigenschaft zuzuweisen, die unter Reidemeister-Bewegungen erhalten bleibt, dann können zwei Diagramme, die sich in dieser Eigenschaft unterscheiden, nicht zu äquivalenten Knoten gehören. Denn wären die Knoten äquivalent, könnte man das erste Diagramm durch Reidemeister-Bewegungen in das zweite überführen. Dabei würde sich die invariante Eigenschaft mit übertragen. Die Diagramme äquivalenter Knoten müssen sich also in ihr gleichen. Solche Eigenschaften nennt man Knoteninvarianten.

Im Jahre 1928 fand James W. Alexander (1888 bis 1971) eine Möglichkeit, jedem Knotendiagramm auf eindeutige Weise ein Polynom zuzuordnen, das sich unter Reidemeister-Bewegungen nicht ändert. Diese erste Knoteninvariante, das Alexander-Polynom, basiert auf der Anzahl der Kreuzungspunkte in einem Diagramm. Eine zweite polynomiale Invariante entdeckte Vaughan F. R. Jones von der Universität von Kalifornien in Berkeley, als er 1984 mathematische Strukturen untersuchte, die auf natürliche Weise auch in der statistischen Physik auftreten (siehe "Knotentheorie und statistische Mechanik" von Vaughan F. R. Jones, Spektrum der Wissenschaft, Januar 1991, Seite 66). Bis dahin hatte niemand einen Zusammenhang zwischen der Knotentheorie und diesem Teilgebiet der Physik vermutet. Jones erhielt dafür – ebenfalls 1990 – die Fields-Medaille.

Insgesamt gesehen ist das Jones-Polynom eine feinere Knoteninvariante als das Alexander-Polynom. Es gibt nämlich Knoten, deren Jones-Polynome sich unterscheiden, obwohl ihre Alexander-Polynome gleich sind. Zum Beispiel stimmen die Alexander-Polynome spiegelsymmetrischer Knoten stets überein – das Polynom von Jones dagegen erkennt den Unterschied in vielen Fällen.

Unter diesem Problem leiden alle bekannten Knoteninvarianten: Es kann vorkommen, daß zwei Diagramme die gleiche Invariante haben, obwohl sie verschiedene Knoten darstellen. Die Knoteninvarianten sind also nicht trennscharf genug. Eine noch feinere Invariante, die tatsächlich alle nicht äquivalenten Knoten und Verkettungen unterscheidet, würde das Klassifikationsproblem der Knotentheorie lösen.

Nur wenige Jahre später stieß Witten im Rahmen der topologischen Quantenfeldtheorien erneut aus einer völlig anderen Richtung auf das Jones-Polynom. Er konnte es sogar verallgemeinern: von den Knoten auf geschlossene Bahnen in dreidimensionalen Räumen mit komplizierteren topologischen Eigenschaften.

Quantenfeldtheorie und Knoten


Die Quantenfeldtheorie, die Witten mit der Knotentheorie in Verbindung brachte, ist die Chern-Simons-Theorie. Die Hauptrolle spielt in dieser Theorie ein Potential, das im Unterschied zum elektromagnetischen Potential mit sich selbst wechselwirken kann. Zudem ist die Chern-Simons-Theorie nicht vierdimensional wie die Theorie des Elektromagnetismus, sondern nur dreidimensional. Sie ist eine topologische Quantenfeldtheorie, weil ihre physikalischen Größen topologische Invarianten sind.

Betrachten wir zum Vergleich noch einmal das Experiment von Aharonov und Bohm: Obwohl die Felder im Außenraum der Spule verschwinden, ist das Wegintegral des magnetischen Potentials entlang einer geschlossenen Kurve um die Spule ungleich null, sobald ein Strom fließt. Das liegt am Magnetfeld, das der Strom im Inneren der Spule erzeugt. In der Theorie von Chern und Simons verschwindet das Feld grundsätzlich, denn es gibt keine Materie und damit kein Analogon zur stromdurchflossenen Spule. Deshalb kann das Chern-Simons-Potential durch eine Eichtransformation aus dem Nullpotential erzeugt werden. Erstaunlicherweise ist das Integral des Chern-Simons-Potentials entlang geschlossener Bahnen in bestimmten Situationen trotzdem ungleich null. Wie wir sehen werden, liegt das an der Wechselwirkung des Potentials mit sich selbst.

Im Versuch von Aharonov und Bohm hat die Gestalt der geschlossenen Kurve um die Spule keinen Einfluß auf das Wegintegral des magnetischen Potentials: Sein Wert ist invariant unter stetigen Deformierungen der Kurve, weil diese die Windungszahl nicht ändern. Die wiederum gibt an, wie oft die Spule beim Integrieren entlang der Kurve umrundet wird, und ist alleine verantwortlich für den Wert des Integrals. Zwei Umläufe verdoppeln ihn, drei Umläufe verdreifachen ihn und so weiter.

Geschlossene Kurven im dreidimensionalen Raum sind uns auch in anderem Zusammenhang schon begegnet – als Knoten. Integriert man also das magnetische Potential entlang eines beliebigen Knotens, der die Spule umschließt, so ist der Wert dieses Integrals eine Invariante des Knotens. Die so definierte Knoteninvariante ist vergleichsweise grob, denn sie berücksichtigt nur, wie oft sich der Knoten um das Loch windet. So unterscheidet sie nicht zwischen dem trivialen Knoten und der Kleeblattschlinge, wenn sich das Loch in einem Blatt derselben befindet (Bild 7). Es wird entlang der Kleeblattschlinge nicht öfter umrundet als entlang des trivialen Knotens: genau einmal, nur etwas umständlicher.

Wie im Elektromagnetismus ist es auch in der Chern-Simons-Theorie interessant, das Potential entlang verschiedener geschlossener Wege zu integrieren. Diese Integrale sind die physikalischen Größen der Theorie. Allerdings sind die Integrationswege meist keine Knoten, das heißt keine Kurven im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum, sondern Bahnen in komplizierteren topologischen Räumen. Die Knoten werden als einfache Spezialfälle mitbehandelt. Das Integral des Chern-Simons-Potentials entlang einer solchen Bahn ist eine Zahl, die sich unter stetigen Deformierungen der Bahn nicht ändert – eine Invariante also, die man benutzen kann, um geschlossene Bahnen zu vergleichen. Genau wie die Kugel- und die Torusoberfläche kann man auch kompliziertere topologische Räume indirekt über die Eigenschaften geschlossener Bahnen in diesen Räumen charakterisieren. Weil das invariante Integral des Chern-Simons-Potentials solche Bahnen unterscheidet, kann es zur Klassifikation der topologischen Räume, in denen sie verlaufen, beitragen.

Im Spezialfall der Knoten ist das Integral des Chern-Simons-Potentials eine erheblich feinere Invariante als das des magnetischen Potentials. Beispielsweise unterscheidet es zwischen der Kleeblattschlinge und dem trivialen Knoten (Bild 7), denn dieses Mal kommt es darauf an, wie oft eine Kurve sich selbst umschließt: Da das Chern-Simons-Potential mit sich selbst wechselwirkt, entsteht immer dann ein Beitrag zum Integral, wenn die Kurve ein Stück des eigenen Weges umrundet. Anders als beim trivialen Knoten läßt sich dies beim Durchlaufen der Kleeblattschlinge nicht vermeiden. Deshalb nimmt das Integral des Chern-Simons-Potentials entlang dieser beiden Kurven um das Loch verschiedene Werte an.

Genauer betrachtet umfaßt die Chern-Simons-Theorie eine Vielzahl ähnlicher Theorien, die alle unter diesem Namen zusammengefaßt werden. Für jede von ihnen ergibt das Integral des Potentials entlang geschlossener Bahnen eine andere Knoteninvariante. Überraschenderweise unterscheidet und identifiziert sie die Knoten in einem Fall auf exakt dieselbe Weise wie das Jones-Polynom. Diesen Zusammenhang zwischen der Knoten- und der Quantenfeldtheorie hat Witten aufgeklärt.

In manchen Situationen läßt sich das Integral des Chern-Simons-Potentials nicht genau berechnen. In diesem Falle hilft nur noch eine Näherungsmethode – die Störungsrechnung. In jedem Teilschritt dieses Verfahrens kommt zur genäherten Lösung ein Summand hinzu, der das Ergebnis dem eigentlich gesuchten Wert des Integrals näher bringt. Der Fehler wird also immer kleiner, und zwar proportional zu den Potenzen einer Konstante, die kleiner als eins ist. Ihr Kehrwert gibt die Stärke der Wechselwirkung an. Im Fall der Chern-Simons-Theorie kommt der Störungsrechnung eine besondere Bedeutung zu: Aus den einzelnen Beiträgen zur Näherungslösung lassen sich weitere Invarianten ablesen, die im Unterschied zum Integral des Potentials geometrisch interpretierbar sind. Sie gehören zu den Vassiliev-Invarianten, die V. A. Vassiliev von der Universität Moskau Ende der achtziger Jahre zusammen mit Marcos Alvarez und mir entdeckt hat.



Rollentausch


In der Vergangenheit bildeten die Fortschritte der Mathematik das Fundament, auf dem die physikalischen Theorien errichtet werden konnten, wie zum Beispiel die Quantenmechanik und die Relativitätstheorie. In der Folge mußten die Physiker ihre Experimentierkunst verfeinern, um die Vorhersagen der neuen Theorien zu prüfen.

Die Rollen wechselten, als in den achtziger Jahren die topologischen Quantenfeldtheorien entstanden. Aus der Intuition der Physiker entwickelte sich hier eine Sprache, für die sich allmählich der Name theoretische Mathematik einbürgert. Ihre physikalisch motivierten Hypothesen zu beweisen ist eine Herausforderung für die Mathematik: Sie muß neue Methoden finden, um den Quantenfeldtheorien im nachhinein ein solides mathematisches Gerüst zu geben. Obwohl diese Entwicklung noch nicht abgeschlossen ist, kann die Mathematik in der Topologie schon heute auf Erfolge verweisen, die auf den Ansporn aus der Physik zurückgehen.

Vielleicht wird die Mathematik den Ball in der Zukunft wieder zurückspielen, denn die erhoffte mathematisch strenge Formulierung der Quantenfeldtheorien könnte der Physik den Ausgangspunkt für eine quantenmechanische Beschreibung der Gravitation liefern. Das wäre ein großer Schritt auf dem Weg zu einer einheitlichen Theorie aller vier Grundkräfte der Natur.

Literaturhinweise

– Das Knotenbuch. Von Colin C. Adams. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1995.
– Gauge Fields, Knots and Gravity. Von John Baez und Javier P. Munian. World Scientific, 1994.
– The Geometry and Physics of Knots. Von Michael Atiyah. Cambridge University Press, 1990.
– Theoretical Mathematics: Towards a Cultural Synthesis of Mathematics and Theoretical Physics. Von A. Jaffe und F. Quinn in: Bulletin of the American Mathematical Society, Band 29, Seiten 1 bis 13, 1993.
– Ein umfangreiches Verzeichnis von Arbeiten des Autors findet sich im World Wide Web unter http://fpaxp1.usc.es/theory/labastida/papers.html.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 10 / 1998, Seite 66
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