Wir befanden uns in einem Nanotechnologie-Labor im Jahre 2017. Der Chefentwickler erläuterte uns gerade die Eigenschaften eines neuen Moleküls namens Odobenidopyrrol (OBP). Ursprünglich war es als Antriebsmedium für solargetriebene Mikromotoren entwickelt worden; inzwischen interessierte jedoch vorrangig seine Wechselwirkung mit ebenfalls neuentwickelten Strukturen.

"Den entscheidenden Durchbruch erreichten wir, als es uns gelang, in einer superflachen Petrischale winzige vierarmige Vesikel einlagig regelmäßig zu verteilen und zu stabilisieren", berichtete der Mann im silbrig schimmernden Schutzanzug. "Solche künstlichen Strukturen haben einige Eigenschaften natürlicher Zellen. Wie diese sind sie von einer Membran begrenzt. Sie verbinden sich zudem gerne mit ihresgleichen, und zwar Arm an Arm – aber nur, wenn die Arme beider Partner die gestreckte Konfiguration annehmen. Insgesamt ergibt sich ein quadratisches Gitter."

Der Laborchef zeigte uns eine Skizze, die auf den ersten Blick nur aussah wie schräggelegtes Millimeterpapier. "Jede Verbindung zweier gestreckter Arme ist undurchdringlich. Ein Molekül kann durch dieses Gitter nur diffundieren, wenn eine Verbindung gelöst ist, die beiden beteiligten Arme also in die gefaltete Konfiguration übergegangen sind. Einzelheiten können wir Ihnen aus patentrechtlichen Gründen nicht mitteilen. Wir selbst vermochten die Verhältnisse erst mit unserem Gluonenmikroskop aufzuklären" (Bild 1).

Mit bewundernswertem Fingerspitzengefühl injizierte der Nanotechniker ein einziges Molekül linksdrehendes OBP in eine der Zellen.

"Bekanntlich tritt Odobenidopyrrol in zwei Formen auf: einer kompakten und einer sperrigen. Sie erinnern entfernt an einen zusammengefalteten beziehungsweise geöffneten Regenschirm. Wir fassen die Strukturen aus langen, miteinander verbundenen, oder kurzen, unverbundenen Armen als geschlossene beziehungsweise offene Membrankanäle auf. Unter dem Einfluß von gewöhnlichem Tageslicht tritt das OBP-Molekül mit den Kanalstrukturen in eine interessante Wechselwirkung. Trifft es in kompakter Form auf einen offenen Kanal, wandert es hindurch in die Nachbarzelle. Ist der Kanal geschlossen oder das Molekül sperrig, bleibt es in derselben Zelle wie zuvor. Nach Kontakt mit einem offenen Membrankanal ändert sich die Struktur des OBP: War es zuvor sperrig, so ist es anschließend kompakt, und aus der kompakten wird die sperrige Variante. Außerdem springt durch den Kontakt mit OBP ein offener Kanal in die geschlossene Form um und umgekehrt."

Was wir daraufhin im Gluonenmikroskop beobachteten, übertraf unsere kühnsten Erwartungen: In der anfänglichen Konfiguration waren offene und geschlossene Kanäle im Verhältnis 1 zu 3 regelmäßig über die Fläche verteilt. Sofort aber begann das Odobenidopyrrol in scheinbar chaotischer Bewegung die Zellen zu durchlaufen und hinterließ einen sich vergrößernden unregelmäßigen Fleck aus modifizierten Membrankanälen. Nach einiger Zeit wuchs der Fleck nicht mehr weiter, sondern begann kleinere Flecken abzusondern. Schließlich, nach mehreren Tagen, hatte er sich völlig aufgelöst, und die ursprüngliche regelmäßige Struktur war wieder entstanden.

Universelle Theorien

Angefangen hatte die ganze Geschichte mit einem hochphilosophischen Problem. Genügt die Kenntnis aller Gesetze, welche die Welt regieren, um jede interessante Frage über ihr Verhalten zu beantworten? Oder pessimistisch gefragt: Falls die Physiker ihr Fernziel, eine theory of everything, erreichen würden – hätten wir vielleicht am Ende gar nichts davon?


Das könnte durchaus sein. Um das zu zeigen, hat Chris Langton vom Santa-Fe-Institut vor einigen Jahren eine virtuelle Welt ersonnen. Sie ist so einfach, daß eine theory of everything für sie in wenigen Sätzen niederzuschreiben ist.

Es handelt sich um eine in quadratische Felder aufgeteilte, unbegrenzte Ebene. Jedes Feld hat einen bestimmten Farbton aus einer endlichen Palette. Anfangs ist die gesamte Ebene in der Regel einheitlich gefärbt. Nicht nur räumlich, auch zeitlich ist die Welt diskret: Ihr Zustand ändert sich nicht stetig, sondern plötzlich – jedesmal, wenn eine gedachte Uhr tickt.

Ein primitives Wesen, das Langton eine Ameise nennt, sitzt auf einem dieser Quadrate und blickt in eine der vier Himmelsrichtungen. Ihr Verhalten wird diktiert von der Farbe des Feldes, auf dem sie sich gerade befindet. Zu jeder Farbe gibt es eine Regel, die der Ameise sagt, ob sie sich nach rechts oder links wenden soll. Nachdem die Ameise die Regel befolgt hat, färbt sie das Feld mit der Farbe, die auf der Palette im Uhrzeigersinn neben der aktuellen Farbe liegt, und läuft in das vor ihr liegende Nachbarfeld.

Alles, was das Wesen einer Ameise ausmacht, steckt also in ihren Regeln. RLL bedeutet "wende dich auf Farbe 1 nach rechts, auf Farbe 2 nach links, auf Farbe 3 nach links, färbe das Feld, auf dem du noch stehst, mit der Farbe mit der nächsten Nummer (auf 3 folgt wieder 1) und geh einen Schritt weiter". Die zugehörige Ameise wird dann einfach RLL genannt (Spektrum der Wissenschaft, August 1995, Seite 10).

Mit diesen wenigen Regeln ist das Schicksal einer Ameisenwelt in alle Zukunft vorherbestimmt. Man kann es ausrechnen, vorzugsweise auf einem Computer. Der Bildschirm zeigt die Ebene, und je nach Regelvorgabe ergeben sich mit der Zeit die unterschiedlichsten Muster: flächig, in eine Richtung fortschreitend oder chaotisch. Manche Tierchen erweitern ihr Revier auch eine Weile lang und brechen daraus noch nach Tausenden von Schritten nach einer Richtung geradlinig aus.

Nur – was geschehen wird, kann man aus der Kenntnis der Regeln allein nicht vorhersagen. Die prototypische Ameise RL etwa, nach ihrem Entdecker auch Langtons Ameise genannt, baut nach etwa 10000 Schritten eine Autobahn: eine regelmäßige geradlinige Struktur. Die Ameise bewegt sich wie ein Bautrupp nur noch vorn an der fertigen Strecke in einer Abfolge von Arbeitsschritten voran; sie betritt also jedes Feld nur endlich oft.

Geht jede Ameise irgendwann zum Autobahnbau über? Solche und ähnliche Fragen kann man nicht – zumindest nicht endgültig – entscheiden, indem man nur die Regeln anwendet, etwa ein Computerprogramm für Ameisen ablaufen läßt. Es könnte ja beliebig lange dauern, bis die Ameise zum Autobahnbau-Verhalten übergeht. Das kann man pessimistisch sehen – "Eine theory of everything hat keine ausreichende Erklärungskraft" – oder optimistisch: Auch wenn diese allumfassende Theorie entdeckt sein sollte, ist die Wissenschaft noch lange nicht am Ende (vergleiche die Rezension von "An den Grenzen des Wissens" von John Horgan, Spektrum der Wissenschaft, November 1997, Seite 138).

Neues von WALRUS

Da ich zu den Optimisten zähle, habe ich mich bemüht, Aussagen über das Verhalten der Ameisen zu finden und zu beweisen, und zwar nicht durch schlichtes Beobachten ihrer Welt, sondern mit den klassischen mathematischen Mitteln: allgemeine Sätze vermuten und Beweise dafür suchen.


Anregungen aus völlig anderen Erfahrungsbereichen – Erdbeertorten, Tintenfischringe, Küchenfliesen und Beatles-Songs – waren hilfreich. In zwei Folgen dieser Rubrik (September 1995, Seite 12, und Oktober 1995, Seite 10) habe ich – eingekleidet in einen langen Traum – etliche meiner Ergebnisse dargestellt. Unter anderem konnte ich zeigen, daß bestimmte Ameisen immer wieder zu ihrem Ausgangsquadrat zurückkehren und in diesem Moment die Ebene symmetrisch gefärbt ist. Meine Beiträge haben wiederum eine Reihe von Lesern zu eigenen Forschungen angeregt.

Inzwischen ist also der Traum in der fernen Zukunft angelangt. Das Odobenidopyrrol in seiner Molekülmatrix ist nichts weiter als die WALRUS-Turmite, die ich im Oktober 1995 vorstellte.

Turmiten wiederum sind Ameisen mit einem reichhaltigeren Verhaltensrepertoire. Greg Turk von der Universität von North Carolina in Chapel Hill hat sie Ende der achtziger Jahre ersonnen (Spektrum der Wissenschaft, November 1989, Seite 8). Sie können nicht nur rechts und links abbiegen, sondern auch geradeaus laufen und kehrtmachen. Sie sind auch nicht gezwungen, ihr Feld einfach mit der jeweils nächsten Farbe zu versehen. Vielmehr hängt das, was sie tun, außer von der Feldfarbe noch von einem inneren Zustand ab. Damit ist eine Turmite die Verallgemeinerung einer Turing-Maschine: Sie arbeitet nicht auf einem (eindimensionalen) Band, sondern in der ganzen (zweidimensionalen) Ebene. Ameisen sind Turmiten mit einem einzigen inneren Zustand.

Im Oktober 1995 mußte ich etliche Fragen zur WALRUS-Turmite noch ungeklärt lassen. Dies ließ Dr. Jan Haller aus Münster nicht ruhen. Er schrieb ein Assembler-Programm und stellte damit fest, daß WALRUS auch aus den bislang ungeklärten Anfangspositionen heraus in einen Zyklus gerät. In einem Falle besteht dieser immerhin aus 53305937616 Schritten mit einer Rechenzeit von fünf Tagen. Damit ist mit dem Computer – durch schlichtes Ausrechnen – bewiesen, daß WALRUS sich aus allen acht Anfangszuständen heraus zyklisch verhält. Haller stellte außerdem fest, daß nicht nur im Fall 1, sondern auch in den Fällen 3, 4 und 5 punktsymmetrische Muster entstehen (Bild 2).

Solche Zyklen stellen sich offenbar auch ein, wenn die Turmite im Zustand "hüpf" startet. Ich vermute sogar, daß WALRUS selbst dann in einen Zyklus gerät, wenn eine beliebige endliche Anzahl von Feldern anfangs abweichend von dem einheitlichen Muster gefärbt ist; aber das läßt sich nicht mehr allein mit dem Computer beweisen.

Beweisbares über Ameisen

Auch die primitiveren Tierchen haben Leser inspiriert. Einige ihrer Eigenschaften lassen sich nicht nur auf einem Bildschirm bestaunen, sondern sogar beweisen.


Die Regelkette einer Ameise besteht aus n Buchstaben R oder L, wobei n die Anzahl der möglichen Feldfarben ist. Wenn man alle Ls in der Regelkette durch Rs ersetzt und umgekehrt, vollführt die Ameise genau die spiegelbildliche Bewegung. Man braucht deshalb nur Regelketten zu betrachten, die mit R beginnen. Ketten, die aus Wiederholungen einer kürzeren Kette bestehen, sind durch diese kürzere Kette ersetzbar und sollen deshalb ebenfalls nicht eigens untersucht werden.

Schon seit längerem weiß man, daß Ameisen eine Einbahnstraßen-Regel befolgen. Jedes Feld ist entweder ein H-Feld oder ein V-Feld: Die Ameise betritt es stets in horizontaler beziehungsweise vertikaler Richtung. H- und V-Felder wechseln sich in der Ebene ab wie schwarze und weiße Felder eines Schachbretts; die H- und die V-Eigenschaft jedes Feldes bleiben erhalten, einerlei, wie die Ameise sie umfärbt.

Die Ameise R dreht sich ewig auf vier Feldern im Kreis herum. Von diesem langweilig-neurotischen Tier abgesehen, durchläuft jede Ameise entweder unbegrenzt viele Felder unbegrenzt oft, oder kein Feld wird unbegrenzt oft durchlaufen. Wenn es mindestens ein Feld gibt, das die Ameise immer wieder besucht, gibt es also unendlich viele solche Felder. Daraus folgt der Satz von Cohen und Kong: Die Bahn jeder Ameise außer R ist unbeschränkt (Spektrum der Wissenschaft, August 1995, Seite 10).

Woran erkennt man Ameisen, die jedes Feld nur endlich oft betreten? Einige von ihnen bevorzugen nach einer Anfangsphase ein bestimmtes Muster, das sie durch eine feste Schrittfolge um einige Felder versetzt immer wieder reproduzieren. Der Prototyp ist die autobahnbauende Ameise RL.

Bei einigen Spezies spielen mehrere regelmäßige Schrittfolgen zusammen. Häufig durchlaufen diese eine geradlinige Grenze zum Außengebiet und verschieben die Grenze dabei weiter nach außen. Wenn dieses Verhalten mit festen Schrittfolgen gepaart ist, die das Tierchen an den Ecken der bisherigen Struktur umlenken, kann eine sich flächig ausbreitende Struktur entstehen. So erzeugt die Ameise RRLRR eine annähernd quadratische Struktur; Jim Propp vom Massachusetts Institute of Technology in Cambridge hat sie beschrieben, und sie ist auch Reinhold Swoboda aus Landsberg aufgefallen. Veronika Jenne aus Kaiserslautern hat diese und viele weitere Ameisen gefunden und sie in symmetrische, zentrumsliebende, parkplatzbauende, städtebauende und chaotische Sippen eingeteilt (Bild 3). Sie ließ auch zwei gleichartige Tierchen auf einem Spielfeld von derselben Startposition los und stellte fest, daß die entstehenden Bilder sich oft erheblich von dem einer einzigen Ameise unterscheiden.

Es gibt also Ameisen, die nach einer wilden Jugendphase zu einem geordneten (und dann langweiligen) Verhalten übergehen; sie betreten jedes Feld nur endlich oft. Unter den anderen gibt es immerhin jene, in deren Regelkette die Rs und Ls nur paarweise erscheinen. Sie laufen immer wieder zurück zum Ausgangsfeld und erzeugen in diesen Momenten ein spiegelsymmetrisches Muster, wie ich im September 1995 beschrieben habe.

Das Verhalten der übrigen ist nach wie vor rätselhaft. So ist bisher unklar, ob die Ameise RLL in alle Ewigkeit ihr chaotisches Verhalten beibehält oder vielleicht nach einigen Trillionen Schritten doch zu regelmäßigem Tun übergeht.

Ameisenhaufen

Was geschieht, wenn mehrere gleiche Ameisen an verschiedene Anfangspositionen der Ebene gesetzt werden? Solange sie sich nicht begegnen, kommt es nicht darauf an, welche ihren Schritt zuerst macht. Aber wenn zwei auf demselben Feld sitzen, ändert die eine durch Umfärben des Feldes das Verhalten der anderen. Man muß also eine feste Reihenfolge vorgeben, in der die Ameisen jeweils ihren Schritt machen.


Unter welchen Voraussetzungen breitet sich ein Ameisenhaufen immer weiter aus? Es stellt sich heraus, daß es auf die Existenz einer einheitlichen Einbahnstraßen-Regelung ankommt. Wenn ein H-Feld der einen Ameise für alle anderen ebenfalls ein H-Feld ist (entsprechend für V-Felder), gilt der Satz von Cohen und Kong, und der Ameisenhaufen breitet sich unbeschränkt aus. Der Beweis läßt sich fast wörtlich übernehmen.

Ronny Ziegler und Fabian Kühne aus Hamburg haben im Rahmen des Wettbewerbs "Jugend forscht" Systeme von zwei Langton-Ameisen untersucht und dabei 1996 einen zweiten Preis im Hamburger Landeswettbewerb erzielt. Sie setzten eine Ameise in den Mittelpunkt des Bildschirms und eine zweite nacheinander auf jedes Bildschirmfeld. In vier Versuchsreihen – je eine für jede Orientierung der Ameisen zueinander – beobachteten sie das Verhalten des Gesamtsystems. Die schwarzen Felder in Bild 4 stehen für Anfangspositionen der zweiten Ameise, die einen Zyklus ergeben. Jedes Teilbild von Bild 4 ist also Protokoll einer ganzen Versuchsreihe; jedes seiner Felder steht für einen kompletten Programmlauf.

Die schachbrettartige Struktur ergibt sich aus der Verteilung der Systeme mit Einbahnstraßen-Regelung. Wie entstehen aber die offensichtlichen Symmetrien?

Jede einzelne Ameise wechselt auf einem imaginären Schachbrett zwischen schwarzen und weißen Feldern. Stehen beide zu Anfang auf verschiedenen Farben, bleibt dies in jedem Schritt so, und sie können am Anfang eines Zeitschritts nie auf demselben Feld stehen. Im anderen Falle ist die Reihenfolge, in der die Ameisen ihre Schritte machen, von entscheidender Bedeutung.

Falls die Ameisen anfangs in die gleiche oder in entgegengesetzte Richtungen blicken, ist die Einbahnstraßen-Regel genau dann verletzt, wenn die Ameisen auf unterschiedlichen Schachbrettfarben starten. In diesem Falle spielt die Zug-Reihenfolge keine Rolle.

Für gleiche Blickrichtung zu Beginn ist die Protokollgraphik (Bild 4 a) punktsymmetrisch. Das liegt daran, daß man die Rollen der Ameisen einfach vertauschen kann.

Bei entgegengesetzter anfänglicher Blickrichtung (Bild 4 b) muß man eine Zusatzüberlegung anstellen: Zwei Ameisen, welche die Einbahnstraßen-Regel verletzen, können sich irgendwann beim Überschreiten einer Feldgrenze begegnen. Von diesem Zeitpunkt an durchläuft jede den bisherigen Pfad ihrer Kollegin in Gegenrichtung und macht alle ihre Aktionen genau rückgängig, bis das Muster gelöscht ist. In diesem Moment steht jede Ameise hinter der Anfangsposition der anderen, aber mit um 180 Grad gedrehter Orientierung. Läßt man sie weiterlaufen, begegnen sie sich möglicherweise wieder, löschen einander ihre Wege und befinden sich schließlich wieder in der eigenen Ausgangsposition – diesmal mit der richtigen Orientierung.

Wenn also ein Paar von Ausgangspositionen auf diese Weise in einen Zyklus mündet, dann gilt das auch für die um ein Feld zurückversetzten Ausgangspositionen mit umgedrehten Orientierungen – beide sind schließlich Zustände desselben Zyklus. Diesen beiden Anfangszuständen entsprechen zueinander punktsymmetrische schwarze Felder in der Graphik; allerdings liegt das Symmetriezentrum nicht genau im Nullpunkt.

Ähnliche Überlegungen erklären die Verwandtschaft der Bilder 4 c und d.

Es wibbelt und kribbelt weiter

Viele Fragen der Ameisen- und Turmitenforschung blieben bislang offen. So konnte – außer für die Ameisen, deren Regelkette aus Paaren von Ls und Rs besteht – noch kein beweisbares Kriterium dafür angegeben werden, daß ein Feld immer wieder aufgesucht wird. Vermutlich ist eben dies der Grund für chaotisches Verhalten.


Rätselhaft ist nach wie vor auch die WALRUS-Turmite. Wieso kommt es zu den gigantischen Zyklen? Entstehen diese auch dann immer, wenn ein paar Felder abweichend vom Anfangsmuster gefärbt sind? Gibt es eine Erklärung für das Auftauchen von Punktsymmetrien?

Ein hilfreiches Konzept ist die Reversibilität. Langtons ursprüngliche Welt mit nur einer Ameise ist nicht nur deterministisch, sondern auch zeitumkehrbar (reversibel). Zu jedem Zustand ist nicht nur der zeitlich nachfolgende, sondern auch der vorhergehende eindeutig bestimmt. Man kann auf die Vergangenheit zurückschließen, im Gegensatz zur realen Welt, in der es ja möglich ist, Spuren bis zur Unkenntlichkeit zu verwischen.

Wenn die Welt zu irgendeinem Zeitpunkt einen Zustand annimmt, den sie schon einmal hatte, wiederholt sie von da an getreulich die Folge der Zustände: Sie gerät in einen Zyklus. Das folgt aus dem Determinismus. Aus der Reversibilität folgt noch mehr: Wenn die Welt je in einen Zyklus gerät, dann ist sie schon immer diesem Zyklus gefolgt. Das muß so sein, denn ihre Vergangenheit ist eindeutig bestimmt.

Ein Programm, das Zyklen entdecken soll, muß im reversiblen Fall nur überprüfen, ob ein Zustand gleich dem Anfangszustand ist. Denn wenn überhaupt ein Zustand zum zweiten Mal angenommen wird, dann muß das auch für den Anfangszustand gelten.

In Welten mit endlich vielen Zuständen sind Zyklen unvermeidlich. Spätestens nachdem das System so viele Zeitschritte durchlaufen hat, wie es Zustände gibt, muß es einen Zustand zum zweiten Mal annehmen. Das gilt insbesondere für die Ameisen auf dem Torus, der nur endlich viele Felder hat (Spektrum der Wissenschaft, Oktober 1995, Seite 10).

Turmitenwelten sind im allgemeinen nicht reversibel, aber die der WALRUS-Turmite schon. Leider ist die Welt der letzteren unbeschränkt, so daß die Frage, ob sie sich stets zyklisch verhält, einstweilen noch offen bleibt. Systeme mehrerer Ameisen sind ebenfalls reversibel.

Vieles läßt sich auch ohne langes Grübeln durch Computerexperimente untersuchen. Gibt es etwa noch weitere Ameisensippen? Wem die Untersuchung von Ameisen zu langweilig wird, der vergrößere zum Beispiel ihre Schrittlänge, wie Roman Wurdack aus Tuttlingen es getan hat: Er ließ eine Ameise nicht einfach in eines der vier horizontal oder vertikal angrenzenden Felder laufen, sondern in eines der acht oder 24 Felder, die – achsenparallel oder diagonal – benachbart beziehungsweise in höchstens zwei Schritten erreichbar sind. Auch in diesem Falle waren fleißige Straßenarbeiter am Werk.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 1 / 1998, Seite 12
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