Man zerlege in Gedanken einen Würfel in 3x3x3 Teilwürfel und nehme von den neun kleinen Würfeln, die in jeder Fläche des ursprünglichen Würfels liegen, jeweils den mittleren weg, dazu den "unsichtbaren" Würfel im Zentrum des Gebildes. Dann hat der ursprüngliche Würfel drei quadratische Löcher, durch die man hindurchschauen kann, eins in jeder Raumrichtung. Von den 27 Teilwürfeln sind noch 20 übrig geblieben.

Durch jeden dieser Teilwürfel bohre man wieder drei quadratische Löcher mit einem Drittel der Kantenlänge, wodurch 400 noch kleinere Teilwürfel entstehen. Auf diese wende man dieselbe Vorschrift an, und so weiter.

Das ist eine typische Bauanleitung für ein Fraktal. Sie besteht mit einer Grundfigur, in unserem Falle dem Würfel, und einer Vorschrift, wie man aus einer vorliegenden Figur mehrere verkleinerte Exemplare ihrer selbst macht (in unserem Falle aus einem Würfel zwanzig Stück mit einem Drittel der Kantenlänge). Diese Vorschrift darf sehr einfach sein; das Ergebnis der Aktion ist gleichwohl beliebig kompliziert, weil die Vorschrift unendlich oft anzuwenden (zu "iterieren") ist – zumindest im Prinzip.

Der Begriff "Fraktale" ist erst in den siebziger und achtziger Jahren durch den Mathematiker Benoît Mandelbrot geprägt worden (vergleiche Spektrum der Wissenschaft 9/1989, S. 52); auch die Idee, sie zur Beschreibung lebender Strukturen zu nutzen, ist jüngeren Datums (Spektrum der Wissenschaft 7/2000, S. 72). Aber das Konzept ist älter: Der österreichisch-amerikanische Mathematiker Karl Menger (1902–1985) hat bereits 1926 die oben genannte Zerlegung des Würfels beschrieben. Das "Endergebnis" der unendlich vielen Iterationen heißt heute "Menger-Schwamm"; es verfügt über viele für Fraktale typische paradoxe Eigenschaften.

Sein Volumen ist null, denn in jedem Iterationsschritt werden 7/27 des vorhandenen Materials ausgebohrt. Dagegen ist seine Oberfläche unendlich, denn bei jeder Bohrung kommt ein – nicht zu kleines – Stück Oberfläche hinzu. Der Menger-Schwamm wiegt nichts, aber alle Farbe der Welt reicht nicht aus, ihn anzustreichen! Irgendwie ist er mehr als zweidimensional, aber weniger als dreidimensional. Und wenn man diesen Irgendwie-Satz mathematisch exakt macht – mit dem Begriff der Hausdorff-Dimension –, ergibt sich, dass der Menger-Schwamm 2,72683-dimensional ist. Menger bewies noch weit mehr: Sein Schwamm enthält bereits alle überhaupt möglichen Verschlingungs- und Verzweigungsstrukturen aus Linien. Es gibt keine noch so oft verzweigte und verschlungene Kurve in irgendeinem n-dimensionalen Raum, welche nicht schon – bis auf stetige Verbiegungen und Verzerrungen – als Teil in der Mengerschen Universalkurve enthalten ist.

Anders als der Menger-Schwamm passen die meisten Fraktale in der Literatur bequem auf ein Blatt Papier; es gibt eine Fülle hübscher Bilder (siehe auch Computer-Kurzweil, Spektrum der Wissenschaft 7/1991 bis 10/1991). Ein Paradebeispiel eines solchen ebenen Fraktals ist das Sierpi´nski-Dreieck (Spektrum der Wissenschaft 2/2000, S. 106). Grundfigur ist ein gleichseitiges Dreieck, und die Iterationsvorschrift ist eine Mehrfach-Verkleinerungs-Kopier-(MVK)-Regel: Ersetze jedes gleichseitige Dreieck durch drei verkleinerte, die sich gerade nicht überlappen, und zwar so, dass jede Ecke des ursprünglichen Dreiecks Zentrum einer Verkleinerungsabbildung ist. Das läuft darauf hinaus, dass die kleinen Dreiecke genau die halbe Seitenlänge des großen haben.

Die Iterationsvorschrift hätte man auch einfacher als "Wegnehmregel" formulieren können: "Nimm aus der Mitte jedes Dreiecks ein Dreieck halber Seitenlänge und umgekehrter Orientierung he-raus." Aber die MVK-Vorschrift lässt sich besser auf andere regelmäßige Vielecke verallgemeinern. So werden aus einem Fünfeck fünf kleinere (und ein "hohles" in der Mitte, Bild links, unten); der Verkleinerungsfaktor ist 1/(1+tau), wobei tau=((Wurzel 5)+1)/2 (das Verhältnis des "Goldenen Schnitts") gleich dem Verhältnis von Diagonale zu Seite im regelmäßigen Fünfeck ist.

Im Gegensatz zu den ebenen Fraktalen werden ihre dreidimensionalen Gegenstücke in der Literatur recht stiefmütterlich behandelt. Man findet allenfalls gelegentlich das Sierpi´nski-Tetraeder: Analog zur Konstruktion im Dreieck setze man in jede Ecke eines regelmäßigen Tetraeders eine auf die Hälfte verkleinerte Version desselben, und so weiter.

Es gibt also Fraktale, die aus Würfeln, und solche, die aus Tetraedern entstehen. Aber was ist mit den anderen platonischen Körpern? Kann man irgendwelche Grundrezepte zur Erzeugung von Fraktalen auf sie übertragen?

Im Differenzierungsunterricht der Klasse 10 und in der Computer-Arbeitsgemeinschaft an unserer Schule sind wir diesen Fragen nachgegangen. Wir haben verschiedene Experimente gemacht, Programme zur anschaulichen Darstellung geschrieben, aber auch handgreifliche Modelle aus Papier, Plastik oder Draht hergestellt.

Welches Rezept sollten wir verwenden? Das Sierpi´nski-Tetraeder ist am einfachsten mit der MVK-Regel zu beschreiben: "Lasse an allen Ecken des Körpers möglichst große kongruente verkleinerte Kopien in paralleler Lage, ohne Überschneidungen, übrig und entferne den Rest." Eine Wegnehmregel wäre sehr kompliziert, denn was vom ursprünglichen Körper weggenommen wird, ist nicht etwa ein Tetraeder, sondern ein Oktaeder. Andererseits: Wenn man die MVK-Regel auf den Würfel anwendet, bekommt man etwas sehr Langweiliges: den ursprünglichen Würfel zurück. Bei den übrigen platonischen Körpern stellt sich allerdings die MVK-Regel als gut handhabbar und sehr ergiebig heraus.

Das fraktale Oktaeder

Beginnen wir mit dem "Oktaederschwamm" – so soll das Endgebilde wegen seiner vielen Löcher heißen. Es geht erstaunlich einfach. Man kann aus dem Bild rechts nachvollziehen, dass sich die sechs kleinen Oktaeder, die in die Ecken des Ausgangskörpers gesetzt werden, an ganzen Kanten berühren und sogar noch einen Eckpunkt gemeinsam haben: im Mittelpunkt der Figur. Die kleinen Oktaeder haben die halbe Kantenlänge des großen – wie beim Tetraeder. Man kann sich auch vorstellen, dass aus dem großen Oktaeder acht kleine Tetraeder – eins aus jeder Oktaederfläche – herausgemeißelt werden.

Legt man an die Stelle der kleinen Oktaeder Kugeln und an die Stelle der weggenommenen Tetraeder auch (Kugelmittelpunkt in Körpermittelpunkt), so ergibt sich die Keplersche Kugelpackung, deren Optimalität erst vor zwei Jahren Thomas Hales bewiesen hat (Spektrum der Wissenschaft 4/1999, S. 10).

Iteriert man diesen Prozess, so wird jedem der kleinen Oktaeder ein noch kleineres Tetraeder weggenommen, wodurch die sechsfache Anzahl an noch kleineren Oktaedern entsteht, und so weiter. In der Grenzfigur bildet jede der acht ursprünglichen Oktaederflächen ein Sierpi´nski-Dreieck.

Wenn man von den sechs Eckpunkten des Oktaeders zwei gegenüberliegende weglässt, bilden die vier übrigen ein Quadrat. Insgesamt liegen im Inneren des Oktaeders drei solcher Quadrate, die paarweise aufeinander senkrecht stehen und sich jeweils entlang einer Diagonalen durchdringen. Nennen wir diese drei Quadrate das "Skelett" des Oktaeders. Die Überraschung ist nun: Während beim Iterationsprozess das Gesamtvolumen immer weiter abnimmt, wird die Skelettoberfläche immer mehr (Bild oben)! Bei der Iteration der Gesamtvolumina wird Fleisch weggenommen, aber die Skelette legen an Knochen zu, und am Ende ist die Grenzfigur bei beiden Iterationen dieselbe. Insbesondere muss die Grenzfigur mindestens die (topologische) Dimension 2 haben, denn sie enthält ganze Quadrate.

Beim Sierpi´nski-Tetraeder ist das Skelett die Menge aller Kanten, also sehr "dürr". Dass das fraktale Oktaeder ein flächiges Skelett hat, ist die eigentliche Überraschung.

Ikosaeder- und Dodekaederschwamm

Das Ikosaeder besteht aus 20 gleichseitigen Dreiecken, die zu fünft um jede Ecke herumliegen. Das MVK-Verfahren ist, wie für jedes Polyeder, anwendbar; es produziert zwölf verkleinerte Kopien, denn das Ikosaeder hat trotz seiner großen Flächenzahl nur zwölf Ecken. Aber wie grenzen zwei benachbarte Ikosaederchen aneinander, und was ist der Verkleinerungsfaktor?

Es ist schwer, sich das ohne Modell oder Bild vorzustellen. Immerhin fanden wir heraus, dass sich zwei kleine Ikosaeder entlang einer ganzen Kante berühren. Aber bei der zweiten Frage tappten wir lange im Dunkeln. Wir haben mehrere Versuche unternommen, die Situation algebraisch, mit Hilfe von Koordinaten, zu erfassen. Aber die Gleichungen wurden sehr kompliziert, und das schulübliche Computeralgebra-Programm Derive half uns auch nicht weiter.

Die richtige Lösung kam dann doch über die geometrische Vorstellung. Man greife sich eine Ecke des Ikosaeders he-raus. Die fünf Kanten, die von dieser Ecke ausgehen, enden in fünf Ecken, die ein regelmäßiges Fünfeck bilden. Wenn man das Ikosaeder entlang der Ebene dieses Fünfecks köpft wie ein gekochtes Ei, schneidet man nicht nur dem großen Ikosaeder eine ziemlich flache fünfseitige Pyramide ab; das Messer trifft auch die fünf kleinen Ikosaeder, die den Ecken des Fünfecks anliegen, in genau der gleichen Weise. Die Schnittfläche zeigt uns also ein großes Fünfeck, in dessen Ecken kleinere Fünfecke anliegen, so groß, dass sie einander gerade berühren. Das ist das Prinzip des Dürer-Teppichs! Damit ist auch klar, dass der Verkleinerungsfaktor 1/(1+tau) beträgt.

Interessant ist die Figur, die in einem Iterationsschritt aus einem Ikosaeder entfernt wird. Außen wird unter jeder Kantenmitte ein nicht ganz reguläres Tetraeder ausgeschnitten und unter jeder Fläche eine nicht-regelmäßige sechsseitige Pyramide. In der Mitte wird ein geschlossenes Volumen weggenommen; es hat die Form eines Dodekaeders, dem seinerseits an jeder seiner 12 Flächen eine fünfseitige nach innen gerichtete Pyramide fehlt. Dieser eingeschlossene Innenraum erhält im nächsten Iterationsschritt eine Verbindung nach außen.

Von den Kanten des ursprünglichen Ikosaeders bleibt nicht viel übrig. Jede Kante wird durchlöchert, im nächsten Schritt ereilt dasselbe Schicksal jedes der verbliebenen Teilstücke, und im Grenzwert bleibt nur noch Cantor-Staub – ein versprengtes Häuflein wie die Pfadfinder von Drittelhofen (Spektrum der Wissenschaft 5/2000, S. 112).

Da die Teil-Ikosaeder über ganze Kanten zusammenhängen, lässt sich die Figur – zumindest die ersten Iterationen – ohne Stützhilfen aus Karton zusammenbauen. Das haben für die zweite Iterationsstufe drei Schülerinnen mit großer Begeisterung getan.

Wie beim Ikosaeder sieht man relativ bald, dass die 20 kleinen Dodekaeder, welche die MVK-Regel aus einem großen Dodekaeder macht, ganze Kanten miteinander gemeinsam haben. Und wieder findet man den Verkleinerungsfaktor nicht durch massiven Einsatz von Computeralgebra, sondern durch eine geschickte geometrische Konstruktion. Da dessen Zahlenwert mit 0,276393 ziemlich klein ist, verliert das Gebilde bei jedem Iterationsschritt mehr als die Hälfte seines Volumens. Entsprechend ist die Grenzfigur sehr "dünn".

Ein weniger dünnes fraktales Dodekaeder hat Stephan Werbeck (http://pages.hotbot.com/arts/werbeck) aus Thessaloniki (Griechenland) ersonnen: Er setzt zwölf kleine Dodekaeder nicht in die Ecken, sondern in die Flächenmitten des großen Dodekaeders.

Zur Zeit harren die verschiedenen Dodekaederschwämme noch ihrer materiellen Realisierung.

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Rolf Springmann, Physiklehrer am Dillmann-Gymnasium in Stuttgart, griff eine Anregung seines Schülers Philipp Kuebart auf und engagierte die gesamte Schülerschaft zum Bau eines Sierpi´nski-Tetraeders aus 1024 einzelnen Tetraedern. Die Einzelstücke sind aus einem Material gefertigt, das in jedem Schülerhaushalt reichlich vorhanden ist: Cornflakes-Kartons; die Kantenlänge von 9 Zentimeter war so bemessen, dass aus jedem Karton vier Tetraeder herstellbar waren. Das stattliche Bauwerk (2,35 Meter Höhe, 2,88 Meter Kantenlänge) war im März 1999 im Foyer der Schule zu besichtigen.

Im Jahr zuvor ist diese Leistung noch übertroffen worden: Uschi Embacher vom Gymnasium Moosach in München baute mit ihren Schülern ein Sierpi´nski-Tetraeder aus 4096 kleinen Tetraedern der Kantenlänge 2 Zentimeter. Das Werk war im Münchner Olympia-Einkaufszentrum ausgestellt.

Aus: Spektrum der Wissenschaft 11 / 2000, Seite 116
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