Finanzinstrumente, deren Wert im wesentlichen von einem anderen Finanztitel abhängt, werden Derivate genannt. Die wichtigsten Vertreter bilden Forwards, Futures und Swaps einerseits sowie Optionen andererseits. Bei den Derivaten der ersten Gruppe handelt es sich um unbedingte Termingeschäfte, bei denen beide Kontraktpartner ihre für die Zukunft eingegangenen Verpflichtungen erfüllen müssen. Dagegen kann der Inhaber einer Option sie verfallen lassen, wenn ihre Einlösung für ihn ungünstig wäre. Für diese vorteilhafte Wahlmöglichkeit muß er seinem Kontraktpartner bei Abschluß des Geschäftes allerdings einen Preis bezahlen, den Optionspreis.

An einem Beispiel sei der Unterschied zwischen einem Forward und einer Option erläutert (Futures und Swaps sind zu kompliziert, um hier behandelt zu werden). Ein Portefeuillemanager weiß, daß in drei Monaten eine Anleihe mit einem Nominalwert von zehn Millionen Mark fällig wird. Er möchte diesen Betrag in Aktien einer Großbank anlegen. Sein Risiko besteht nun darin, daß der Kurs dieses Papiers bis dahin steigt. Um sich dagegen abzusichern, kann er mit einem Inhaber der Aktie bereits heute einen Preis vereinbaren, zu dem er sie ihm in drei Monaten abnimmt. Dies ist ein Forward. Alternativ dazu könnte er aber auch eine Option erwerben, die ihn zwar berechtigt, aber nicht verpflichtet, die Aktie in drei Monaten zu einem heute vereinbarten Preis – dem Basispreis – zu kaufen. Sie verschafft ihm den zusätzlichen Vorteil, daß er von seiner Kaufverpflichtung zurücktreten kann, wenn der Kurs der Aktie unter den vereinbarten Basispreis gefallen ist.

Wie das Beispiel verdeutlicht, erlauben es Derivate, Risiken zwischen Marktteilnehmern neu aufzuteilen. So konnte der Portefeuillemanager im Falle des Forward das Risiko eines steigenden Aktienkurses auf den Inhaber der Aktie übertragen, während er selbst das eines fallenden Kurses auf sich nimmt. Bei einer Option überwälzt er die Risiken steigender Kurse, ohne auf die Chancen fallender Kurse zu verzichten. Dies stellt den zentralen wirtschaftlichen Nutzen der Derivate dar. So können Unternehmen ihre mit Schwankungen von Wechselkursen oder Rohstoffpreisen verbundenen Risiken durch Optionen auf Devisen, Kupfer, Öl oder landwirtschaftliche Produkte minimieren.


Schwierige Bewertung von Optionen

Wie aber läßt sich der Preis einer Option ermitteln? Betrachten wir dazu noch einmal das obige Beispiel einer dreimonatigen Kaufoption auf eine Aktie. Dabei sei ein heutiger Aktienkurs von 520 DM und ein Basispreis von 500 DM unterstellt. Der heutige Optionspreis setzt sich dann aus drei Komponenten zusammen, dem inneren Wert sowie einem Zins- und einem Spekulationsanteil. Der innere Wert ergibt sich aus dem Vorteil, der bei sofortiger Ausübung der Option entstünde. In dem Beispiel wären das 520 – 500 = 20 DM. Die Zinskomponente entspricht dem Zinsvorteil, den der Käufer dadurch hat, daß er den Basispreis nicht sofort, sondern erst in drei Monaten entrichten muß. Bei einem angenommenen Zinssatz von 4 Prozent pro Jahr ergibt er sich zu 500 × 0,04 × 1/4 = 5 DM. Damit muß die Option mindestens 25 DM wert sein. Offensichtlich fällt der Optionspreis um so größer aus, je höher der aktuelle Aktienkurs, je länger die Laufzeit der Option, je höher das Zinsniveau und je niedriger der Basispreis ist.

Anders als der innere Wert und die Zinskomponente läßt sich der Spekulationsanteil nicht ohne weiteres bestimmen. Unter anderem hängt er von der relativen Schwankungsbreite – fachsprachlich: Volatilität – der künftigen Aktienkurse ab. Beträgt diese bezogen auf den Absicherungszeitraum zum Beispiel 5 Prozent, kann der Kurs auf 546 steigen oder auf 494 fallen, bei einer Schwankungsbreite von 10 Prozent wird er dagegen zwischen 572 und 468 liegen. Kommt es zum maximalen Kursanstieg, beträgt der Ausübungswert in drei Monaten also im ersten Fall 546 – 500 = 46 DM und im zweiten 572 – 500 = 72 DM; bei sinkendem Kurs dagegen ist er in beiden Fällen gleich null. Wegen der Asymmetrie des Optionsrechts bringt eine höhere künftige Volatilität des Aktienkurses bei einer günstigen Kursentwicklung also höhere Gewinne, während die Option bei einem Kursverlust unabhängig von dessen Höhe wertlos verfällt.

Nach Gleichgewichtstheorien für risikobehaftete Finanztitel, die Kenneth J. Arrow, Gérard Debreu und William F. Sharpe (Wirtschafts-Nobelpreise 1972, 1983 und 1990) entwickelt haben, hängt die Spekulationskomponente jedoch von weiteren, noch schwerer abzuschätzenden Einflußfaktoren ab. Dazu gehören insbesondere die Risikobereitschaft – oder mit umgekehrten Vorzeichen die Risikoaversion – der Marktteilnehmer und die erwartete Rendite der Aktie (oder eines anderen Basisinstrumentes, auf das sich die Option bezieht). Die erwartete Rendite beeinflußt zusätzlich zur Volatilität den Bereich, in dem sich der künftige Aktienkurs wahrscheinlich bewegen wird, während die Risikoaversion den Renditeaufschlag bestimmt, den die Teilnehmer des Optionshandels für die Übernahme von Risiken verlangen.

Zwar haben die US-Wissenschaftler James Boness, Case Sprenkle und Paul A. Samuelson (er erhielt 1970 den Wirtschafts-Nobelpreis) Anfang der sechziger Jahre bereits eine Optionspreisformel aufgestellt, die jener der Nobellaureaten recht ähnlich ist; doch gehen in sie auch die unbeobachtbaren Risikoeinstellungen der Marktteilnehmer ein, was ihren praktischen Nutzen einschränkt.


Eine geniale Idee

Erst Black und Scholes schafften 1973 den Durchbruch bei der Entwicklung der modernen Optionspreis-Theorie, indem sie sich aufgrund von Hinweisen Mertons von den klassischen Gleichgewichtstheorien unter Risiko lösten. Die zentrale Entdeckung Mertons besteht darin, daß ein Portefeuille aus einer geschickt zusammengestellten Mischung von Aktien und verkauften Optionen kurzfristig nahezu risikolos ist und daß es sich durch geeignete Umschichtungsmaßnahmen auch während der gesamten Laufzeit der Optionen risikolos halten läßt.

Daß aus einem Basisinstrument (etwa einer Aktie) und einem Forward (oder einem anderen unbedingten Termingeschäft) eine risikolose Position aufgebaut werden kann ist leicht einzusehen. Der Inhaber einer Aktie, der einen Forward darauf verkauft, erhält bei dessen Fälligkeit einen von der Höhe des Aktienkurses unabhängigen Betrag. Da er auch die Möglichkeit hätte, die Aktie sofort zu verkaufen und den Erlös für drei Monate verzinslich anzulegen, muß er als Preis des Forwards den momentanen Aktienkurs plus Zinsen über die Laufzeit verlangen, im obigen Beispiel also 520 + 5,20 = 525,20 DM. Bei einem niedrigeren Preis, etwa 522 DM, ließe sich dagegen ein sogenannter Arbitrage-Gewinn – in diesem Falle in Höhe von 3,20 DM – erzielen, indem die Aktie verkauft, ein Zinsertrag von 5,20 DM vereinnahmt und das Papier nach drei Monaten für 522 DM zurückgekauft würde.

Anders als bei unbedingten Termingeschäften läßt sich bei Optionen allerdings nicht mehr durch eine einmal aufgebaute und bis zur Fälligkeit des Derivats durchgehaltene Position ein risikoloses Portefeuille zusammenstellen; denn im Gegensatz zum Käufer eines Forward braucht der Inhaber einer Option die Aktie bei gesunkenem Kurs am Ende der Laufzeit nicht zu erwerben, und der Besitzer des Wertpapiers muß den Kursverlust selbst tragen. Kurzfristig allerdings kann man aus einer geeigneten Zahl von Aktien und verkauften Kaufoptionen sehr wohl eine risikolose Position aufbauen.

Entscheidend bei dieser Absicherung ist, daß bei Kursschwankungen einer Aktie der Preis der zugehörigen Optionen sich ebenfalls ändert, wenn auch für gewöhlich in schwächerem Maße. Beträgt die Sensitivität des Optionspreises gegenüber Kursschwankungen beispielsweise einhalb – ändert sich also der Preis der Option um die Hälfte des Betrags, um den der Aktienkurs zu- oder abnimmt –, so muß der Portefeuille-Manager, um kein Risiko einzugehen, doppelt so viele Optionen verkaufen, wie er Aktien erwirbt. (Der finanzwirtschaftliche Laie mag sich fragen, wie man Optionen auf Aktien verkaufen kann, die man gar nicht besitzt. Für den Eingeweihten ist das kein Problem; schließlich kann man die Optionen vor dem Fälligkeitstermin zurückkaufen oder die zu liefernden Aktien nachträglich erwerben.) Falls dann der Kurs der Aktie nachgibt, kann er sie abstoßen und den Verlust durch Rückkauf der beiden jeweils um den halben Betrag billiger gewordenen Optionen gerade ausgleichen.

Allerdings vermag man sich auf diese Weise nur kurzfristig abzusichern. Der Grund ist, daß die Sensitivität des Optionspreises gegenüber Aktienkursänderungen nicht konstant ist, sondern sich gleichfalls mit dem Kurs des Wertpapiers ändert. Je tiefer dieser unter den Basispreis sinkt, desto mehr verringert sich die Sensitivität des Optionpreises und desto mehr Optionen sind zu verkaufen, damit sich weitere Kursverluste auffangen lassen. Beträgt die Sensitivität zum Beispiel nur noch ein Drittel statt einhalb, ist das Verhältnis zwischen verkauften Optionen und gekauften Aktien von zwei zu eins auf drei zu eins zu erhöhen. Das Umgekehrte gilt bei steigendem Aktienkurs; in diesem Falle steigt auch die Sensitivität des Optionspreises, und das Verhältnis der Zahl der verkauften Optionen zu derjenigen der Aktien muß verringert werden – bei starken Aktienkurssteigerungen bis auf eins zu eins.

Aus solchen Überlegungen sowie der Bedingung, daß ein risikoloses Portefeuille denselben Zinsatz wie ein festverzinsliches Wertpapier erzielen muß (weil sonst Arbitrage-Gewinne möglich wären), leiteten Black, Scholes und Merton eine partielle Differentialgleichung für den Wert der Option ab, die sich in die bekannte Wärmeleitungsgleichung der Physik transformieren läßt. Unter den Randbedingungen, die das Optionsrecht charakterisieren, ist sie explizit lösbar. Dabei ergibt sich die berühmt gewordene Black-Scholes-Formel:

Nach dieser Gleichung ist der Wert C einer Kaufoption gleich der um den Zinsvorteil verminderten Differenz aus dem erwarteten Aktienkurs und der erwarteten Zahlung bei Bezug der Aktie für den Fall, daß die Option ausgeübt wird. Die Ausübungswahrscheinlichkeit wird dabei durch den Wert der kumulativen Standardnormalverteilung N bestimmt. Demnach hängt der Optionspreis, wie oben diskutiert, von dem aktuellen Aktienkurs S, dem Basispreis E, der Laufzeit T, dem Zinssatz r und der relativen Kursvolatilität s ab. Die Risikoeinstellung der Marktteilnehmer und die erwartete Rendite der Aktie beeinflussen ihn dagegen nur indirekt über die Höhe des Aktienkurses. Damit beruht die Formel, abgesehen von der Volatilität, ausschließlich auf unmittelbar beobachtbaren Größen. Dies ist die wesentliche Ursache ihres großen Erfolges in der Praxis.


Wissenschaftliche und praktische Bedeutung der Optionspreistheorie

Die Bedeutung der Black-Scholes-Merton-Formel geht jedoch weit über die Lösung des von Louis Bachelier an der Pariser Sorbonne um 1900 erstmals formulierten Problems der Optionspreisfindung hinaus. Die zentrale Einsicht, daß sich künftige Risiken nicht nur durch Schaffung zusätzlicher Finanzinstrumente, sondern auch durch die Umschichtung von Portefeuilles aus wenigen Finanztiteln absichern lassen, erwies sich als äußerst fruchtbar und fand Anwendung auf vielerlei ökonomische Fragen.

Die größte Bedeutung hat die für Kaufoptionen auf Aktien entwickelte Theorie allerdings für die Bewertung anderer Derivate. Merton selbst erweiterte die Formel auf Verkaufsoptionen, Optionen auf dividendenzahlende Aktien, jederzeit ausübbare (amerikanische) Optionen mit unendlicher Laufzeit, exotische Optionen und den Fall stochastischer Zinssätze. Später wurde die Theorie für Optionen auf Futures, Zinssätze, Anleihen und Devisenoptionen ausgeweitet. Oft läßt sich die Lösung der entsprechenden Differentialgleichung nicht mehr analytisch als Formel angeben, sondern nur noch numerisch ermitteln. Dies trifft insbesondere auf amerikanische Optionen zu. In weiteren Arbeiten wurden die Annahmen verallgemeinert, auf denen die Black-Scholes-Formel beruht. So ließ man Transaktionskosten bei der Umschichtung von Portefeuilles zu, berücksichtigte Steuern und Sicherheitsleistungen sowie stochastische Volatilitäten und untersuchte Aktienkursprozesse mit Sprüngen auf ihre Folgen für die Optionspreise.

Schon in ihrer Veröffentlichung aus dem Jahre 1973 wiesen Black und Scholes darauf hin, daß sich Fremd- und Eigenkapitalansprüche als Optionen auf den Wert eines Unternehmens auffassen lassen. So haben Eigenkapitalgeber bei Fälligkeit einer Verbindlichkeit grundsätzlich das Recht, aber nicht die Pflicht, diese zurückzuzahlen. Die Rückzahlungsoption wählen sie immer dann, wenn – was in der Regel zutrifft – der Bruttowert des Unternehmens den Nennwert der Verbindlichkeit übersteigt. Im gegenteiligen Fall wird im Rahmen des Konkursverfahrens das Unternehmen an die Gläubiger "übereignet". Diese Sichtweise hat heute große Bedeutung bei der Abschätzung von Kreditrisiken.

Optionspreistheoretische Überlegungen können auch in die Bewertung von Realinvestitionen einfließen. So stellen die Möglichkeiten der Verschiebung einer Investition, der Wahl des Ersatzzeitpunktes oder einer von der Höhe von Rohstoff- oder Fertigproduktpreisen abhängigen Entscheidung über den Aufbau oder die Schließung von Produktionsstätten Optionen dar. Ihr Wert läßt sich grundsätzlich mit Hilfe des von Black, Scholes und Merton bereitgestellten Instrumentariums bestimmen.

Optionstheoretischen Analysen zugänglich sind auch viele Versicherungskontrakte und Garantieversprechen. Diese Möglichkeit hat bereits Merton erkannt und diskutiert. Beispiele sind Kreditrisikoversicherungen oder Garantiefonds, bei denen ein Mindestvermögen bei Fondsablauf garantiert wird.

Ungeachtet ihres anspruchsvollen mathematischen Hintergrunds wird die Black-Scholes-Merton-Theorie mit ihren vielfältigen Varianten heute weltweit eingesetzt – etwa beim Handel mit impliziten Volatilitäten im Bereich der Devisenoptionen. Von noch größerer Bedeutung sind die Optionssensitivitäten. Sie bilden den Kern eines jeden Risikomanagementsystems, wie es Kreditinstitute zur Erfassung, Steuerung und Kontrolle von Derivaterisiken einsetzen. Nur sie ermöglichen es, große Derivatepositionen ohne Gefährdung des Kreditinstituts und des gesamten finanziellen Systems zu handhaben. Auch in aufsichtsrechtlichen Regelungsvorschlägen des Baseler Ausschusses für Bankenaufsicht oder des Bundesaufsichtsamtes für das Kreditwesen wird auf optionspreistheoretische Sensitivitäten Bezug genommen.

Selten hat eine bahnbrechende wirtschaftswissenschaftliche Entdeckung ei-ne so große praktische Bedeutung erlangt wie die Optionspreis-Theorie. Deshalb kann man der Königlichen Schwedischen Akademie zu ihrer Entscheidung nur gratulieren. Zu bedauern ist lediglich, daß Black 1995 im Alter von 57 Jahren starb und diese Würdigung nicht mehr erleben konnte.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 12 / 1997, Seite 24
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