Regen; Lack oder andere Stoffe aus einer Sprühdose; Kühlwasser aus einer Düse oder Löschwasser aus einem Feuerwehrschlauch; das Kraftstoff-Luft-Gemisch im Vergaser eines Ottomotors: Überall, wo Tropfen in hoher Konzentration in (nicht zu regelmäßiger) Bewegung sind, stoßen sie auch zusammen. Dabei vereinigen sie sich oder zerfallen in zahlreiche kleinere Tröpfchen. Das beeinflußt die Gesamtoberfläche der Flüssigkeit und damit – zum Beispiel im Verbrennungsmotor – entscheidend den weiteren Verlauf des Geschehens.

Tropfenkollisionen sind also ein bedeutendes physikalisches Phänomen; die zugehörige Theorie ist auch auf Objekte anwendbar, die landläufig nicht als Tropfen gelten: Atomkerne – oder ganze Sterne. Darüber hinaus begeistern Tropfenkollisionen den Forscher, weil sie sehr ästhetisch anzusehen sind.

Untersucht wurden sie bisher hauptsächlich experimentell (Spektrum der Wissenschaft, Dezember 1990, Seite 116). Ihre theoretische Betrachtung stößt nämlich auf erhebliche mathematische Schwierigkeiten. Aus den Gesetzen der klassischen Mechanik – im wesentlichen den Erhaltungssätzen für Masse, Impuls und Energie – gewinnt man zwar ohne große Mühe die Gleichungen, welche das Verhalten des Zweiphasensystems aus Tropfenflüssigkeit und umgebendem Gas beschreiben. Aber es gelingt nur in den einfachsten Sonderfällen, deren Lösung als mathematische Formel anzugeben. Das liegt vor allem daran, daß die Gleichungen stark nichtlinear sind: Die Wirkungen sind den Ursachen nicht einmal annähernd proportional. Damit fehlt die entscheidende Voraussetzung für die Anwendbarkeit der üblichen (auf lineare Gleichungen anwendbaren) Verfahren; und allgemeine analytische – durch geschlossene Formeln ausdrückbare – Lösungen für diese Art von nichtlinearen Gleichungen gibt es ohnehin nicht.

Die Entwicklung numerischer Simulationsmethoden ist dagegen immer weiter fortgeschritten. Am Institut für Thermodynamik der Luft- und Raumfahrt der Universität Stuttgart (ITLR) ist es uns in letzter Zeit gelungen, Tropfenkollisionen mit hoher Präzision auf dem Computer nachzubilden (Bild rechts).

Allerdings mußten wir gewisse vereinfachende Annahmen machen, damit das Problem die verfügbaren Rechner nicht überforderte. Bei den hier beschriebenen Untersuchungen gehen wir von konstanter Tropfentemperatur und Strömungsgeschwindigkeiten weit unterhalb der Schallgeschwindigkeit aus. Das trifft auf die obengenannten Beispiele zweifellos zu. Die Luft hat also ausreichend Zeit, einem anfliegenden Tropfen auszuweichen; deswegen darf man annehmen, daß die Dichte des Gases ebenso wie die der Flüssigkeit eine Konstante ist – so, als wären beide Medien inkompressibel.

Wir haben zwei vollkommen verschiedene numerische Verfahren zur Simulation von Tropfenkollisionen entwickelt. Das erste beruht auf den Navier-Stokes-Gleichungen der Strömungsmechanik, das zweite geht von der Boltzmann-Gleichung der kinetischen Gastheorie aus (vergleiche "Die Berechnung reagierender Hyperschallströmungen" von Klaus Hannemann und Thomas Sonar, Spektrum der Wissenschaft, Juli 1996, Seite 72).



Navier-Stokes-Verfahren


Bei dem System nichtlinearer partieller Differentialgleichungen, das die Namen des französischen Ingenieurs Claude Navier (1785 bis 1838) und des englischen Physikers und Mathematikers Sir George Gabriel Stokes (1819 bis 1903) trägt, faßt man das strömende Medium als ein Kontinuum auf. Das Gesamtsystem wird also durch Funktionen beschrieben, die in jedem Punkt des Rechengebietes und zu jedem Zeitpunkt einen bestimmten Wert haben. Solche Funktionen sind beispielsweise Druck und Strömungsgeschwindigkeit. Wenn nun das System aus Gas und Flüssigkeit mit sehr unterschiedlichen Eigenschaften besteht, kann man diesen Unterschied durch eine zusätzlich eingeführte Funktion beschreiben. Sie hat den Wert 1 dort, wo die Flüssigkeit ist, und den Wert 0 in allen Punkten, die in der Gasphase liegen. Man nennt sie aus Gründen, die später klar werden, den Volumenanteil (der Flüssigkeit). An der Phasengrenze zwischen beiden Medien springt diese Funktion also plötzlich von einem Wert auf den anderen. Das gleiche gilt für die Stoffgrößen Dichte und Viskosität, die als vom Volumenanteil abhängige Variable angesehen werden.

Die Unbekannten, die in unserer Variante der Navier-Stokes-Gleichungen stehen, sind also Druck, Strömungsgeschwindigkeit und Volumenanteil. Die Gleichungen selbst beschreiben, wie sich diese Größen – abhängig von ihren gegenwärtigen Werten – in der Zeit ändern. Dabei geht eine weitere Größe ein: die Oberflächenspannung. Die daraus resultierende Kraft ist bestrebt, eine gekrümmte Flüssigkeitsoberfläche in Richtung des Krümmungsmittelpunktes zu verschieben. Zur Berechnung dieser Kraft benötigt man also Lage und Krümmung aller Oberflächen; diese Größen lassen sich zu jedem Zeitpunkt aus der Volumenanteilsfunktion rekonstruieren.

Eine alternative – für andere Probleme erfolgreich praktizierte – Möglichkeit ist es, getrennte Gleichungen für beide Phasen aufzustellen. Anstelle der Volumenanteilsfunktion ist der Ort der Phasengrenze die zusätzliche Unbekannte; die zugehörige Gleichung ergibt sich aus physikalischen Bedingungen, die Druck und Strömungsgeschwindigkeit an der Grenze erfüllen müssen. Das Verfahren stößt jedoch immer dann auf Schwierigkeiten, wenn Phasengrenzen verschwinden oder neu entstehen. Darauf kommt es aber beim Verschmelzen oder Abspalten von Tropfen gerade an; deswegen ist das Verfahren mit der Volumenanteilsfunktion (volume of fluid method) für unsere Zwecke weit überlegen.

Zur numerischen Lösung müssen diese Gleichungen diskretisiert werden: Man löst sie nicht für jeden Punkt des Rechengebietes (was unmöglich wäre), sondern für ausgewählte Stellvertreterpunkte oder – in unserem Falle – für Mittelwerte der Unbekannten über ortsfeste, quaderförmige Volumenelemente, in die man das Rechengebiet unterteilt. Außerdem wird die kontinuierliche Zeit durch diskrete Zeitpunkte ersetzt. Der Impuls eines Volumenelements ändert sich durch Druck- und Reibungskräfte, die an den sechs Seiten eines Volumenelementes wirkend gedacht werden, sowie durch Oberflächenspannungskräfte, die an jeder Phasengrenze auftreten. Außer durch Kräfte ändert sich der Impuls auch durch die Strömung selbst, wenn beispielsweise mehr Impuls in ein Volumenelement hinein als heraus transportiert wird. Durch die Mittelwertbildung kann die Volumenanteilsfunktion nun nicht nur die Werte 0 und 1, sondern auch Werte dazwischen annehmen; sie beschreibt jetzt tatsächlich den Anteil der Flüssigkeit am Gesamtvolumen des Elements (Bild links oben). Gleichwohl ist es möglich – wenn auch schwierig –, die Phasengrenze zu rekonstruieren.

Es ergibt sich ein Gleichungssystem für die unbekannten Werte der Systemgrößen zu einem Zeitpunkt, wobei die Werte zu dem vorangegangenen diskreten Zeitpunkt bekannt sind. Da alle Größen im Rechengebiet voneinander abhängig sind, zieht die Änderung einer Größe an einem Ort Änderungen aller Größen an allen anderen Orten nach sich. Das Gleichungssystem ist deshalb nicht einfach in einem Schritt auflösbar; vielmehr muß man iterieren, das heißt, immer wieder aus einer Näherung eine bessere ausrechnen, bis eine ausreichende Genauigkeit erreicht ist.



Gitter-Boltzmann-Verfahren


Die makroskopischen Größen wie Druck und Strömungsgeschwindigkeit sind genaugenommen ihrerseits Mittelwerte: Die Strömungsgeschwindigkeit in einem Punkt ist die Durchschnittsgeschwindigkeit aller Moleküle in einer kleinen Umgebung dieses Punktes. Zuweilen kommt es nicht nur auf diesen Mittelwert an, sondern zum Beispiel auch darauf, wie weit die Geschwindigkeiten der Moleküle um den Mittelwert streuen. Für eine derart präzisierte Beschreibung tritt an die Stelle der makroskopischen Größen eine sogenannte Verteilungsfunktion, die nicht nur vom Ort und von der Zeit, sondern auch von der Geschwindigkeit der Moleküle abhängt: f(x->,t,c->) ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, in der Nähe des Ortes x-> zur Zeit t ein Molekül mit der Geschwindigkeit c-> anzutreffen. Auch für die Funktion f gibt es eine Differentialgleichung, welche die zeitliche Änderung von f in Abhängigkeit von ihrem momentanen Wert beschreibt. Sie heißt Boltzmann-Gleichung nach Ludwig Boltzmann (1844 bis 1906), dem Begründer der statistischen Thermodynamik.

Die Verteilungsfunktion gibt viel detailliertere Auskünfte über den Zustand des Systems als die makroskopischen Größen; diese sind aus der Verteilungsfunktion als gewichtete Mittelwerte herleitbar. Da sie jedoch außer von Ort und Zeit auch noch von der Geschwindigkeit abhängt, ist ihre Berechnung um ein Vielfaches aufwendiger. Nur durch radikale Vereinfachungen rückt der Rechenaufwand in den Bereich des Machbaren.

So steht in der Boltzmann-Gleichung ein Term, der die Wirkungen von Teilchenzusammenstößen beschreibt – theoretisch sehr befriedigend, weil darin kaum vereinfachende Annahmen eingehen, aber für die numerische Berechnung hoffnungslos kompliziert (Spektrum der Wissenschaft, Februar 1995, Seite 21). An seine Stelle setzt man eine Art Kraft, die bestrebt ist, die Verteilung derjenigen anzupassen, die im thermodynamischen Gleichgewicht herrscht, der Maxwell-Verteilung (nach dem schottischen Physiker James Clerk Maxwell, 1831 bis 1879). Die Kraft ist proportional der Abweichung von der Maxwell-Verteilung. Dieses Modell heißt Krooksches Modell nach Max Krook, der es bereits 1954 am Massachusetts Institute of Technology vorgeschlagen hat.

Außerdem wird auch in diesem Falle diskretisiert: Die kontinuierlichen Variablen Ort, Zeit und Molekülgeschwindigkeit werden durch ein Gitter diskreter Werte ersetzt (Bild links). Die so entstehende Gitter-Boltzmann-Gleichung kann dann in der Zeit explizit (ohne Iteration) für jeden Gitterknoten gelöst werden.

Für die Modellierung eines Zweiphasensystems führt man schließlich, entsprechend der Realität, Anziehungskräfte zwischen den Teilchen ein. Diese hängen von der Dichte an jeweils zwei benachbarten Gitterknoten ab; ihre Stärke kann durch einen Parameter eingestellt werden. Durch die Wirkung dieser Kraft werden Dichteunterschiede derart verstärkt, daß sich ein stabiles Zweiphasensystem mit einer Phasengrenze ausbildet. An der Grenze bewirken die Anziehungskräfte eine Verringerung des Druckes in tangentialer Richtung gegenüber dem Druck in Gas und Flüssigkeit. Makroskopisch äußert sich diese Druckverringerung als Oberflächenspannung.



Grobe Näherung genügt



Es läßt sich theoretisch zeigen, daß dieses Gitter-Boltzmann-Verfahren für die makroskopischen Größen die Navier-Stokes-Gleichungen löst. Dies rechtfertigt im nachhinein Vereinfachungen wie die Verwendung des Krookschen Modells für die Teilchenstöße oder die Beschränkung auf wenige Teilchengeschwindigkeiten bei der Diskretisierung. Die Parameter des Verfahrens, das sind im wesentlichen die Stärke der Kraft, die das System auf die Maxwell-Verteilung zu treibt, sowie die Stärke der zwischenmolekularen Kräfte, stehen in einem gesetzmäßigen Zusammenhang zu den makroskopischen Stoffgrößen Dichte, Viskosität und Oberflächenspannung. Man kann also durch geeignete Wahl dieser Parameter korrekte Werte für die Stoffgrößen und damit realistische Simulationen erreichen.

Wir haben beide numerische Verfahren zunächst anhand einfacher Zweiphasensysteme überprüft, für die analyti-sche Lösungen vorliegen, wie zum Beispiel Tropfenschwingungen. Anschließend wurde die Simulation von Tropfenkollisionen in Angriff genommen. Die Rechnung gibt die im Experiment beobachteten feinen dreidimensionalen Strukturen wie Filme, Fäden und kleine Tropfen sehr genau wieder (Bild Seite 73). Hierzu ist selbstverständlich ein hinreichend feines Rechengitter erforderlich. Dieser Erfolg gibt uns die Zuversicht, daß auch die im folgenden vorgestellten Simulationen die Realität wiedergeben.

Die numerische Simulation ist nicht nur deutlich billiger als das Experiment, sondern häufig auch aussagekräftiger. So ist es im Experiment sehr schwierig, Tropfenkollisionen gleichzeitig von verschiedenen Seiten zu beobachten. Geschwindigkeitsfelder und Druckverteilungen oder Wärmeströme sind bei kleinen Tropfen experimentell kaum bestimmbar. Schließlich kann man auch Flüssigkeiten, die in der Realität giftig oder explosiv sind, gefahrlos simulieren. Die Numerik liefert für alle diese Fälle detaillierte Informationen und kann wegen der freien Wahl der verschiedenen Parameter zum tieferen Verständnis der physikalischen Phänomene beitragen.

Literaturhinweise

Einführung in die Kinetische Gastheorie. Von Arnold Frohn. Akademische Verlagsgesellschaft Wiesbaden 1979.

Lattice-Boltzmann-Verfahren zur Simulation dreidimensionaler Zweiphasenströmungen mit freien Oberflächen. Von Markus Schelkle. Dissertation Universität Stuttgart 1996.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 1 / 1999, Seite 72
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