Zu jeder natürlichen Zahl kann man eins dazuzählen. Diese Aussage wirkt korrekt, selbstverständlich und vor allem nicht besonders bemerkenswert. Es wäre ja auch zu albern, wenn die Welt der natürlichen Zahlen an irgendeiner Stelle mit Brettern zugenagelt wäre. Man wüßte nicht mehr im voraus, ob eine Addition oder Multiplikation ein Ergebnis hat, und müßte für diese Sonderfälle Vorsorge treffen. Da akzeptieren die Mathematiker lieber, daß es unendlich viele natürliche Zahlen gibt, und nehmen die zahlreichen damit verknüpften logischen Probleme bereitwillig in Kauf.

Aber wohlgemerkt: Daß jede natürliche Zahl einen Nachfolger hat, ist kein beweisbarer mathematischer Satz. Es ist eine Aussage, die "eines Beweises weder fähig noch bedürftig ist": ein sogenanntes Axiom. Alle mathematischen Beweise gründen sich letztendlich auf Axiome; diese selbst sind aber nicht beweisbar. Irgendwo muß die logische Schlußkette ja anfangen. Also wünscht man sich, daß Axiome von vornherein (a priori) so einleuchtend sind, daß ernsthafte Zweifel gar nicht erst aufkommen.

Gleichwohl ist die Entscheidung für ein bestimmtes Axiomensystem nicht zwingend und auch nicht immer unumstritten. Die heute allgemein akzeptierten Axiome der natürlichen Zahlen wurden erst Ende des letzten Jahrhunderts von Giuseppe Peano (1858 bis 1939) formuliert; Ernst Zermelo (1871 bis 1953) und Abraham Fraenkel (1891 bis 1965) haben sie in die heutige Form gebracht.

Im Laufe der Zeit stellte sich heraus, daß man mit diesem System gewisse wichtige Aussagen nicht beweisen kann. Das liegt nicht am Unverstand der Mathematiker, sondern hat prinzipielle Gründe. Man möchte also das Axiomensystem ergänzen; aber die Aussagen, die dafür zur Auswahl stehen, sind nicht nur nicht beweisbar, sondern auch nicht gerade selbstverständlich – selbst vom Standpunkt eines professionellen Mengentheoretikers. Ein Axiom wäre also nicht dadurch zu rechtfertigen, daß es unmittelbar einleuchtet, sondern im nachhinein (a posteriori) dadurch, daß damit wichtige Sätze beweisbar sind.

Für einen Mathematiker, der seine Tätigkeit als Suche nach einer objektiven Wahrheit begreift, ist das schwer hinzunehmen. Aber die Erfahrung der letzten Jahrzehnte hat gezeigt, daß diese mit der schnöden Opportunität begründeten Axi-ome gleichwohl sämtlich widerspruchsfrei zusammenpassen.

In diesen Überlegungen (und in diesem Artikel) geht es um verschiedene Sorten von Unendlichkeit. Diejenige der natürlichen Zahlen ist dabei noch die kleinste und harmloseste. In einem präzisierbaren Sinne sind die reellen Zahlen viel unendlicher als die natürlichen (Kasten 2). Und diese sind ihrerseits keineswegs der Gipfel der Unendlichkeit (den es prinzipiell nicht geben kann): Zu jeder unendlichen Menge kann man eine noch unendlichere konstruieren, nämlich die Menge ihrer Teilmengen.

Gibt es darüber hinaus noch größere Unendlichkeiten, also solche, die durch Operationen mit Mengen kleinerer Unendlichkeit nicht erreichbar sind? Ja – aber man kann es nicht beweisen. Man muß die Existenz solcher Mengen, deren Größe durch eine sogenannte große Kardinalzahl ausgedrückt wird, durch ein Axiom postulieren. Warum das sinnvoll ist, will ich in diesem Artikel erläutern.



Gewinnstrategien



Der Aufstieg in die Unendlichkeit fängt ganz unten an, bei einem Spiel mit endlich vielen Steinen: 20 Stück. Die beiden Spieler nehmen hiervon abwechselnd einen, zwei, drei oder vier Steine weg. Wer den letzten Stein nimmt, gewinnt. Wie spielt man geschickt? Die Gewinnstrategie besteht darin, in jedem Zug dem Gegner eine Anzahl von Steinen liegen zu lassen, die ein Vielfaches von 5 ist. Da der erste Spieler eine derartige Anzahl vorfindet, wird er mit Sicherheit verlieren – wenn der zweite Spieler richtig spielt, das heißt die genannte Strategie anwendet.

Das beschriebene Spiel kann auf keine Weise endlos fortgesetzt werden, die Spieler wissen stets alles über den Stand des Spiels, und es gibt kein Unentschieden. Allgemein gibt es nach einem Satz aus der Spieltheorie für Spiele mit diesen drei Eigenschaften – endlich, mit vollständiger Information und ohne Unentschieden - stets eine Gewinnstrategie, das heißt eine Spielweise, die einem der Spieler den Sieg garantiert, was auch immer der Gegner tut. Im Falle des 20-Steine-Spiels ist es einfach, eine solche Strategie zu finden und anzuwenden. In anderen Fällen liegt sie nicht so auf der Hand. Da ist es gut zu wissen, daß eine Gewinnstrategie stets existiert: Man jagt zumindest keinem Phantom nach.

Für Spiele wie Skat oder Poker ist die Information nicht vollständig: Man weiß ja nicht, welche Karten die Mitspieler haben. Endliche Spiele mit vollständiger Information, aber mit Unentschieden, sind zum Beispiel Schach und Dame. Für Spiele dieser Art existiert stets entweder eine Gewinnstrategie oder zumindest eine Strategie, mit der jeder Spieler ein Unentschieden erzwingen kann; wenn also beide optimal spielen, endet jede Partie remis. Im Falle des Schach- und des Damespieles sind diese Strategien so komplex, daß man sie nicht wirklich berechnen kann – aber sie existieren dennoch: Wenn es eines Tages jemandem gelingen sollte, sie explizit anzugeben, wäre das tödlich für die genannten Spiele – noch schlimmer, als wenn ein Computer Weltmeister würde.

Beim Schachspiel ist die Anzahl möglicher Partien größer als die Anzahl der Elektronen im sichtbaren Weltall; entsprechend komplex muß eine optimale Strategie sein – die man nicht hat. Gleichwohl ist das Schachspiel endlich. Wenn man nun zu unendlichen Spielen übergeht, wird paradoxerweise die Komplexität der optimalen Strategien zuweilen geringer. Noch merkwürdiger: Diese Spiele sind Gegenstand jüngster Forschungen in einem sehr abstrakten Gebiet der Mathematik: der Mengenlehre.

Was ist ein unendliches Spiel? Nun, eine unendliche Folge von Zügen, für die jeder der beiden – abwechselnd ziehenden – Spieler mehrere Möglichkeiten zur Auswahl hat. Nehmen wir den einfachsten Fall: Es gibt in jedem Zug nur zwei Möglichkeiten, die wir 0 und 1 nennen. Spieler I wählt eine der beiden Ziffern 0 und 1 – nehmen wir an, er entscheidet sich für 1. Auf einem Blatt Papier steht bereits eine Null mit einem Komma. Unser Spieler schreibt seine Eins dahinter: 0,1. Spieler II wählt ebenfalls eine der beiden Ziffern 0 und 1, sagen wir 0, fügt sie dem entstehenden Ziffernwurm an, was 0,10 ergibt, und so weiter.

Es ergibt sich eine unendliche Folge der Ziffern 0 und 1 oder, was dasselbe ist, ein unendlicher Dualbruch: das Analog einer unendlich langen Dezimalzahl im Zahlensystem zur Basis 2 (Binär- oder Dualsystem). Dieses System, mit dem die Computer intern rechnen, taugt nicht nur zur Darstellung ganzer, sondern auch gebrochener Zahlen. Das Prinzip ist wie bei Dezimalbrüchen: Jede Ziffer hinter dem Komma hat den Stellenwert einer Zweierpotenz mit negativem Exponenten. 0,1 bedeutet 1/2, 0,01 ist 1/4 und so weiter. Wie im Zehnersystem ist jede reelle Zahl als unendliche Ziffernfolge darstellbar. Diese Darstellung ist eindeutig, wenn sie nicht gerade ab einer gewissen Stelle nur noch aus Nullen besteht. Im Dezimalsystem ist 0,5000...=0,4999...; entsprechend gibt es zwei Dualbruchentwicklungen für 1/2: 0,10000... und 0,01111... . Eine weitere Eigenschaft ist unabhängig von der Basis des Zahlensystems (sei sie 2, 10 oder eine andere ganze Zahl): Eine Zahl ist rational (als Bruch darstellbar) genau dann, wenn ihre Ziffernfolge ab einer gewissen Stelle periodisch wird; eine Folge aus lauter Nullen gilt auch als periodisch.

Wir müssen noch verabreden, wie sich entscheidet, wer gewonnen hat. Spieler I hat immer dann gewonnen, wenn die sich ergebende reelle Zahl gewisse Eigenschaften hat, das heißt, zu einer vorher vereinbarten Menge A gehört. Nehmen wir als Beispiel die Menge A={0, 1, 1/2, 1/4, 1/8, ...}.

Spieler I will also erreichen, daß die Zahl, die sich bei Spielende (nach einer unendlich langen Spieldauer!) ergibt, ein Element der Menge A ist; Spieler II möchte genau das verhindern. Gibt es eine Spielweise, die Spieler I oder Spieler II den Sieg garantiert?

In diesem Beispiel gibt es eine Gewinnstrategie für Spieler II. Am Anfang nimmt er 1 und danach abwechselnd 1 und 0. Die Menge A besteht nämlich genau aus den Zweierpotenzen mit negativem Exponenten. In der Dualdarstellung sind das eine gewisse Anzahl Nullen, eine Eins und dann nur noch Nullen oder nur noch Einsen. Wenn also in der Dualbruchentwicklung einer Zahl die Ziffern 1, 0 und 1 – in dieser Reihenfolge, aber mit beliebigen Ziffern dazwischen – auftauchen, kann die Zahl nicht in A liegen. Folglich kann Spieler II nach seinem dritten Zug sicher sein, daß die unendliche Entwicklung, die sich ergeben wird, keine Zahl aus A darstellt.



Kann sich jemand seines Sieges sicher sein?



In diesem Fall ist das Spiel also schon nach endlich vielen Zügen entschieden. Das muß nicht immer der Fall sein. Es folgen weitere Beispiele; gesucht ist eine Gewinnstrategie für einen der Spieler.

- A=[1/8, 7/8], das sind alle reellen Zahlen zwischen 1/8 und 7/8 einschließlich (abgeschlossenes Intervall).

Lösung: Spieler I verfügt über eine Gewinnstrategie. Er setzt zuerst 1, dann 0, um anschließend beliebig fortzusetzen. Denn jede Zahl der Form 0,1*0***... liegt zwischen 1/2=0,1 und 1/2+1/4+1/8=7/8=0,111.

- A ={r1, r2,... , rn} sei irgendeine endliche Teilmenge der reellen Zahlen.

Lösung: Es gibt eine Gewinnstrategie für Spieler II. Er wählt sich eine feste Ziffer von r1, die an ungerader Stelle steht. An dieser Stelle angelangt, spielt er das Komplement dieser Ziffer, also 1, wenn r1 an dieser Stelle eine Null hat, und umgekehrt. Dann kann das Ergebnis nicht die Zahl r1 sein. (Wenn r1 zwei Dualbruchentwicklungen hat, wählt sich Spieler II zwei Stellen für diese Zahl und vereitelt zuerst die erste, dann die zweite Entwicklung.) Auf dieselbe Weise steuert Spieler II das Spiel an der Zahl r2 vorbei, dann an r3 und so weiter. Weil er über unendlich viele Züge verfügt, kann er nacheinander alle Elemente von A als Ergebnis ausschließen, womit ihm der Sieg sicher ist. Diese Ausschließungsstrategie funktioniert also nicht nur für endliche, sondern sogar für abzählbar unendliche Mengen. (Eine Menge heißt abzählbar unendlich, wenn sich ihre Elemente mit den natürlichen Zahlen durchnumerieren lassen; siehe Kasten 2.)

- A sei die Menge aller Zahlen, deren Dualbruchentwicklung keine drei aufeinanderfolgenden Einsen oder Nullen enthält. Das ist das Spiel der Pharaonen aus Kasten 1.

Lösung: Spieler I gewinnt mit einem beliebigen ersten Zug, wobei er anschließend immer mit dem Komplement des Zuges fortsetzt, den Spieler II soeben gewählt hat. So wird sichergestellt, daß keine drei aufeinanderfolgenden Ziffern übereinstimmen; folglich muß die Zahl, die sich bei unendlicher Fortsetzung ergibt, ein Element von A sein.

Wir könnten die Zahl der Beispiele noch weiter vermehren und würden feststellen, daß – falls die Menge A nicht zu komplizert ist – einer der beiden Spieler stets eine Gewinnstrategie hat. Wenn dem so ist, sagt man, daß das Spiel für die Menge A determiniert, oder kurz, daß die Menge A determiniert sei.

Unendliche Spiele und ihre Gewinnstrategien wurden erstmals von den polnischen Mathematikern Stanislaw Mazur (1905 bis 1981) und Stefan Banach (1892 bis 1945) in den dreißiger Jahren unseres Jahrhunderts untersucht. Überraschenderweise haben sie sogar eine praktische Anwendung. Man kann mit ihnen die Interaktionen zwischen einem Computersystem und seinen Benutzern darstellen. Die Betreiber möchten sicherstellen, daß das Computersystem stets die Anforderungen seines Benutzers erfüllt, und zwar binnen erträglicher Wartezeit. Beide spielen gewissermaßen eine unendliche Partie miteinander: Ein Spielzug des Benutzers ist eine Anforderung an das System, dessen Zug ist eine Reaktion darauf; die unendliche Folge der Züge beider Seiten – entsprechend der unendlichen Dualbruchentwicklung – beschreibt die Systemzustände, die sich daraus ergeben, und die sollen zur Menge der zulässigen Zustände gehören.

Eine Gewinnstrategie für das System wäre ein Betriebsprogramm, mit dem die Benutzer korrekt bedient werden, ohne daß es je eine Panne gibt. Eine Gewinnstrategie für die Benutzer – die man sich beliebig ungeschickt oder bösartig vorstellen darf – wäre ein Rezept, das System zum Absturz zu bringen. Wenn es sie gibt, ist das System schlecht programmiert.



Ist jede Menge determiniert?



Es kommt darauf an, ob es für eine – einmal festgelegte – Menge A stets eine Gewinnstrategie für einen der Spieler gibt. Anders ausgedrückt: Ist jede Menge determiniert? Wenn nein: Woran erkennt man eine determinierte Menge?

Die Probleme unendlicher Spiele sind also durchaus konkret; gleichwohl führen sie bis an die Grenzen der Mengenlehre. Dort sind die betrachteten Objekte nicht nur unendlich groß, sondern so unendlich, daß ihre Existenz unentscheidbar ist!

Die Tiefe und die Schwierigkeit dieser Fragen sind angesichts ihrer einfachen Formulierung überraschend: Selbst heute kann man sie nicht vollständig beantworten, da sie mit den merkwürdigsten Aspekten der axiomatischen Mengenlehre zusammenhängen, insbesondere mit den Axiomen für große Kardinalzahlen und mit der Kontinuumshypothese. Dies sei im folgenden erläutert.

Die ersten Antworten stammen aus dem Jahre 1953. David Gale und Frank M. Stewart bewiesen, daß zumindest jede offene Menge (siehe Kasten 3) determiniert ist. Und zwar hat für manche offenen Mengen, etwa wenn A das offe-ne Intervall ]0, 2/3[ ist (alle reellen Zahlen zwischen 0 und 2/3 ausschließlich), Spieler I eine Gewinnstrategie, für andere dagegen Spieler II; letzteres ist zum Beispiel der Fall für A=]1/4, 3/4[.

Gale und Stewart haben andererseits auch bewiesen, daß wir nicht glauben dürfen, jede Menge sei determiniert. Das würde nämlich zu einem Widerspruch mit einem grundlegenden Axiom der Mengenlehre, dem Auswahlaxiom, führen. Dessen Aussage klingt zunächst trivial: Aus einer Familie nichtleerer Mengen können wir eine neue Menge konstruieren, indem wir aus jedem Mitglied der Familie ein Element auswählen. Bei näherem Hinsehen liegen die Dinge jedoch nicht so einfach: Angeblich kann man eine Menge "konstruieren", aber es ist unmöglich, eine Konstruktionsanweisung anzugeben. Man nehme aus jeder Menge ein Element; aber welches? Wenn es sich um unendlich viele unendliche Mengen handelt, gibt es auf diese Frage keine gute Antwort. Daher war das – heute allgemein akzeptierte – Auswahlaxiom zu Beginn unseres Jahrhunderts heftig umstritten.

Es gab sogar Bestrebungen, das Axiom der vollständigen Determiniertheit "Jede Menge ist determiniert" als wahr zu akzeptieren und dafür das Auswahlaxiom zu verwerfen. Es hat durchaus etwas für sich zu vermuten, daß nicht nur jede endliche, sondern überhaupt jede Menge determiniert sei, daß es also für jede Menge A eine Gewinnstrategie gebe. Im Jahre 1962 brachten die polnischen Mathematiker Jan Mycielski (heute an der Universität von Colorado in Boulder) und Hugo Steinhaus (1887 bis 1972) das folgende Argument vor: "Angenommen, die beiden Spieler sind unendlich intelligent und kennen die Menge A vollständig. Dann kann das Ergebnis des Spieles nicht vom Zufall abhängen. Folglich muß es für einen der Spieler eine Gewinnstrategie geben."

Es gibt also zwei plausible Behauptungen, die sich widersprechen und beide nachweislich nicht aus den klassischen Axiomen der Mengenlehre folgen: einerseits das Axiom der vollständigen Determiniertheit, andererseits das Auswahlaxiom. Die hehre Suche nach der Wahrheit stößt hier an prinzipielle Grenzen. Es bleibt einem nichts übrig, als sich für dasjenige Axiom zu entscheiden, das einem am besten in den Kram paßt. Das könnte – je nach Forschungsrichtung – auch das der vollständigen Determiniertheit sein.

Diese Argumentation gilt heute als wenig überzeugend. Die Mathematiker ziehen es vor, das besser in der Anschauung verankerte Auswahlaxiom beizubehalten.

Suchen wir – in Ermangelung der absoluten – nach der relativen Wahrheit: Welche Teilmengen der reellen Zahlen R kann man vernünftigerweise als determiniert betrachten? Wir klassifizieren – vereinfachend – die Teilmengen von R in vier zunehmend größer werdende Kategorien: offene Mengen, Borelsche Mengen, projektive Mengen und Teilmengen schlechthin (siehe Kasten 3).

Der Satz "Alle offenen Mengen sind determiniert" läßt sich samt Beweis verallgemeinern zu "Alle Borelschen Mengen sind determiniert". Es dauerte immerhin 20 Jahre, bis 1975 Donald Martin von der Universität von Kalifornien in Los Angeles den Beweis vollendete. Der nächste Schritt wäre gewesen, zu beweisen, daß jede projektive Menge determiniert ist; die Behauptung wird kurz als projektive Determiniertheit bezeichnet. Aber das gelang nicht – und konnte nicht gelingen, wie man inzwischen beweisen kann: Wenn die üblichen Axiome der Mengenlehre widerspruchsfrei sind, ist es unmöglich, aus ihnen die projektive Determiniertheit zu folgern.

Folglich wird man für gewisse Mengen niemals wissen, ob das zugehörige unendliche Spiel eine Gewinnstrategie besitzt. Dieses Ergebnis ist merkwürdig. Andererseits wünschen sich viele Mathematiker die projektive Determiniertheit. Wenn man sie nämlich voraussetzen darf, lassen sich einige Beweise direkter und natürlicher führen. So schreibt Donald Martin: "Obwohl die projektive Determiniertheit nicht auf der Basis der üblichen Axiome der Mengenlehre bewiesen werden kann, führt sie zu einer eleganten und im wesentlichen vollständigen Theorie der projektiven Mengen. Folglich ist es nicht abwegig anzunehmen, sie sei wahr. Ich denke, das Axiom der projektiven Determiniertheit hat einen Status analog einer physikalischen Hypothese: Die Folgerungen aus der projektiven Determiniertheit sind so harmonisch und reichhaltig, daß sie einen quasi-empirischen Beweis für die projektive Determiniertheit darstellen." Damit lag es nahe, die – beweisbar unbeweisbare – projektive Determiniertheit zum Axiom zu erheben und dem klassischen Axiomensystem ZFC der Mengenlehre hinzuzufügen. Die Buchstaben stehen für Zermelo, Fraenkel und das Auswahlaxiom (axiom of choice).

Das ist einigermaßen befremdlich: Die Mathematiker können eine Eigenschaft nicht beweisen – sie wissen sogar, daß das mit den üblichen Voraussetzungen unmöglich ist -; aber sie stellen fest, daß diese Eigenschaft angenehme Folgerungen hat, und schlagen vor, sie deshalb als wahr zu betrachten: eine Rechtfertigung im nachhinein (a posteriori).

Eine dieser angenehmen Folgerungen ist, daß dadurch eine partielle Behandlung der Kontinuumshypothese möglich wird. Was ist das?

Man nennt zwei Mengen gleichmächtig, wenn man jedem Element der einen Menge genau eines der anderen zuordnen kann. Zwei endliche Mengen sind gleichmächtig genau dann, wenn sie gleich viele Elemente haben. Bei unendlichen Mengen widerspricht der Begriff zuweilen der Intuition: So würde man sagen, daß es nur halb so viele gerade Zahlen gibt wie natürliche Zahlen überhaupt; aber die Menge der geraden Zahlen ist ebenso mächtig wie die der natürlichen Zahlen. Gleiches gilt für die Menge der rationalen Zahlen.

Die reellen Zahlen dagegen sind sozusagen viel unendlicher als die natürlichen. Es ist nämlich unmöglich, sie eineindeutig den natürlichen Zahlen zuzuordnen (siehe Kasten 2).

Die Kontinuumshypothese besagt nun, daß es zwischen diesen beiden Arten der Unendlichkeit nichts gibt: Jede unendliche Teilmenge der reellen Zahlen ist entweder abzählbar oder von der Mächtigkeit des Kontinuums, das heißt von der gleichen Mächtigkeit wie die Menge der reellen Zahlen selbst. Georg Cantor (1845 bis 1918), der Schöpfer der modernen Mengenlehre, hat diese Hypothese 1878 formuliert, und sie hat ihm noch viel Kopfzerbrechen bereitet.

Der österreichische Logiker Kurt Gödel (1906 bis 1978) und der Mathematiker Paul Cohen von der Universität Stanford (Kalifornien) haben bewiesen, daß die Kontinuumshypothese von den übrigen Axiomen der Mengenlehre unabhängig ist. Einerseits zeigte Gödel, daß man keinen Widerspruch erzeugt, wenn man sie dem Axiomensystem ZF (von Zermelo und Fraenkel) hinzufügt; Cohen andererseits bewies, daß man auch keinen Widerspruch erzeugt, wenn man ihr Gegenteil zu ZF hinzunimmt. Man weiß überdies, daß die Kontinuumshypothese keinerlei Auswirkungen auf die Arithmetik hat: Alles, was man über die natürlichen Zahlen mit der Kontinuumshypothese beweisen kann, geht auch ohne sie.



Ist die Kontinuumshypothese wahr?



Manche Leute glauben aus diesen Ergebnissen folgern zu können, es stehe im Belieben des Mathematikers, den üblichen Axiomen der Mengenlehre die Kontinuumshypothese oder aber ihre Negation hinzuzufügen. Das ist aber nur dann richtig, wenn man hinter den Mengen keine Realität annimmt und davon ausgeht, daß die Mathematik nur aus im Prinzip beliebigen Manipulationen von Formeln bestehe. Das ist die als Formalismus bezeichnete Position in der Philosophie der Mathematik, die beispielsweise von Cohen vertreten wird. Geht man aber davon aus – die sogenannte platonistische Position –, daß der Welt der Mengen eine Realität zukommt und es letzten Endes wie in der Physik unser Ziel sein muß, diese Realität zu begreifen und in einer Theorie zu fassen, dann müssen wir die Theorie richtig vervollständigen: nicht so, wie es uns gefällt, sondern so, daß wir unsere Beschreibung der Welt verbessern – in diesem Falle in der Frage der Kontinuumshypothese weiterkommen. Diese Position vertrat Gödel.

Im allgemeinen reagiert der Formalist auf die platonistische Position mit der Frage: "Aber nach welchen Kriterien kann man beurteilen, ob es wünschenswert ist, lieber jenes Axiom als seine Negation hinzuzunehmen, wenn man weiß, daß keins von beiden zu einem Widerspruch führt?" Der Platonist antwortet: "Man muß es wie immer machen! Wir müssen unsere neuen Axiome auswählen aufgrund ihrer Evidenz a priori, ihrer Fruchbarkeit und – warum nicht – aufgrund der Einfachheit und Harmonie der Welt, die sie uns verheißen."

Im Falle der Kontinuumshypothese hat man unglücklicherweise keinerlei Evidenz a priori, weder für sie noch für ihre Negation, und die Meinungen der Logiker sind geteilt darüber, was als natürlich und harmonisch gelten kann. Was die Fruchtbarkeit anbelangt, so haben wir gesehen, daß das Axiom der projektiven Determiniertheit sehr zufriedenstellend ist. Seine apriorische Evidenz läßt jedoch zu wünschen übrig. Der Begriff der projektiven Menge ist ja alles andere als naheliegend. Da ist das Axiom der vollständigen Determiniertheit ("Alle Teilmengen von R sind determiniert") ein besserer Kandidat für Evidenz, dank der Analogie zum endlichen Fall. Die Argumente zugunsten des Axioms der projektiven Determiniertheit sind also bislang ausschließlich a posteriori. Das reicht nicht aus, um einen Formalisten zu überzeugen, und kann auch den Platonisten nicht vollkommen beglücken.

Deswegen war es eine Sensation, daß Hugh Woodin, Donald Martin und John Steel von der Universität von Kalifornien in Berkeley eben doch eine Evidenz a priori für das Axiom der projektiven Determiniertheit fanden. Das Argument verläuft indirekt und erfordert einige logische Winkelzüge; aber es ist der Mühe wert: Es führt uns zu den großen Kardinalzahlen, die seit etwa 20 Jahren zentrales Thema der Mengenlehre sind.

Eines scheint sicher: Wenn die Welt der Mengen eine Realität hat, dann muß sie so groß wie überhaupt möglich sein. Es wäre widersinnig anzunehmen, die Welt der Mengen sei bei dieser oder jener Größenordnung zu Ende, wenn es logisch möglich ist, sie sich größer vorzustellen. Die Welt der Mengen muß so groß sein, wie es die Logik zuläßt.

Hieraus folgt: Wenn man ein Axiom findet, das behauptet, es gebe große Mengen, und nicht auf einen Widerspruch führt, muß man es akzeptieren. Alle solchen Axiome – man nennt sie Axiome großer Kardinalzahlen – sind a priori gültig (vergleiche Kasten 4).

Eine derartige Rechtfertigung mag befremdlich und leichtfertig erscheinen. Aber sie ist nicht schlechter als jene, die man bei der Axiomatisierung der natürlichen Zahlen verwendet: Jede obere Schranke für die natürlichen Zahlen wäre willkürlich und logisch unbegründet. Sucht man nach neuen Axiomen, so muß man sich mit derartigen heuristischen Überlegungen zufriedengeben; wenn man bessere hätte – nämlich einen richtigen Beweis –, dann wäre es kein Axiom mehr, sondern eben ein beweisbarer Satz. In diesem Sinne halte ich die Axiome für große Kardinalzahlen für vollkommen zufriedenstellend. Außerdem haben sie auch eine Rechtfertigung a posteriori, wie ich weiter unten beschreiben werde.

Alles, was aus einem Axiom für große Kardinalzahlen folgt, ist ebenso a priori gerechtfertigt wie das Axiom selbst. Woodin, Martin und Steel entdeckten vor einigen Jahren, daß aus gewissen Axiomen großer Kardinalzahlen das Axiom der projektiven Determiniertheit folgt. Das brachte den Verfechtern dieses Axioms die ersehnte Rechtfertigung a priori. Die Platonisten sind zufrieden, und ein großer Teil der Mengentheoretiker betrachtet heute das Axiom der projektiven Determiniertheit als ein seriöses Axiom, das der klassischen Theorie ZFC hinzuzufügen sei.



Der Platonismus macht Punkte gegen den Formalismus



An dieser Stelle haben Sie, verehrter Leser, allen Anlaß zur Ungeduld. Ich habe nämlich noch nicht gesagt, was eine große Kardinalzahl ist, geschweige denn, wie man eine konstruiert. Leider ist das schlicht nicht möglich: Die Mengen, die man "von unten" konstruiert, indem man über Mengen natürlicher oder reeller Zahlen oder Mengen von Funktionen die Vereinigung oder den Durchschnitt bildet, liefern niemals eine große Kardinalzahl. Das ist kein Grund, diese zu verwerfen; Man bestreitet ja auch nicht die Existenz der Kreiszahl PI, nur weil man nicht alle ihre unendlich vielen Dezimalstellen berechnen kann. Man definiert große Kardinalzahlen indirekt (siehe Kasten 4). Die Tatsache, daß sich ihre Existenz auf die projektive Determiniertheit auswirkt, zeigt deutlich, daß diese Objekte nicht ohne Konsequenzen für die gewöhnliche Mathematik sind. Sie sind zugleich unvorstellbar und unverzichtbar und haben damit denselben Rang wie sehr große natürliche Zahlen. Eine Zahl wie 101010 ist auch nicht mehr konstruierbar – mit den Mitteln unseres Universums –, gleichwohl ist sie als Abstraktion unentbehrlich.

Es ist ein weiterer Fortschritt in der Mengenlehre zu nennen, der ein Argument a posteriori zugunsten der Axiome für große Kardinalzahlen geliefert hat.

Ich habe ein wesentliches Hindernis für die Einführung neuer Axiome noch nicht ausdrücklich erwähnt: Das gesamte Axiomensystem muß selbstverständlich widerspruchsfrei bleiben. Wenn zwei an sich zulässige und nach dem allgemeinen Prinzip zu akzeptierende Kandidaten für Axiome großer Kardinalzahlen einander widersprechen, muß man sich für einen von ihnen entscheiden.

Aus diesem Gedanken könnte man sogar ein Kriterium für oder wider den Formalismus herleiten. Wenn sich die Axiome der großen Kardinalzahlen widerspechen, dann können sie offensichtlich nicht Ausdruck einer einzigen Realität, einer Seinsgrundlage für alles sein, sagt der Formalist. Vielmehr sind sie Fiktionen, und es steht im Belieben des Mathematikers, wie er das Axiomensystem ZFC erweitert. Findet man andererseits keine Widersprüche, so erscheint es vernünftig zu glauben, daß es hinter den Formalismen eine Realität gibt.



Gegenwart und Zukunft der Kontinuumshypothese



Nun hat man aber in den letzten 30 Jahren trotz Dutzender Sätze über die Beziehungen zwischen den Axiomen für große Kardinalzahlen niemals Axiome gefunden, die miteinander unvereinbar wären. Im Gegenteil, alle diese Axiome lassen sich in ihrem Verhältnis zueinander so klassifizieren, als würden sie eine hierarchisch gegliederte Realität beschreiben, die den Hoffnungen der Platonisten entspricht. Nach den Worten von Akihiro Kanamori von der Universität Boston und Menachem Magidor von der Hebräischen Universität in Jersusalem "ist dieser hierarchische Aspekt in der Theorie der großen Kardinalzahlen etwas mysteriös. Er ist aber auch ein starkes Argument dafür, daß man die Axiome für große Kardinalzahlen akzeptieren sollte und daß sie eine natürliche Erweiterung von ZFC darstellen."

Die Welt der Mengen zeigt sich wohlorganisiert. Die Axiome, die man zu ZFC hinzunehmen muß, um dieser Welt Rechnung zu tragen, haben nichts Willkürliches: Es sieht so aus, als würden sie von äußeren Notwendigkeiten diktiert, die man sich als eine unabhängige Realität vorstellen kann. Diese empirisch festgestellte Ordnung unter den großen Mengen stützt die Apriori-Argumente für die großen Kardinalzahlen.

Darüber hinaus hat sich herausgestellt, daß zahlreiche Sätze (mit einer wichtigen Ausnahme, auf die wir zurückkommen werden), die von den üblichen Axiomen der Mengenlehre unabhängig sind, äquivalent zu Axiomen über große Kardinalzahlen sind. Alles, was bislang aus Gründen a posteriori anzunehmen vernünftig erschien (wie etwa das Axiom der projektiven Determiniertheit), ergibt sich auch aus Hypothesen über große Kardinalzahlen und ist auf diese Weise auch a priori gerechtfertigt.

Woodin bemerkt hierzu: "Die Hierarchie der großen Kardinalzahlen erscheint ebenso intrinsisch und absolut wie diejenige der natürlichen Zahlen. Das ist eine der wichtigsten Entdeckungen in der Mengenlehre der letzten 30 Jahre."

Kommen wir für einen Augenblick auf die Kontinuumshypothese zurück. Kann man ihren Status – nach dem Vorbild der projektiven Determiniertheit - vollständig in einer Weise klären, die man als natürlich betrachten kann? Kann man beispielsweise zeigen, daß die Kontinuumshypothese – oder ihre Negation – aus einem Axiom für große Kardinalzahlen folgt? Leider nein. Im Gegenteil: Es ist bewiesen worden, daß man die Kontinuumshypothese nicht erschöpfend mit einem Axiom für große Kardinalzahlen behandeln kann.

Dennoch bringen die beschriebenen Ergebnisse deutliche Fortschritte. Wenn man nämlich das Axiom der projektiven Determiniertheit den Axiomen der Mengenlehre hinzufügt, kann man beweisen, daß jede projektive Teilmenge der reellen Zahlen entweder abzählbar oder aber von der Mächtigkeit des Kontinuums ist. Dieselbe Aussage für alle Teilmengen statt nur der projektiven wäre die Kontinuumshypothese. Dieser Erfolg ermutigt zu weiteren Anstrengungen.

Eine Idee ist, das Spiel weiterzutreiben: Durch neue, stärkere Axiome über große Kardinalzahlen erreicht man immer stärkere Aussagen und kommt dadurch dem Ziel – der Kontinuumshypothese in voller Allgemeinheit – beliebig nahe. Zum anderen kann man aus der erfolgreichen Arbeit eine Lehre ziehen: Selbst im Zweifel kann es sinnvoll sein, Axiome in Erwägung zu ziehen, die nicht a priori begründet sind, und auf den Lohn a posteriori zu hoffen. Der Lohn könnte in der Kontinuumshypothese bestehen – oder auch einer Aussage darüber, für welche unendlichen Spiele eine Gewinnstrategie existiert.

Literaturhinweise

Handbook of Mathematical Logic. Herausgegeben von J. Barwise. North Holland, Amsterdam 1977.

Realism in Mathematics. Von P. Maddy. Clarendon Press, Oxford 1990.

The Higher Infinite. Von A. Kanamori. Springer, New York 1994.

Large Cardinal Axioms and Independence: The Continuum Problem Revisited. Von H. Woodin in: The Mathematical Intelligencer, Band 16, Heft 3, Seiten 31 bis 35, 1994.

Mengenlehre. Herausgegeben von U. Felgner. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1979.

Die Ufer der Unendlichkeit. Von Rudy Rucker. Krüger, Frankfurt am Main 1989.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 12 / 1998, Seite 46
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