Ein klassisches dynamisches System – ein Planetensystem, eine Billardkugel auf einem verformten Tisch oder auch die ganze Erdatmosphäre – durchläuft einen kontinuierlichen Prozeß: Zu jedem Zeitpunkt ist das System in einem gewissen Zustand. Oft läßt sich ein solches System jedoch einfacher in den Griff bekommen, wenn man es nur zu bestimmten Zeitpunkten und in gewissen Teilaspekten anschaut: die Temperaturverteilung auf der Erde alle 12 Stunden, die Geschwindigkeit eines Kometen, wann immer er die Ebene des Planetensystems durchstößt, die Billardkugel bei jedem Auftreffen auf den Rand (vergleiche den vorstehenden Artikel). Im letzten Beispiel genügt es zu wissen, an welchem Punkt und mit welchem Winkel die Kugel den Rand getroffen hat. Denn daraus kann man Auftreffpunkt und -winkel der darauffolgenden Reflexion bestimmen, daraus die der nächsten, und so weiter. Es gibt also eine Funktion – im folgenden f genannt –, mit der man aus dem Systemzustand der Reihe nach alle weiteren Zustände bestimmen kann, indem man die Funktion wieder und wieder anwendet (iteriert). Aus dem kontinuierlichen System ist dadurch ein diskretes geworden. Diskrete dynamische Systeme sind mittlerweile ein Gebiet von eigenem Interesse. Die ein System definierende Iterationsfunktion muß auch nicht mehr unbedingt von einem kontinuierlichen System abstammen. Nach wie vor interessiert jedoch das Langzeitverhalten des Systems bei gegebenem Anfangszustand. Was im kontinuierlichen Fall die Bahn des Systems war, ist nun die Folge der Punkte, die durch Iterieren eines Anfangspunktes entsteht; sie heißt ebenfalls die Bahn dieses Punktes. Es ist zweckmäßig, zunächst die einfachsten diskreten dynamischen Systeme zu untersuchen, die nicht gerade langweilig sind. Viele Probleme, über die man in komplizierten Situationen nur Vermutungen anstellen kann, lassen sich hier bis in alle Einzelheiten verfolgen. Ein Paradebeispiel dafür ist das im vorigen Artikel angesprochene Problem der kleinen Nenner. Ein besonders einfaches System ist unter den Stichworten Julia- und Mandelbrot-Menge sehr populär geworden, und zwar das, wo f einfach eine quadratische Funktion ist: für eine feste Konstante c. Dabei ist z ebenso wie c eine komplexe Zahl: die mathematische Zusammenfassung der beiden reellen Koordinaten eines Punktes in der Ebene zu einer einzigen Zahl (Spektrum der Wissenschaft, August 1989, Seite 8). Eine Julia-Menge (Bilder 2 und 3) zeigt das Verhalten des Systems für einen festen Wert von c für verschiedene Ausgangspunkte. Die Mandelbrot-Menge (das sogenannte Apfelmännchen; Bild 1) dagegen ist die Kollektion aller Punkte c, für die sich die Bahn des Punktes niemals beliebig weit vom Ausgangspunkt 0 entfernt (Spektrum der Wissenschaft, September 1989, Seite 52). Eine gute Strategie zur Untersuchung dieser und anderer Iterationsfunktionen ist, zunächst die einfachsten Bahnen zu verstehen und daraus zu schließen, was mit benachbarten Startwerten geschieht; man faßt also die neue Bahn als leichte Störung der alten auf. Die einfachsten Zahlenfolgen (Bahnen) sind solche, die eine Zahl ewig wiederholen: z, z, z, ... Das ist genau dann der Fall, wenn z ein sogenannter Fixpunkt von f ist: f(z)=z. Was geschieht nun mit Punkten in einer kleinen - beispielsweise kreisförmigen – Umgebung eines Fixpunktes? Wenn die Abbildung f – wie in dem Standardbeispiel – stetig ist, also nicht auseinanderreißt, was zusammengehört, wird die genannte Umgebung wieder auf eine Umgebung des Fixpunktes abgebildet, kann dabei aber vergrößert oder verkleinert und noch dazu kompliziert deformiert werden. In bestimmten Fällen kann man daraus Informationen über das Langzeitverhalten der Bahnen gewinnen: Wenn beispielsweise f jede kleine Umgebung des Fixpunktes weiter verkleinert, wandern alle Punkte in der Nachbarschaft immer näher zu ihm hin, so daß ihre Bahn auf die Dauer von der konstanten Folge z, z, z,... nicht zu unterscheiden ist. Ein solcher Fixpunkt heißt attraktiv. Wirkt f dagegen vergrößernd, so werden benachbarte Punkte immer weiter vom Fixpunkt weggeschoben; er heißt dann repulsiv (Bild 2 oben). Zwischen diesen beiden Verhaltensweisen gibt es – erheblich kompliziertere – Grenzfälle. Für Funktionen wie unsere, die komplex differenzierbar (analytisch) sind, kann man noch weitergehende Aussagen machen. Ebenso wie eine reelle differenzierbare Kurve durch eine Tangente approximierbar ist, läßt sich die Wirkung einer komplexen Funktion f in der Nähe des Fixpunktes in erster Näherung durch eine Drehstreckung beschreiben. Eine kleine Umgebung des Fixpunktes wird dann – näherungsweise – vergrößert oder verkleinert und um einen gewissen Winkel gedreht. Mathematisch entspricht das der Multiplikation mit einer komplexen Zahl, der Ableitung von f im Fixpunkt, die den Drehwinkel und den Streckfaktor r repräsentiert. Man hat also ein einfaches, lineares Modell für die nichtlineare Abbildung f in der Nähe ihres Fixpunktes. Je kleiner die Umgebung, desto besser das Modell. Wieviel kann nun das Modell über das Original aussagen? Ist r kleiner als 1, so wird die Umgebung des Fixpunktes zusammengestaucht und damit kleiner; daran ändert auch die Drehung nichts. In diesem Falle ist also der Fixpunkt attraktiv. Wenn der Streckfaktor r größer als 1 ist, wird die Umgebung in jedem Schritt vergrößert, und der Fixpunkt ist repulsiv. Das gilt zumindest für die überschaubare Näherungsabbildung. Kann dann die Funktion f selbst die Punkte auf unübersichtliche Weise verrühren? Der französische Mathematiker Gabriel Xavier Paul Koenigs (1858 bis 1931) hat bereits vor mehr als hundert Jahren bewiesen, daß f in der Nähe des Fixpunktes nicht nur ungefähr, sondern exakt wie eine Drehstreckung wirkt, sofern r nicht genau gleich 1 ist – vorausgesetzt, man betrachtet die Sache durch eine geeignete Verzerrungslinse (das heißt, man führt eine nichtlineare Koordinatentransformation in der z-Ebene durch). Die nichtlineare Dynamik von f am Fixpunkt läßt sich also gewissermaßen geradebiegen; man sagt, der Fixpunkt sei linearisierbar. In dem verzerrten Koordinatensystem hat man die Dynamik (lokal wenigstens) ein für allemal durch ein einfaches Modell beschrieben und damit in den Griff bekommen. Den Fall, daß der Streckfaktor exakt gleich 1 ist, mußte Koenigs offenlassen. Der Fixpunkt ist dann weder attraktiv noch repulsiv; er heißt indifferent. Die Modellabbildung ist einfach eine Drehung um den Winkel – einfacher noch als vorher, aber diesmal möglicherweise zu einfach, um als Modell zu taugen. Denn diesmal gibt es nicht unbedingt eine geeignete Zerrlinse. Es stellt sich nämlich heraus, daß es darauf ankommt, ob der Drehwinkel rational ist oder, falls nicht, wie gut er durch rationale Zahlen approximierbar ist. Dabei sind Winkel in Anteilen voller Umdrehungen zu messen; bezeichnet also einen rechten Winkel. Mathematisch am einfachsten zu verstehen und auch historisch zuerst gelöst ist der Fall, daß eine rationale Zahl p/q ist. In diesem Falle ist die Modellabbildung (also die Drehung um den Winkel ), q-mal ausgeführt, dasselbe wie p volle Drehungen, so daß jeder Punkt wieder da hingerät, wo er anfangs war. Also ist jeder Punkt Fixpunkt der q-fachen Wiederholung der (Modell-)Abbildung. Aber: Fixpunkt bleibt Fixpunkt, einerlei, ob man ihn durch eine Zerrlinse anschaut oder nicht; es müßte also die q-fache Wiederholung auch der ursprünglichen Abbildung f lauter Fixpunkte haben, das heißt gleich der identischen Abbildung sein. Falls f nicht gerade die Modellabbildung selbst ist, kann aber so etwas nicht vorkommen; unser Modell versagt also stets bei rationalenWinkeln. Das hat der Franzose Pierre Fatou (1878 bis 1929) im ersten Viertel dieses Jahrhunderts herausgefunden. Er hat auch beschrieben, was statt dessen geschieht: Nach je q Iterationsschritten wird ein Punkt wieder in der Nähe seines Ausgangspunktes sein, aber ein wenig auf den Fixpunkt zu oder von ihm weg verschoben. Dieser Effekt ist nach weiteren q Schritten verstärkt zu beobachten: es gibt insgesamt q Richtungen vom Fixpunkt aus, in denen die Punkte sich so verhalten, als wäre der Fixpunkt (schwach) attraktiv, und in q Richtungen dazwischen, als wäre er (schwach) repulsiv (Bild 2 unten; für ein ähnliches Phänomen bei kontinuierlichen Systemen vergleiche Spektrum der Wissenschaft, November 1994, Seite 14). Für irrationale Winkel ist die Frage jedoch viel schwerer zu beantworten. Anfang des Jahrhunderts gab es lange Zeit große Spekulationen, ob indifferente Fixpunkte stets oder überhaupt nie linearisierbar seien. Schließlich bewiesen zwei deutsche Mathematiker, daß beide Fälle tatsächlich vorkommen: Carl Ludwig Siegel (1896 bis 1981) zeigte 1942, daß der Fixpunkt für fast alle Winkel linearisierbar ist, während 1927 Hubert Cremer (1897 bis 1983) für allgemeine (sogenannte generische) Winkel das Gegenteil bewies. (Dieser scheinbare Widerspruch löst sich dadurch auf, daß Siegel maßtheoretische, Cremer dagegen topologische Begriffe zugrunde legte. Je nach Betrachtungsweise wird also die Regel zur Ausnahme und umgekehrt.) Entsprechend wird ein Fixpunkt mit r=1 und irrationalem Winkel Siegel-Punkt genannt, wenn er linearisierbar ist, anderenfalls Cremer-Punkt. Wie hat man sich einen linearisierbaren Fixpunkt und die Dynamik in seiner Nähe nun vorzustellen? Im Zerrbild sieht es so aus, daß eine Umgebung bei der Iteration um den irrationalen Winkel gedreht, insbesondere auf sich selbst abgebildet wird. Im Original – ohne Zerrlinse – ist sie aber nicht kreisrund; man muß sich die Drehung eher so vorstellen wie bei einem schlecht aufgepumpten Fahrradreifen: Im Prinzip dreht er sich, deformiert sich jedoch gleichzeitig, so daß seine platte Stelle immer unten bleibt (Bild 3). Davon, wie es in der Umgebung eines Cremer-Punktes aussieht, haben die Mathematiker bis heute keine allgemein brauchbare Vorstellung. Mathematisch läuft die Frage nach der Linearisierbarkeit eines Fixpunktes darauf hinaus, ob eine gewisse Potenzreihe konvergiert; diese spielt dieselbe Rolle wie die Fourier-Reihe des imaginären Bankkonto-Problems (Kasten Seite 91). Damit sie konvergiert, müssen ihre Koeffizienten hinreichend schnell klein werden. Die aber haben Nenner der Form , so daß man abermals mit dem Problem der kleinen Nenner zu kämpfen hat. Qualitativ ist die Situation hier also die gleiche wie bei vielen von der KAM-Theorie beschriebenen Fällen. Nur kann man in diesem Falle erstmalig eine notwendige und hinreichende Bedingung angeben, für welche Winkel der Fixpunkt linearisierbar ist. Unter anderem für dieses Ergebnis hat der französische Mathematiker Jean-Christophe Yoccoz in diesem Jahr eine Fields-Medaille erhalten (Spektrum der Wissenschaft, Oktober 1994, Seite 22). Für die genaue Formulierung der Aussage kommt die Kettenbruchentwicklung des Winkels ins Spiel (Kasten auf dieser Seite). Mit ihrer Hilfe läßt sich eine Folge von Brüchen finden, die der Reihe nach die besten Annäherungen an den Winkel sind. Nun geht es darum, die Summe zu betrachten. Für quadratische Polynome f ist ein Fixpunkt mit Winkel genau dann linearisierbar, wenn diese Summe einen endlichen Wert hat (konvergiert). Genau in diesem Fall konvergiert auch die Potenzreihe, welche die Koeffizienten mit den kleinen Nennern enthält. Unter welchen Umständen kann die Konvergenz überhaupt scheitern? Selbst für große ist der Logarithmus verhältnismäßig klein. Damit die genannte Summe nicht konvergiert, muß es immer wieder relativ große Terme geben; jedesmal dann muß also sehr viel größer als sein, so daß die Nenner sehr stark ansteigen. Das bedeutet: Der Winkel muß schon extrem gut approximierbar sein, damit die Konvergenz und damit die Linearisierbarkeit scheitert. Diese Bedingung hat l964 der australische Mathematiker T. M. Cherry als erster formuliert. Er starb allerdings, ohne einen Beweis veröffentlicht zu haben. Ohne Cherrys Ergebnisse zu kennen, bewies der russische Mathematiker Alexander Brjuno in seiner Dissertation ein Jahr später auf zahlentheoretischem Wege die eine Hälfte der Aussage: Wenn die Reihe konvergiert, ist der Fixpunkt linearisierbar. Yoccoz schließlich fand 1988 einen neuen, geometrischen Beweis für dieselbe Aussage, der aber so klar und stark ist, daß aus ihm auch die andere Hälfte ("nur dann, wenn die Reihe konvergiert...") erschließbar ist. Damit ist das Linearisierungsproblem für den sehr eingeschränkten Spezialfall, daß die Iterationsfunktion f ein quadratisches Polynom ist, vollständig gelöst. Die Aussagen von Cherry, Brjuno und Yoccoz gehen allerdings weit darüber hinaus: Ein indifferenter Fixpunkt einer beliebigen komplex-analytischen Funktion f mit irrationalem Drehwinkel ist jedenfalls dann linearisierbar, wenn unsere Summe endlich ist – aber möglicherweise nicht nur dann. Außerdem haben der Franzose Adrien Douady und der Amerikaner John Hubbard (Ko-Autor des vorstehenden Artikels) die Theorie der sogenannten polynomartigen Abbildungen entwickelt; aus ihr geht hervor, daß der "nur dann"-Teil der Behauptung in vielen weiteren Fällen zutrifft. Die an den quadratischen Polynomen gewonnenen Einsichten sind also in gewissem Sinne universell. Dem entspricht, daß man die charakteristische Apfelmännchen-Gestalt bei einer großen Klasse von Iterationsfunktionen wiederfindet. Dem Beweis von Yoccoz liegt folgende Idee zugrunde: Gesucht ist eine Siegel-Scheibe, das heißt eine Umgebung des Fixpunktes, die durch Drehung um den Winkel auf sich abgebildet wird. Als erste Näherung dafür nimmt Yoccoz eine Kreisscheibe und iteriert sie (das heißt, wendet f auf jeden Punkt der Scheibe an), wobei die erste Kettenbruch-Näherung an ist. Dadurch sollte die Siegel-Scheibe, so sie denn existiert, um den Winkel gedreht werden, was sehr nahe an der ganzen Zahl liegt. Punkte in der Nähe des Fixpunktes sollten also fast wieder auf sich zu liegen kommen. Die Kreisscheibe wird aber nicht genau auf sich abgebildet, denn sie war ja nur ein erster, grober Versuch für die Siegel-Scheibe. Nun verformt man sie etwas, um ein Gebiet zu erhalten, das genauer auf sich selber abgebildet wird. Dieses iteriert man ( ist die zweite Annäherung von ), wodurch es noch genauer, aber eben nicht perfekt auf sich abgebildet wird, deformiert es wie oben, iteriert -mal und so weiter. Die Annäherung an eine Siegel-Scheibe wird dabei zwar immer besser und die Deformation entsprechend geringer. Aber es kann einem gehen wie dem Gärtner, der seine Bäume mehr und mehr in Form schneidet, um sie in immer perfektere Kugelgestalt zu bringen, und am Ende zwar eine ideale Kugel, aber keinen Baum mehr übrig hat: Die Näherung der Siegel-Scheibe wird möglicherweise immer besser, aber dabei immer kleiner werden, bis am Ende nichts mehr von ihr übrigbleibt. Der Fixpunkt wäre dann nicht linearisierbar. Falls jedoch eine Umgebung des Fixpunktes alle Verformungsschritte übersteht, ist das die gesuchte Siegel-Scheibe, und der Fixpunkt ist linearisierbar. Der Beweis ist so geometrisch, daß man die Deformation und damit den zu befürchtenden Größenverlust abschätzen kann: In einer geeigneten Maßeinheit beträgt er höchstens . Wenn also die Summe aller Verformungen endlich ist, bleibt von der Scheibe noch etwas übrig. Das ist die eine Hälfte des Beweises, die für alle komplex-analytischen Funktionen gilt. Falls die Summe unendlich wird, können sich die Verformungen so aufaddieren, daß keine Siegel-Scheibe übrigbleibt; sie könnten sich aber auch gerade so wegheben, daß frühere Verformungen ausgeglichen werden. Das Schöne an dem Beweis ist, daß er geometrisch genug ist, weitgehende Aussagen über die Verformungen zu treffen. Wenigstens bei quadratischen Polynomen fügen sie sich so zusammen, daß kein Platz für eine Siegel-Scheibe bleibt. Das liefert die Umkehrung der Aussage.

Dierk Schleicher ist Physiker und Mathematiker und arbeitet hauptsächlich über dynamische Systeme. Er hat bei John Hubbard an der Cornell-Universität in Ithaca (New York) und am Institut des Hautes Études Scientifiques bei Paris promoviert und ist derzeit am Mathematical Sciences Research Institute (MSRI) in Berkeley (Kalifornien) tätig.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 12 / 1994, Seite 96
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH