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Wie funktioniert die Natur?
Zur Beschreibung jeglicher Bewegung dient der mathematische Begriff der Funktion. Im Lauf der Jahrhunderte wurde er bis zur Unkenntlichkeit verfeinert.
© University of Oklahoma (Ausschnitt)
Zu den Rätseln der Wissenschaft, über die schon die alten Griechen nachgrübelten, zählt die Bewegung. Ein bewegtes Objekt ist für den forschenden Geist im wahrsten Sinn des Wortes "unfassbar": Wenn wir es in der Hand haben, bewegt es sich nicht mehr, und solange es vor unseren Augen vorüberzieht, sträubt es sich gegen die Analyse. Eine Auflösung brachte erst eine neue Ära des Mathematik, in der ein neuartiges System von Begriffen und Operationen geschaffen wurde.
Eine Säule dieses Systems ist der Funktionsbegriff. Seit den stürmischen Zeiten von Isaac Newton (1643 – 1727) und Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) im 17. Jahrhundert ist die Theorie immer weiter von zweifelhaften Elementen gereinigt und verfeinert worden – so sehr, dass man Mühe hat, hinter dem modernen Funktionsbegriff noch etwas Bewegtes zu erkennen. Eine Funktion ist eine Vorschrift, die jedem Element einer Menge eindeutig ein Element einer anderen Menge zuordnet.
Was die Elemente dieser beiden Mengen sein sollen, bleibt völlig offen. Es dürfen auch beide Mengen aus denselben Elementen bestehen, zum Beispiel den reellen Zahlen. Selbst ein Postleitzahlenverzeichnis ist eine Funktion, denn es ordnet jedem Ort – in größeren Städten jedem Straßenstück – seine Postleitzahl zu. Nur eindeutig muss die Zuordnung sein, es darf also nicht dasselbe Dorf mit zwei Postleitzahlen im Verzeichnis stehen. Dagegen ist es nicht verboten, dass zwei Straßen oder auch zwei Dörfer dieselbe Postleitzahl haben.
Entsprechend ist jede Tabelle mit zwei Spalten, in der zu einem Gegenstand in der linken Spalte eine Angabe in der rechten Spalte steht – zum Grundstück der Eigentümer, zur Ware der Preis, zur Pflanzenart der Gattungsname –, eine Funktion. (Bei den Postleitzahlen sind rechts und links vertauscht.)
Funktionen in Tabellenform hatten schon die Babylonier. So fand man 1854 am Euphrat zwei rund 4000 Jahre alte Verzeichnisse, in denen die Quadrate der Zahlen von 1 bis 59 und die Kubikzahlen für 1 bis 32 aufgelistet waren. Das Berliner Vorderasiatische Museum besitzt ein Keilschrifttäfelchen, das die Ergebnisse der Multiplikation von 9 mit den Zahlen von 1 bis 20 sowie 30, 40 und 50 enthält. Aus der griechischen Antike ist aus dem zweiten vorchristlichen Jahrhundert eine Rechentafel des berühmten Astronomen Hipparch überliefert, die Winkeln die Länge der zugehörigen Kreissehne zuweist. Viele andere Tafeln entstanden im Mittelalter im arabischen Kulturkreis.
Heute schlagen wir die Werte für Quadratzahlen und den Sinus eines Winkels nicht mehr in einer Tabelle nach; wir lassen sie – vom Taschenrechner oder Computer – ausrechnen. Auch darauf passt der Funktionsbegriff: Eine ...
Eine Säule dieses Systems ist der Funktionsbegriff. Seit den stürmischen Zeiten von Isaac Newton (1643 – 1727) und Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) im 17. Jahrhundert ist die Theorie immer weiter von zweifelhaften Elementen gereinigt und verfeinert worden – so sehr, dass man Mühe hat, hinter dem modernen Funktionsbegriff noch etwas Bewegtes zu erkennen. Eine Funktion ist eine Vorschrift, die jedem Element einer Menge eindeutig ein Element einer anderen Menge zuordnet.
Was die Elemente dieser beiden Mengen sein sollen, bleibt völlig offen. Es dürfen auch beide Mengen aus denselben Elementen bestehen, zum Beispiel den reellen Zahlen. Selbst ein Postleitzahlenverzeichnis ist eine Funktion, denn es ordnet jedem Ort – in größeren Städten jedem Straßenstück – seine Postleitzahl zu. Nur eindeutig muss die Zuordnung sein, es darf also nicht dasselbe Dorf mit zwei Postleitzahlen im Verzeichnis stehen. Dagegen ist es nicht verboten, dass zwei Straßen oder auch zwei Dörfer dieselbe Postleitzahl haben.
Entsprechend ist jede Tabelle mit zwei Spalten, in der zu einem Gegenstand in der linken Spalte eine Angabe in der rechten Spalte steht – zum Grundstück der Eigentümer, zur Ware der Preis, zur Pflanzenart der Gattungsname –, eine Funktion. (Bei den Postleitzahlen sind rechts und links vertauscht.)
Funktionen in Tabellenform hatten schon die Babylonier. So fand man 1854 am Euphrat zwei rund 4000 Jahre alte Verzeichnisse, in denen die Quadrate der Zahlen von 1 bis 59 und die Kubikzahlen für 1 bis 32 aufgelistet waren. Das Berliner Vorderasiatische Museum besitzt ein Keilschrifttäfelchen, das die Ergebnisse der Multiplikation von 9 mit den Zahlen von 1 bis 20 sowie 30, 40 und 50 enthält. Aus der griechischen Antike ist aus dem zweiten vorchristlichen Jahrhundert eine Rechentafel des berühmten Astronomen Hipparch überliefert, die Winkeln die Länge der zugehörigen Kreissehne zuweist. Viele andere Tafeln entstanden im Mittelalter im arabischen Kulturkreis.
Heute schlagen wir die Werte für Quadratzahlen und den Sinus eines Winkels nicht mehr in einer Tabelle nach; wir lassen sie – vom Taschenrechner oder Computer – ausrechnen. Auch darauf passt der Funktionsbegriff: Eine ...
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