Fritz beendete gerade seinen ersten Arbeitstag als Auszubildender in einer Sportartikel-Versandfirma. "Lilli, kannst du mir noch ein letztes Mal sieben Tennisballdosen rüberreichen?" bat er. "Und wo du schon dabei bist, gib mir doch auch ein Stück Folie dazu."

"Laß mich nur noch eben diese Bälle einwickeln", entgegnete Lilli Weishaupt, eine Mathematikstudentin, die sich in den Ferien etwas Geld hinzuverdiente. Sie reihte ein halbes Dutzend Bälle nebeneinander auf, schlug Plastikfilm darum und schweißte das stangenförmige Paket zu. Dann reichte sie ihrem neuen Kollegen die gewünschten Dosen und die Rolle mit der Folie.

Fritz breitete ein langes Stück davon auf seinem Arbeitstisch aus, richtete die Dosen eine neben der anderen aus und schlug die Folie so sorgsam darüber, wie eine Mutter ihr Baby wickelt. Schließlich legte er die Packung unter das Nahtschweißgerät, das die Folie zunächst straffte, so daß sie sich eng um das Bündel schmiegte, und nach dem Verschweißen die überstehenden Enden abschnitt. Doch als er das fertige Paket (Bild 1 links) anschließend lässig mit einer Hand ergriff, kullerte der Inhalt auf den Boden. Das Gepolter ließ alle Umstehenden erschrocken aufblicken.

"Rottweiler! Dieses Kunststück haben Sie heute schon mindestens hundertmal fertig gebracht", schrie der Abteilungsleiter.

"Es tut mir leid, Chef."

"Wollen Sie morgen auch noch hier arbeiten, Sie Tolpatsch?"

,Ja, Chef."

"Dann überlegen Sie sich doch gefälligst mal, wie man die Dosen richtig einwickelt. Warum packen Sie sie nicht dichter zusammen?"

"Aber Lilli reiht ihre Tennisbälle doch auch alle nebeneinander auf, und so mache ich es mit den Dosen", protestierte Fritz. "Und sie spannt die Folie nicht strammer als ich. Bei meinem Paket waren keine Dellen drin."

"Tja, aber meine Päckchen fallen nicht auseinander", warf Lilli selbstgefällig ein.

"Und warum zum Kuckuck klappt das bei zylinderförmigen Dosen nicht?" wollte der Abteilungsleiter wissen.

Kreispackungen mit minimaler Fläche

"Nun", gab Lilli eine Probe ihres vom Studium geschulten logischen Denkvermögens, "wenn das Gesamtvolumen des Pakets – einschließlich der Zwischenräume – so klein wie möglich ist, dann kann das Bündel nicht in sich zusammenfallen; denn das ginge nur, wenn es sich noch weiter verdichten ließe. Wir müssen also über Pakete nachdenken, deren Volumen – das heißt der gesamte Inhalt unter der Folie, also auch die Luft zwischen den Dosen – bei insgesamt konvexer Oberfläche möglichst gering ist."

"Ich sehe ein, daß die Oberfläche des Bündels viel größer ist, wenn die Dosen wie Baumstämme in einem Floß nebeneinanderliegen, als wenn man sie stapelt", meinte der Abteilungsleiter, der in seiner Freizeit gerne Denksportaufgaben aus der Zeitung löste und sich einiges auf seinen Scharfsinn zugute hielt. "Natürlich hängt der Unterschied davon ab, wie viele Dosen es sind. Aber was das Volumen angeht, bin ich mir nicht so sicher."

"Angenommen, die zylindrischen Dosen hätten einen Radius der Länge 1; nur um die Rechnung zu vereinfachen." Lilli fühlte sich in ihrem Element. "Wenn man das Paket von der Seite ansieht, hat man im wesentlichen viele Kreise zusammenzupacken und mit einem elastischen Band zu umschlingen. Das Volumen des Pakets ist dann proportional zu der vom Band umschlossenen Fläche und die Oberfläche ist proportional zur Länge des Bandes – wenn wir annehmen, daß die Stirnseiten der Dosen frei bleiben."

"Richtig."

"Die Fläche innerhalb des Bandes und dessen Länge können wir leicht ausrechnen. In zwei Dimensionen zu denken ist viel einfacher. Wenn man sieben Kreise hintereinander anordnet und ein Band darum legt, so daß alles eng anliegt, dann ist der gesamte Umfang gleich 2PI + 24 oder 30,283."

"Warum?" Der Abteilungsleiter konnte dem Gedankenflug der Studentin nicht so schnell folgen.

"Jede Seite hat die Länge 12 – sechs Kreisdurchmesser – und dann noch zwei Halbkreise, jeder von der Länge PI."

"Verstanden."

"Aber wenn man sechs Kreise in einem Sechseck anordnet und einen in der Mitte einfügt, dann wird der Umfang 12 + 2PI oder 18,283." Sie demonstrierte das mit sieben Dosen (Bild 1 rechts). "Die Begründung ist ähnlich: Es gibt sechs gerade Stücke, deren Länge gleich dem Durchmesser eines Kreises ist, und sechs Bögen von je einem Sechstel des Kreisumfangs."

"Auch das leuchtet mir ein, Fräulein Weishaupt."

"Der Umfang der hexagonalen Anordnung ist also kaum größer als die halbe Länge der linearen. Darum fallen Fritz‘ flache Pakete immer in sich zusammen. Wenn sich die Dosen nur ein bißchen verschieben, lockert sich die Folie."

"Da bin ich mir nicht so sicher", trumpfte der Freizeit-Knobler auf. "Bis jetzt haben Sie ja nur den Umfang berechnet, Fräulein Weishaupt. Aber wie steht es denn mit dem Volumen?"

"Das sollte man auf ähnliche Art ermitteln können, Chef. Bei flachen Pakkungen läßt sich die vom Band umschlossene Stirnfläche in sechs Quadrate der Seitenlänge 2 und zwei Halbkreise vom Radius 1 aufteilen. Das macht zusammen 24 + PI oder 27,142. Bei der hexagonalen Packung ist die Berechnung allerdings schwieriger; denn hier zerfällt die Fläche in viele seltsame Teilstücke mit gekrümmten Rändern."

"Gibt es für sowas denn nicht irgendeine Formel?"

"Nicht in den Formelsammlungen, die ich kenne. Ich muß es schon selber ausrechnen." Sie nahm einen Bleistift und Schmierpapier zur Hand. "Hmm. Offensichtlich haben die Leerräume zwischen den Kreisen jeweils eine von zwei Formen. Es gibt innere mit drei krummen Randlinien und äußere mit zwei krummen und einem geraden Randstück (Bild 2). Ein Innenloch ist faktisch ein gleichseitiges Dreieck minus dreier 60-Grad-Kreissektoren. Das gleichseitige Dreieck hat Seiten der Länge 2, also eine Höhe von Wurzel 3. Seine Fläche ist die halbe Grundseite mal der Höhe, also ( 1/2) x 2 x Wurzel 3 = Wurzel 3. Die drei Kreissektoren bilden zusammen einen Halbkreis der Fläche PI/2. Also hat ein Innenloch die Fläche Wurzel 3 – PI/2 = 0,161 . Dagegen ergeben zwei Außenlöcher plus zwei Halbkreise ein 2 x 2-Quadrat mit Flächeninhalt 4. Demnach hat ein Außenloch zusammen mit einem Halbkreis den Flächeninhalt 2. Zieht man den Halbkreis ab, so bleibt für das Außenloch die Fläche 2 – PI/2 = 0,429."

Der Abteilungsleiter blickte Lilli gebannt über die Schulter, während sie fortfuhr. "Die Fläche eines hexagonalen Bündels aus sieben Kreisen setzt sich aus diesen selbst sowie aus sechs Innen und sechs Außenlöchern zusammen. Seine Fläche beträgt also

7PI + 6(Wurzel 3 – PI/2) + 6(2 – PI/2) = 25,553.

Und das ist kleiner als 27,142. Sehen Sie? Darum fallen Fritz‘ Pakete in sich zusammen. Er sollte seine Dosen lieber in sechseckigen Stapeln packen."

Trauben oder Würste?

"Schön", gab Fritz zu. "Aber ich sehe trotzdem nicht ein, warum das gleiche nicht auch für Kugeln gilt. Wenn du deine Tennisbälle in Trauben zusammenpackst, wird das Gesamtvolumen doch wohl auch kleiner als beim Nebeneinander-Aufreihen ."

"Nicht unbedingt. Das ist ein kompliziertes Problem, das sich diesmal nicht auf zwei Dimensionen reduzieren läßt. Mir scheint, daß innerhalb der Trauben viel Raum verschwendet wird. Bei meinem Arrangement, also mit allen Bällen in einer Reihe, ergibt sich eine Folienfläche von 28PI, und das umschlossene Volumen beträgt 40PI/3. Für andere Anordnungen läßt sich das Volumen leider nicht so einfach ausrechnen. Immerhin fallen meine Ballwürste nicht auseinander, und das ist doch der schlagende Beweis dafür, daß sie das kleinstmögliche Volumen haben."

"Das ist alles gut und schön", erklärte der Abteilungsleiter, "aber was machen Sie, Rottweiler, wenn Sie Bündel mit mehr als sieben Dosen packen sollen? Welche Form müssen die haben, damit das innere Volumen minimal wird?"

"Nun ja – so ähnlich wie bei dem Sechseck, Chef, nur eben größer", antwortete Fritz unsicher.

"So ähnlich wie bei dem Sechseck, Chef, nur eben größer", äffte der Abteilungsleiter ihn nach. "Ist das vielleicht eine Antwort, Rottweiler?"

"Nein, Chef."

"Und Sie, Fräulein Weishaupt, müssen bei dem Problem mit den Kugeln offenbar auch passen. Sie können das Volumen nur für die Wurstform berechnen und nehmen einfach an, diese Form habe das kleinste Volumen. Ich denke, Sie studieren Mathematik?"

Die Getadelte ließ schuldbewußt den Kopf hängen.

"lch möchte, daß Sie beide sich in der Bibliothek unserer Firma umsehen und möglichst viel zu diesem Thema ausgraben. Schließlich leistet sich das Unternehmen nicht umsonst den Luxus, alle einschlägige Literatur zu möglicherweise auftauchenden praktischen Verpackungsfragen zu beschaffen. Das Problem muß doch schon mal von irgend jemandem untersucht worden sein. Wir brauchen das Rad ja nicht nochmals zu erfinden oder?"

"Nein, Chef‘, stimmte Fritz zu. "Äh, wir meinen ja, Chef", korrigierte ihn die Studentin.

Am nächsten Morgen fand der Abteilungsleiter die beiden schlafend in der Bibliothek; ihre Köpfe waren auf Stöße aufgeschlagener Zeitschriften und Bücher gesunken. "Guten Morgen, Sie Schlafmützen. Was gefunden?" begrüßte er sie rauh, aber herzlich.

"Ja, Chef", antwortete Lilli hastig, während sie wie elektnsiert hochschreckte, "sogar eine ganze Menge".

"Dann schießen sie mal los !"

"Chef, das Grundproblem besteht darin, Anordnungen n-dimensionaler Kugeln im n-dimensionalen Raum zu finden, so daß das n-dimensionale ,Volumen ihrer konvexen Hülle minimal ist. Dabei versteht man unter der konvexen Hülle die kleinste konvexe Fläche, die alle Kugeln umfaßt. In zwei Dimensionen packen wir ebene Kugeln, also Kreise, und versuchen den Flächeninhalt der konvexen Hülle zu minimieren. Das entspricht dem Umwickeln von Fritz‘ zylinderförmigen Dosen. In drei Dimensionen packen wir Kugeln wie meine Tennisbälle und versuchen das Volumen zu minimieren."

Groemer-Packungen

"Nun kommen Sie endlich zum Punkt", meinte der Abteilungsleiter ungeduldig.

"In zwei Dimensionen weiß man, daß die Maxime für die besten Arrangements ,so hexagonal wie möglich‘ lautet."

"Eigentlich hatte ich mir eine präzise Antwort erhofft, Fräulein Weishaupt."

"Äh, nun, Chef, es ist ein bißchen kompliziert. Zur Erklärung muß ich Ihnen etwas über Groemer-Packungen erzählen. Das sind bienenwabenähnliche Arrangements aus Sechsecken, deren Seiten zwar nicht unbedingt alle gleichlang, aber zumindest paarweise parallel sein müssen. Einige Seiten dürfen sogar ganz fehlen – ich meine, es könnten auch Fünfecke oder Dreiecke oder so sein." Sie deutete auf eine aufgeschlagene Seite mit Beispielen (Bild 3).

"Solche Packungen sind nach Helmut Groemer von der Oregon State University in Corvallis benannt, der 1960 einen grundlegenden Satz darüber bewiesen hat. Darin stellt er einen Zusammenhang zwischen der Fläche der konvexen Hülle einer Kreis-Packung, der Anzahl der Kreise darin und dem Umfang der konvexen Hülle her. Demnach beträgt für n Kreise vom Radius 1 der Flächeninhalt einer konvexen Hülle mit dem Umfang u mindestens

2Wurzel 3(n-1)+u(1 -Wurzel3/2)+PI(Wurzel3-1).

Dabei ist der Flächeninhalt genau dann gleich diesem Wert, wenn die Packung eine Groemer-Packung ist."

"Ja und?"

"Ausgehend von dieser Abschätzung hat Gerd Wegner von der Universität Dortmund 1986 das ganze Problem im wesentlichen gelöst. Er bewies nämlich, daß die konvexe Hülle einer Menge von gleichgroßen Kreisen minimal wird, wenn die Kreise in einer Groemer-Packung angeordnet werden, deren Seiten ,so gleich wie möglich sind – jedenfalls für n zwischen 1 und 120. Außerdem ist der Satz auch richtig, wenn n eine Hexagonalzahl ist, also die Gleichung n = 3k² + 3k + 1 mit ganzzahligem k erfüllt. Dann gibt es nämlich eine GroemerPackung in Form eines regelmäßigen Sechsecks."

"Demnach existieren also immer noch einige ungelöste Fälle?"

"Ja, aber die Spanne zwischen den besten bekannten Ergebnissen und den bestmöglichen ist sehr klein."

Der Abteilungsleiter schüttelte mißbilligend den Kopf. "Nicht so genau, wie ich mir das erhofft hatte, Fräulein Weishaupt."

"Das mag ja sein, Chef‘, sprang Fritz ihr bei. "Aber wir müssen doch nie im Leben mehr als 120 Dosen in einem Bündel zusammenpacken."

"Schon, aber mir geht es ums Prinzip", entgegnete der Abteilungsleiter mit einem Anflug von Starrsinn.

"Merkwürdig ist, daß die Antwort in drei Dimensionen ganz anders ausfällt jedenfalls für relativ wenige Kugeln."

"Relativ wenige Kugeln?" wiederholte der Abteilungsleiter verständnislos.

"Ja, bis zu 56, Chef, um genau zu sein", fügte Lilli hastig hinzu. "Bis zu so vielen Kugeln ist die Anordnung, deren konvexe Hülle das kleinste Volumen hat, eine Wurst, bei der alle Bälle auf einer Geraden liegen. Danach allerdings wird das beste Arrangement viel kompakter und rundlicher."

"Rundlicher, soso."

Höhere Dimensionen: die Wurst-Vermutung

"Noch weniger intuitiv ist, was in Räumen mit vier und mehr Dimensionen passiert", fuhr Lilli fort und ignorierte den versonnenen Blick ihres Chefs auf ihre Körperformen.

"lch glaube kaum, daß wir vierdimensionale Sportartikel herstellen werden", spottete der Abteilungsleiter.

"Aber es geht Ihnen doch, wie Sie sagten, ums Prinzip. Wie Sie wohl wissen, läßt sich jeder Punkt im zweidimensionalen Raum durch zwei Zahlen (x,y) und im dreidimensionalen Raum durch ein Zahlentripel (x,y,z) als Koordinaten beschreiben. Entsprechend besteht der vierdimensionale Raum aus allen Zahlenquadrupeln (w,x,y,z) und der n-dimensionale Raum aus allen n-Tupeln (x₁ ...,x_n). Eine Kugel in n Dimensionen ist dann die Menge aller Punkte, die von einem gegebenen Punkt, dem Mittelpunkt, gleich weit entfernt sind. Natürlich muß man noch das n-dimensionale Analogon zum Volumen definieren, aber das ist nicht allzu schwer."

"Wenn Sie das sagen..."

"Jedenfalls ist in vier Dimensionen für bis zu ungefähr 50000 Kugeln das Wurst-Arrangement dasjenige, dessen konvexe Hülle das kleinste Volumen hat. Bei 100000 Kugeln dagegen bildet die Wurst mit Sicherheit nicht mehr die dichteste Packung."

"Wo genau liegt denn die Grenze?"

"Tja, irgendwo zwischen 50000 und 100000, Chef. Keiner weiß, ab wann die Wurst nicht mehr optimal ist. Aber in fünf Dimensionen scheint etwas wirklich Uberraschendes zu passieren. Man könnte denken, daß in diesem Falle die Wurst bei – sagen wir – bis zu 50 Milliarden Bällen am besten abschneidet und ab dann ein etwas rundlicheres Gebilde" hier ließ sie ihren Blick einen Moment lang auf der Leibesmitte ihres Vorgesetzten ruhen "eine kleinere konvexe Hülle hat. In sechs Dimensionen könnte die Grenze vielleicht bei etlichen Trillionen liegen und so weiter. Aber im Jahre 1975 formulierte Laszlo Fejes Tóth die sogenannte Wurst-Vermutung. Danach ist in fünf und mehr Dimensionen die Wurst unabhängig von der Zahl der zu packenden Bälle immer die Anordnung, deren konvexe Hülle das kleinste Volumen hat."

"Wirklich erstaunlich", rief der Abteilungsleiter aus.

"Was ist denn an fünf Dimensionen so besonders?" wollte Fritz wissen.

"Noch ist es ja bloß eine Vermutung", warnte Lilli. "Aber sie läßt sich recht plausibel begründen. Die Grundidee ist, daß es mit zunehmender Dimension immer schwieriger wird, den ganzen Raum effizient mit Kugeln auszufüllen; die vieldimensionalen Lücken dazwischen werden einfach zu groß. In je mehr der verfügbaren Raumdimensionen sich die Umhüllung ausdehnt, desto mehr Lücken bleiben und desto mehr Platz wird verschwendet. Wenn man die Kugeln dagegen nur in einer einzigen Dimension aufreiht – eben in der Wurstform –, muß man weniger Lücken in Kauf nehmen. T6th schätzte die Dimension ab, von der an diese Überlegung zutrifft, und kam auf die Zahl fünf. Natürlich könnte sich das Ganze als Trugschluß erweisen niemand weiß das bisher genau. Aber es wäre jedenfalls interessant, die Antwort herauszubekommen ."

Der Abteilungsleiter versuchte, sich nicht anmerken zu lassen, wie beeindruckt er war. "Sehr schön, Sie Schlauköpfe", meinte er gönnerhaft, "wirklich gut gemacht. Aber jetzt – zurück an die Arbeitsplätze! Es gibt viele Pakete zu packen."

Fritz verbrachte die nächste Stunde damit, 56 Tennisbälle mit einem riesigen Stück Folie zu einer Wurst zusammenzupacken. Als er fertig war, rief er voller Stolz dem Abteilungsleiter zu, doch einmal herüberzuschauen.

"Bravo", lobte der.

Triumphierend hob Fritz das Paket über den Kopf – aber die Wurst bog sich unter ihrem Gewicht durch, die Folie zerriß, und 56 Tennisbälle kullerten kreuz und quer durch den Raum.

Literaturhinweise

Research Problems. Von Laszlo Fejes Tóth in: Periodica Mathematica Hungarica, Band 6, Seiten 197 bis 199 (1975).

Über endliche Kreispackungen in der Ebene. Von Gerd Wegner in: Studia Scientiarum Mathemativarum Hungarica, Band 21, Seiten 1 bis 28 ( 1986).

Unsolved Problems in Geometry. Von Hallard T. Croft, Kenneth J. Falconer und Richard K. Guy. Springer-Verlag, New York 1991.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 10 / 1993, Seite 10
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