Der Würfel gehört zu den ältesten Glücksspielgeräten. Der antike Geschichtsschreiber Herodot (um 490 bis um 420 vor Christus) behauptete, die Lydier hätten ihn zur Zeit des Königs Atys erfunden; dagegen schrieb sein Zeitgenosse, der athenische Dramatiker Sophokles (um 496 bis 406 vor Christus), die Erfindung einem Griechen namens Palamedes zu, vermutlich zur Zeit des Trojanischen Krieges. Das ist zwar plausibel – zweifellos bestand während der langjährigen Belagerung Trojas großer Bedarf an Zeitvertreib –, aber falsch: Die Archäologen haben kubische Gebilde, die offenbar demselben Zweck dienten wie die heutigen, schon in 4000 Jahre alten ägyptischen Gräbern gefunden. In China sind Würfel aus der Zeit um 600 vor Christus überliefert. Viele Völker benutzten sie: die nordamerikanischen Indianer, die Azteken und die Mayas, die Polynesier, die Inuit und viele afrikanische Stämme. Es gibt sie in verschiedenen Formen, mit merkwürdigen Markierungen und aus den exotischsten Materialien, von Biberzahn bis Porzellan.

In dieser Kolumne geht es allerdings vorrangig um den modernen Standardwürfel. Er ist – was sonst? – würfelförmig und trägt auf jeder seiner sechs Seitenflächen ein Muster aus 1 bis 6 Punkten. Die Punktzahlen auf gegenüberliegenden Seiten ergeben zusammen jeweils 7. Die drei Paare paralleler Seitenflächen tragen also die Augenzahlen 1 und 6, 2 und 5 sowie 3 und 4. Es gibt genau zwei mögliche Anordnungen mit dieser Eigenschaft; die eine ist das Spiegelbild der anderen. Bei fast allen Würfeln westlicher Hersteller sind die Flächen 1, 2, 3 gegen den Uhrzeigersinn um eine gemeinsame Ecke gruppiert (weiße Würfel in Bild 2). Ich habe mir sagen lassen, daß in Japan der Drehsinn des Würfels eine Rolle spiele: In der Regel sei das Standardexemplar zu verwenden; nur bei Mah-Jongg, einem Rommé-ähnlichen Spiel chinesischen Ursprungs, nehme man die spiegelbildliche Version (schwarz in Bild 2).

Oft wird mit zwei Würfeln zugleich gewürfelt, und es kommt auf die Summe der Augenzahlen an. Wir nehmen zunächst an, daß die Würfel fair sind, daß also jede Seite mit der Wahrscheinlichkeit 1/6 nach oben zu liegen kommt. Um die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Augensumme zu berechnen, müssen wir bestimmen, auf wieviele Arten sie zustande kommen kann, und diese Zahl durch 36 teilen, die Gesamtzahl der möglichen Augenpaare.

Es ist hilfreich, sich den einen Würfel rot und den anderen blau vorzustellen. Es gibt nur eine Möglichkeit, 12 Augen zu erzielen: Beide Würfel müssen die Sechs zeigen. Die Wahrscheinlichkeit für die Summe 12 beträgt also 1/36. Dagegen können elf Augen auf zwei verschiedene Weisen auftreten: 6 mit dem roten Würfel, 5 mit dem blauen und umgekehrt. Die entsprechende Wahrscheinlichkeit beträgt also 2/36 oder 1/18.

Hier irrte selbst der geniale Mathematiker und Philosoph Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 bis 1716). Die Wahrscheinlichkeiten für 11 und 12 müßten gleich sein, dachte er, denn es gebe nur eine Möglichkeit, 11 Augen zu erzielen: ein Würfel 6, der andere 5. Nur widerspricht diese Idee – außer der Logik – kraß der Erfahrung. Bild 1 zeigt die Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten aller Augensummen von 2 bis 12.

Ein Glücksspiel, bei dem es entscheidend auf die gefühlsmäßig richtige Einschätzung solcher Wahrscheinlichkeiten ankommt, ist Craps (vergleiche Spektrum der Wissenschaft, August 1996, Seite 10). Es stammt aus den vierziger Jahren des vorigen Jahrhunderts. Ein Spieler, der Shooter, bietet einen gewissen Geldbetrag. Jeder Mitspieler kann einen Betrag eigener Wahl dagegen setzen (fade). Wenn dabei weniger zusammenkommt, als der Shooter ursprünglich geboten hat, reduziert dieser seinen Einsatz entsprechend. Dann würfelt er mit zwei Würfeln. Wenn die Augensumme im ersten Wurf 7 oder 11 beträgt ("natural"), gewinnt er sofort. Bei einer Augenzahl von 2, 3 oder 12 ("craps") dagegen verliert er. Ansonsten wird die Augenzahl, die er geworfen hat, – 4, 5, 6, 8, 9 oder 10 – zu seinem Punkt ("point"). Er würfelt nun immer wieder und versucht, seinen Punkt erneut zu erzielen, ehe er 7 wirft ("craps out"). Wenn ihm das gelingt, gewinnt er das ganze Geld, ansonsten verliert er alles.

Aus den Wahrscheinlichkeiten und den Spielregeln läßt sich errechnen, daß die Gewinnchance des Shooters 244/495 beträgt, also rund 49,3 Prozent. Das ist etwas weniger als fair (50 Prozent). Ein professioneller Spieler kann diesen kleinen Nachteil auf zwei Arten in einen Vorteil verwandeln: indem er diverse Nebenwetten mit den anderen Spielern abschließt oder mittels Taschenspielertricks unfaire Würfel ins Spiel bringt.

Ein Würfel ist mannigfach manipulierbar. Man kann die Seitenflächen so beschleifen, daß nicht alle Ecken genau rechtwinklig sind, oder ein verborgenes Gewicht einbauen. In beiden Fällen werden gewisse Augenzahlen wahrscheinlicher als andere. Noch dreister ist der Trick, Standardwürfel durch sogenannte Halbwürfel zu ersetzen, die überhaupt nur drei verschiedene Augenzahlen tragen: Gegenüberliegende Seitenflächen sind stets gleich gekennzeichnet (Bild 3). Da man aus jedem Blickwinkel höchstens drei Flächen eines Würfels auf einmal sieht und benachbarte Seitenflächen stets verschiedene Augenzahlen tragen, fällt ein solcher Würfel auf den ersten Blick nicht auf. Nur wer genau hinschaut, entdeckt, daß die Augenzahlen 1, 3 und 5 mal im Uhrzeigersinn, mal entgegengesetzt um eine Ecke herum angeordnet sind. Es ist nämlich nicht möglich, in jeder Ecke eines Halbwürfels die Standardorientierung einzuhalten.

Halbwürfel sind bei Craps für diverse Betrügereien einsetzbar. Ein Paar 1-3-5-Würfel kann niemals 7 ergeben. Eine Kombination von einem 1-3-5-Würfel und einem 2-4-6-Würfel kann keine gerade Augensumme erzielen. Aber ein geschickter Falschspieler wird Halbwürfel nur sehr sparsam verwenden, denn selbst der naivste Mitspieler wird sich nach einer Weile wundern, warum die ganze Zeit nur ungerade Augenzahlen vorkommen.

Würfel kommen oft bei Zaubertricks und Partyspielen zum Einsatz. Viele solche Tricks beruhen darauf, daß gegenüberliegende Augenzahlen zusammen 7 ergeben. Das folgende Spiel beschreibt Martin Gardner in seinem Buch "Mathematical Magic Show". Die Zauberkünstlerin dreht dem Publikum den Rücken zu und bittet einen Freiwilligen, drei Standardwürfel zu werfen und die Augen zusammenzuzählen. Dann soll das Opfer einen Würfel auswählen, in die Hand nehmen, die unten liegende Zahl zu der Summe dazuzählen, mit diesem Würfel noch einmal würfeln und das Ergebnis zu der bisherigen Summe dazuzählen – alles, ohne irgendein Ergebnis zu nennen. Nun dreht sich die Zauberkünstlerin wieder um und nennt sofort das Gesamtergebnis – obgleich sie keine Ahnung hat, welcher Würfel ein zweites Mal geworfen wurde.

Wie geht das? Nehmen wir an, beim ersten Wurf lagen die Augenzahlen a, b und c oben, und der erste Würfel wurde gewählt. Die anfängliche Summe beträgt dann a+b+c. Dazu wird 7-a (von der Unterseite des Würfels) addiert, das ergibt zusammen b+c+7. Dann wird der erste Würfel erneut geworfen, und d liegt oben. Die Endsumme beträgt also d+b+c+7. Die Zauberin sieht die drei Würfel noch auf dem Tisch liegen und muß nichts weiter tun, als rasch deren Augenzahlen d+b+c zusammenzuzählen und 7 zu addieren.

Von Henry Ernest Dudeney, dem englischen Rätselerfinder, stammt ein anderer Trick. Wieder bittet die Zauberkünstlerin eine Versuchsperson, hinter ihrem Rücken drei Würfel zu werfen. Diesmal muß das Opfer die Augenzahl des ersten Würfels verdoppeln und 5 dazuzählen, das Resultat mit 5 malnehmen, die Augenzahl des zweiten Würfels dazuzählen, das Ergebnis mit 10 multiplizieren und schließlich die Augenzahl des dritten Würfels addieren. Sowie das Opfer das Ergebnis bekanntgibt, nennt die Zauberkünstlerin die Augenzahlen auf den drei Würfeln. Der Trick ist einfach: Das Ergebnis ist 10(5(2a+5)+b)+c =100a+10b+c+250. Es genügt also, von dem genannten Ergebnis 250 abzuziehen; die drei Ziffern der so erhaltenen Zahl sind die gesuchten Augenzahlen.

Andere Würfeltricks verwenden Würfel mit anderen Zahlen auf den Flächen. Man kann zum Beispiel zwei Würfel so mit Punktzahlen beschriften, daß alle Augensummen von 1 bis 12 (oder auch von 1 bis 36) gleich wahrscheinlich sind. Das Prinzip ist in der Auflösung des Preisrätsels vom Februar dieses Jahres (Spektrum der Wissenschaft, April 1998, Seite 26) eingehend beschrieben.

Das Merkwürdigste auf diesem Gebiet sind wohl die nichttransitiven Würfel. Stellen Sie drei Würfel mit folgenden Augenzahlen her:


A: 3 3 4 4 8 8

B: 1 1 5 5 9 9

C: 2 2 6 6 7 7


Wenn die Inhaber zweier Würfel wiederholt darum spielen, wer die höhere Augenzahl erreicht, gewinnt auf die Dauer B gegen A; denn die Wahrscheinlichkeit, daß B eine größere Augenzahl würfelt als A, beträgt 5/9. Mit der gleichen Begründung gewinnt C gegen B mit Wahrscheinlichkeit 5/9. Also wird erst recht C gegen A gewinnen, oder? Falsch. A gewinnt gegen C mit Wahrscheinlichkeit 5/9 (Bild 4). Mit solchen drei Würfeln können Sie ein Vermögen machen! Lassen Sie Ihren Gegner einen Würfel wählen. Dann wählen Sie den jeweils stärkeren. Wiederholen Sie das Spiel. Sie werden im Durchschnitt fünf von neun Spielen gewinnen – und das, obwohl Ihr Gegner die freie Wahl des "besten" Würfels hat.

In geeigneter Reihenfolge notiert, ergeben die Augenzahl-Belegungen der drei nichttransitiven Würfel die Spalten des klassischen magischen Quadrats der Ordnung 3. Wie George Trepal aus Sebring (Florida) bemerkte, bilden die Zeilen des Qua-drats ebenfalls ein Tripel nichttransitiver Würfel: A=(8,8,1,1,6,6) schlägt B=(3,3, 5,5,7,7); B schlägt C=(4,4,9,9,2,2), und C schlägt A, jeweils mit Wahrscheinlichkeit 5/9. Bisher ist es nicht gelungen, aus größeren magischen Quadraten Systeme nichttransitiver Würfel zu machen; ob das im Prinzip möglich ist, konnte bisher weder bewiesen noch widerlegt werden.

Wenn die Augenzahlen so klein wie möglich (aber ganzzahlig und größer als 0) sein sollen, ist die beste Lösung A=(1,1,4,4,4,4), B=(3,3,3,3,3,3), C= (2,2,2,2,5,5). A schlägt B, B schlägt C, jeweils mit Wahrscheinlichkeit 6/9, und C schlägt A mit Wahrscheinlichkeit 5/9.

Ein Wort der Warnung zum Schluß: Vertrauen Sie nicht zu sehr auf Wahrscheinlichkeiten, vor allem wenn die Regeln des Spiels nicht ganz genau festgelegt sind, und vor allem: Unterschätzen Sie die Fähigkeiten Ihres Gegners nicht! In seinem herrlichen kleinen Buch "Zufall, Glück und Chaos" (vergleiche Spektrum der Wissenschaft, Oktober 1992, Seite 139) erzählt Ivar Ekeland die alte Sage von zwei nordischen Königen, die durch Würfeln über das Schicksal einer umstrittenen Insel entscheiden wollten. Der schwedische König würfelte zuerst und erzielte zwei Sechsen. Das, brüstete er sich, sei unschlagbar, also könne König Olaf von Norwegen gleich aufgeben. "Der aber sagte, während er die Würfel in seiner Hand schüttelte: ,Es sind immer noch zwei Sechsen auf den Würfeln, und für Gott, meinen Herrn, ist es eine Kleinigkeit, sie nach oben zu bringen.' ... Da warf Olaf noch einmal, und diesmal war auf dem einen Würfel eine Sechs, der andere aber brach entzwei und zeigte nun Sieben. Und so gewann er die Ansiedlung." Literaturhinweise

Mathematical Magic Show. Von Martin Gardner. Alfred A. Knopf, 1977.

Amusements in Mathematics. Von Henry Ernest Dudeney. Dover Publications, 1958.

Zufall, Glück und Chaos. Von Ivar Ekeland. Deutscher Taschenbuch-Verlag, München 1996.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 10 / 1998, Seite 9
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