Mathematik ist abstrakt und praxisfern – so lautet zumindest das Klischee. Das trifft mit Sicherheit nicht auf alle Gebiete des Fachs zu, doch wenn ein Bereich dieses Vorurteil verdient hat, dann ist es wohl die Topologie. Umso überraschender erscheint es, wenn sich ein Topologe in der Blüte seiner Karriere plötzlich den anwendungsnahen dynamischen Systemen zuwendet, mit denen sich das Wetter, biologisches Wachstum oder Planetenbahnen berechnen lassen.

Diesen ungewöhnlichen Weg beschritt Dennis Parnell Sullivan (* 1941), der von 1963 bis in die späten 1970er Jahre hinein beeindruckende Fortschritte im Bereich der Topologie geleistet hat. Obwohl der anschließende Wechsel zu dynamischen Systemen überraschen mag, nutzte er dort ähnliche geometrische Ansätze, um auch dieses Gebiet maßgeblich zu prägen. Für seine federführenden Beiträge in den beiden so unterschiedlichen Bereichen hat ihm die Norwegische Akademie der Wissenschaften den diesjährigen Abelpreis verliehen. Diese Ehrung wird seit 2003 vergeben und zählt – neben der alle vier Jahre überreichten Fields-Medaille – als die höchste Auszeichnung der Mathematik.

Topologen gelten als die Minimalisten ihre Fachs. Das Gebiet entstand im 19. Jahrhundert aus der Geometrie. Dabei geht es ebenfalls um Figuren, nur ohne die »lästigen« Details. Für Topologen gelten zwei Gegenstände als gleich, wenn man sie ohne Zerreißen oder Zusammenkleben ineinander umformen kann, etwa ein Donut und eine Kaffeetasse (denn beide besitzen ein Loch). In seiner Doktorarbeit widmete sich Sullivan direkt der Hauptaufgabe des Bereichs: dem Klassifizieren so genannter Mannigfaltigkeiten.

Topologen als Ordnungsliebhaber

Denn in der Topologie verzichtet man auf Details, um Objekte besser ordnen zu können. In manchen Fällen kommt es in der Mathematik nämlich nicht darauf an, die genaue Beschaffenheit einer Form zu kennen, sondern bloß ihre grobe Gestalt. Mannigfaltigkeiten sind besonders angenehme Figuren: Sie besitzen keine Ecken oder Kanten, kein Anfang und kein Ende, wie eine Kugel. Es erstaunt wohl nicht, dass sich ein- und zweidimensionale Mannigfaltigkeiten einfach kategorisieren lassen – denn man kann diese Figuren leicht visualisieren.

In einer Dimension gibt es nur eine Art von Mannigfaltigkeit, den Kreis. Alle anderen Linien oder Kurven haben entweder lose Enden oder lassen sich nahtlos zu einem Kreis umformen. In zwei Dimensionen wird es schon etwas spannender: Da gibt es die Oberfläche einer Kugel, aber auch die eines Donuts, die eines Donuts mit zwei Löchern, mit drei Löchern und so weiter.

Geometrische Figuren kneten

Der dreidimensionale Fall wird schon schwieriger, denn dafür muss man sich eine dreidimensionale Oberfläche in einem vierdimensionalen Raum denken. Doch mit dem Beweis von Poincarés Vermutung durch Grigori Perelman im Jahr 2003 hatte man auch dafür eine Lösung gefunden. Sullivan widmete sich den Dimensionen von fünf aufwärts. Diese stellen sich erstaunlicherweise als wesentlich einfacher zu studieren heraus als der vierdimensionale Fall. Das liegt daran, dass die zusätzlichen Dimensionen mehr »Platz« bieten, um Mannigfaltigkeiten ineinander umzuwandeln – und somit ihre topologische Gleichheit zu zeigen.

In seiner Doktorarbeit entwickelte Sullivan Methoden, um hochdimensionale Mannigfaltigkeiten aufeinander abzubilden. »Seine Arbeit hat maßgeblich dazu beigetragen, ein vollständiges Bild davon zu erhalten, welche Mannigfaltigkeiten es in fünf oder mehr Dimensionen gibt«, erklärt der britische Journalist Alex Bellos in der vom Abelpreis-Komitee herausgegebenen Erklärung.

In den folgenden Jahren bereicherte Sullivan das Gebiet, indem er Techniken entwickelte, um praktische Berechnungen an den abstrakten Mannigfaltigkeiten durchzuführen. So wie sich eine Kurve als Graph in einem Koordinatensystem geometrisch untersuchen lässt, kann man diesem in manchen Fällen auch eine Funktionsgleichung zuweisen. Diese erleichtert es häufig, bestimmte Dinge wie Schnittpunkte exakt zu bestimmen. Auf ähnliche Weise kann man algebraische Strukturen (hier sind es aber keine Gleichungen) mit Mannigfaltigkeiten und anderen Figuren in Verbindung setzen. Sullivan schaffte es, die bisherigen Konzepte auf zusätzliche topologische Räume zu erweitern.

Von der Ordnung ins Chaos

Mit leistungsfähigeren Computern erregte Ende der 1970er Jahre ein neues mathematisches Gebiet die Aufmerksamkeit vieler Wissenschaftler: die dynamischen Systeme. Dabei geht es darum, die Bewegung eines Punkts in einer geometrischen Umgebung zu untersuchen, etwa die Bahn eines Planeten. Auch Sullivan fand Gefallen an dem Thema, ebenso wie die Öffentlichkeit, die den Begriff der damit verbundenen Chaostheorie aber bis heute häufig missinterpretiert.

Dynamische Systemen zeichnen sich dadurch aus, dass sich ihr Zustand zeitlich ändert. Ihr Verlauf, also etwa die vollführten Bewegungen, hängt dabei vollständig von den Startwerten ab. Betrachtet man etwa einen Ball, der in einem Meter Höhe in Ruhe losgelassen wird, knallt dieser geradewegs auf die Erde. Besitzt er hingegen eine nach vorne gerichtete Anfangsgeschwindigkeit, wird er parabelförmig auf dem Boden auftreffen. Gerade das Wetter hängt empfindlich von den Anfangsbedingungen ab: Wenn diese nur ein wenig variieren, sieht das Endergebnis komplett anders aus. Das ist es, was Mathematiker als Chaos bezeichnen.

Phänomene wie das Wetter sind extrem komplizierte Beispiele für dynamische Systeme, denn dort beeinflussen sich unzählige Faktoren gegenseitig. Um das Fachgebiet zu untersuchen, kann man sich aber selbst einfachsten Beispielen zuwenden, denn auch sie besitzen schon spannende Eigenschaften: etwa das dynamische System, das durch die Gleichung f(x) = x² – 1 entsteht. Man wählt einen Startwert x₀ aus und setzt diesen ein: f(x₀). Das Ergebnis fügt man nun wieder in die Gleichung ein: f(f(x₀)), und das wiederholt man immer wieder. Wenn x₀ = 2 ist, wachsen die so entstehenden Werte immer weiter an. Startet man hingegen mit x₀ = 1, ergibt sich eine periodische Folge: 0, -1, 0, -1, 0, -1, … Indem man die Startwerte, die zu periodischen Mustern führen, markiert, kann man erstaunliche Fraktale wie die Mandelbrotmenge erhalten.

Sullivan widmete sich der Frage, für welche Systeme man periodische Ergebnisse erhält und für welche die Werte ins Unendliche streben. Dafür nutzte er Methoden aus der Geometrie, die er auf die komplexe Zahlenebene anwendete – also einer Art kartesisches Koordinatensystem, bei dem die y-Komponente Vielfache von Wurzeln aus negativen Zahlen darstellt. Damit gelang es ihm, eine aus den 1920er Jahren stammende Vermutung zu beweisen.

Wie ein periodisches Pendel

Während seiner Arbeit in diesem Bereich pendelte Sullivan ständig zwischen Paris und New York, da er an Universitäten in beiden Städten angestellt war. Vielleicht inspirierte ihn dieses periodische Hin und Her bei seiner Arbeit an dynamischen Systemen. Ende der 1990er Jahre nahm er schließlich eine volle Anstellung an der State University of New York an und setzte damit dem Pendeln ein Ende. Dort begann er sich wieder vermehrt für seine ursprüngliche Leidenschaft, die Topologie, zu interessieren.

Zusammen mit seiner Kollegin Moira Chas gelang es ihm 1999, eine neue topologische Invariante zu definieren. Dabei handelt es sich um eine charakteristische Größe (zum Beispiel eine Zahl, ein Polynom oder eine Matrix), die sich nicht ändert, wenn man eine Mannigfaltigkeit verformt. Solche Invarianten helfen beim Kategorisieren dieser Objekte.

Nun stellt sich die Frage, ob »der echte Virtuose« dem periodischen Muster in seinem Leben treu bleibt und sich in den kommenden Jahren vielleicht noch mal den dynamischen Systemen zuwendet. An ungelösten Problemen mangelt es in dem Bereich jedenfalls nicht.