Karen Uhlenbecks bahnbrechende Leistungen haben »zu einigen der dramatischsten Fortschritte in der Mathematik der letzten 40 Jahren geführt«, hieß es bei der Verleihung des Abelpreises, der als mathematisches Äquivalent des Nobelpreises gilt. Damit würdigte die Norwegische Akademie der Wissenschaften das Lebenswerk der Forscherin, die ein neues mathematisches Gebiet erschloss und damit eine ganze Generation von Wissenschaftlern prägte.

Uhlenbeck kam 1942 in Cleveland zur Welt. Als Kind war sie eine wissbegierige Leserin; der Mathematik schenkte sie damals aber nur wenig Aufmerksamkeit. Erst als sie einen einführenden Mathematikkurs an der University of Michigan hörte, erwachte ihr Interesse für das abstrakte Fach: »Die Struktur, Eleganz und Schönheit der Mathematik hat mich sofort in ihren Bann gezogen, und ich habe mein Herz an sie verloren«, schrieb sie 2009 in dem Buch »Mathematicians: An outer view of the inner world«. Zudem bot die mathematische Forschung aus ihrer Sicht einen weiteren Vorteil: Man hat die Möglichkeit, völlig allein an einem Projekt zu arbeiten. Wie sie 1997 beschrieb, schreckte sie in ihren jungen Jahren jede Art von Beruf ab, in dem man mit Menschen zusammenarbeiten muss.

Zwischen Analysis, Topologie und Geometrie

Mitte der 1960er Jahre besuchte Uhlenbeck die Graduiertenschule an der Brandeis University in Massachusetts, wo sie Richard Palais als Betreuer ihrer Doktorarbeit wählte. Palais untersuchte ein damals kaum verbreitetes Gebiet, das zwischen der Analysis (bei der es um Integral- und Differenzialgleichungen geht) und der Topologie und Geometrie (die Formen beschreiben) liegt.

Als Uhlenbeck bei Palais anfing, hatte ihr Betreuer zusammen mit Stephen Smale, der bald darauf für seine Arbeiten die Fields-Medaille gewann, gerade große Fortschritte bei der Erforschung so genannter »harmonischen Abbildungen« gemacht. Diese Abbildungen gehen auf ein jahrhundertealtes Feld der Mathematik zurück, das als Variationsrechnung bezeichnet wird. Dabei sucht man nach Formen, die Lösungen eines bestimmten Extremwertproblems sind. Eines der berühmtesten Beispiele ist das 1696 von Johann Bernoulli aufgeworfene Brachistochronen-Problem: Entlang welcher Kurve rollt eine Kugel am schnellsten von einem Punkt zum anderen?

Diese Extremwertprobleme entpuppen sich auch außerhalb der Mathematik als überaus wichtig. Gerade in der Physik werden beispielsweise die Bahnkurven von Teilchen immer durch Formeln beschrieben, die eine bestimmte Gleichung minimieren.

Uhlenbeck ist die erste Frau, die den Abelpreis in der 17-jährigen Geschichte der Auszeichnung erhält

Auch harmonische Abbildungen sind Lösungen bestimmter Extremwertprobleme. Dazu muss man sich ein Haargummi vorstellen, das man auf ein starres Objekt wie eine Kugel auftragen möchte. Um zu testen, ob die Positionierung des Haargummis eine harmonische Abbildung ist, lässt man das Haargummi einfach los: Rollt es sich wegen der elastischen Spannung ab, dann ist die Abbildung nicht harmonisch. Verharrt es dagegen im Gleichgewicht, hat man eine solche Abbildung gefunden. Anschaulich gesehen sucht man bei harmonischen Abbildungen also nach einer Form, die das kleinste elastische Potenzial hat. Mathematiker sagen, dass in diesem Fall die Dirichlet-Energie minimal ist.

Haargummi trifft Donut

Im Fall der Kugel kann sich ein Haargummi immer zu einem Punkt zusammenziehen, deshalb gibt es genau eine Art harmonischer Abbildung. Betrachtet man statt einer Kugel eine kompliziertere Oberfläche mit Löchern, wird es schwieriger. Wickelt man ein Haargummi beispielsweise um das Loch eines Donuts, kann es sich nicht zu einem Punkt zusammenziehen, ohne die Oberfläche zu verlassen – stattdessen wird es dem kürzesten Weg um das Loch folgen.

Harmonische Abbildungen beschreiben aber nicht nur Haargummis, die man über Oberflächen rollt. Die gummiartigen Objekte können auch komplizierter sein. Beispielsweise kann man eine Abbildung suchen, die einen knetbaren Ball um einen dreidimensionalen Raum legt. Bei Problemen in drei oder mehr Dimensionen kann es mitunter schwierig sein, alle möglichen harmonischen Abbildungen zu finden. Das liegt daran, dass in solchen Fällen häufig ein physikalisches Modell fehlt, in dem man sieht, wie sich die gummiartige Figur verhält: Ist sie im Gleichgewicht, oder wird sie sich abrollen?

Daher überlegten sich Mathematiker einen Weg, um sich einer harmonischen Lösung zu nähern. Zuerst starten sie mit einer beliebigen Abbildung, die sie dann nach und nach so verändern, dass die gummiartige Form in jedem Schritt dem Gleichgewichtszustand näherkommt. Allerdings ist nicht immer sichergestellt, dass dieser Prozess auch wirklich zum Gleichgewicht führt.

Tatsächlich taucht dieses Problem nicht nur bei der kleinstmöglichen Lösung der Dirichlet-Energie auf (deren Lösung gerade die harmonischen Abbildungen sind), sondern auch für Abbildungen, die andere Energiegleichungen minimieren. 1964 fanden Palais und Smale heraus, dass der wiederholte Verformungsprozess zu einem Gleichgewichtszustand führt, wenn die betreffende Energiegleichung eine gewisse Bedingung erfüllt.

Im eindimensionalen Fall harmonischer Abbildungen, bei denen das gummiartige Objekt also ein Haargummi beschreibt, erfüllt die Dirichlet-Energie die Palais-Smale-Bedingung. Das heißt, man kann immer durch den wiederholten Verformungsprozess einen Gleichgewichtszustand finden. Wenn die gummiartige Form aber höherdimensional ist, etwa eine Kugel, dann ist die Palais-Smale-Bedingung nicht mehr zwingend erfüllt. Die allmähliche Veränderung einer Abbildung führt damit nicht immer zu einer harmonischen Lösung.

Als Uhlenbeck Mitte der 1970er Jahre Professorin an der University of Illinois in Urbana-Champaign war, begann sie zu verstehen, was in diesen Fällen schiefläuft. In den fünf Jahren an der Universität war sie jedoch nicht besonders glücklich. Da sie und ihr Mann gleichzeitig einen Posten an der University of Illinois angetreten hatten, fühlte sie sich dort in erster Linie als »Frau des Professors«. Allerdings traf sie just in dieser Zeit den damaligen Postdoc Jonathan Sacks, was eine wichtige Begegnung für ihre Karriere werden sollte.

Gemeinsam erforschten die beiden eine Reihe verschiedener Energiegleichungen für zweidimensionale gummiartige Oberflächen, die jeweils die Palais-Smale-Bedingung erfüllen, deren Abbildungen also einen Gleichgewichtszustand erreichen können. Die Energiegleichungen wählten sie so, dass sie sich immer weiter der Dirichlet-Energie nähern, für welche die Palais-Smale-Bedingung im Allgemeinen nicht gilt. Uhlenbeck und Sacks fragten sich, ob die Abbildungen irgendwann zu einer harmonischen Abbildung konvergieren, wenn die dazugehörigen Energiegleichungen immer näher an die Dirichlet-Energie heranrücken.

In den späten 1970er und frühen 1980er Jahren konnten Uhlenbeck und Sacks zeigen, dass die Antwort auf die Frage »fast« lautet. An beinah jedem Punkt der zweidimensionalen gummiartigen Oberfläche konvergieren die Abbildungen der Energiegleichungen zu einer harmonischen Abbildung. Allerdings gibt es eine endliche Menge von Punkten auf der Oberfläche, an denen eine seltsame Art von Blasen entsteht.

Wenn die Kaugummiblase platzt

Die Blasen ähneln denjenigen, die man mit einem Kaugummi erzeugen kann. Zieht man dabei allmählich immer mehr von dem Kaugummi zurück in den Mund, während man die Blase auf gleicher Größe hält, wird das Material um die Blase immer dünner – sie bleibt aber unter der Annahme, dass der Kaugummi unendlich dehnbar ist, über die ganze Zeit bestehen. Nach einer gewissen Zeit wird die Blase jedoch platzen, da man irgendwann den gesamten Kaugummi im Mund hat. Etwas Ähnliches passiert mit den Abbildungen der Energiegleichungen auf dem Weg zur Dirichlet-Energie.

Sacks und Uhlenbeck zeigten, dass die gummiartigen Formen, die durch die Abbildungen der Energiegleichungen beschrieben werden, in der Umgebung von einigen wenigen Punkten Blasen bilden. Während sich die Energiegleichungen immer weiter der Dirichlet-Energie nähern, enthalten die Blasen immer kleinere Bereiche der Oberfläche. Erreicht man schließlich die Dirichlet-Energie, versucht die Abbildung eine Blase aus einem einzigen Punkt zu bilden, was zu einer so genannten Singularität führt: Man kann die Abbildung an diesem Punkt nicht mehr definieren.

Die gute Nachricht ist: Es können nicht beliebig viele dieser Blasen entstehen. Tatsächlich hängen sie von dem Raum ab, um den man die zweidimensionale gummiartige Form stülpen möchte. Die Blasen können dabei nur um Löcher des jeweiligen Raums entstehen. Und da jeder Raum bloß eine begrenzte Anzahl an Löchern hat, ist dadurch auch die Zahl der Singularitäten limitiert.

Durch diese Erkenntnis haben Uhlenbeck und Sacks harmonische Abbildungen mit dem mathematischen Bereich der Topologie verbunden. Denn Topologen kategorisieren Formen ungeachtet ihrer geometrischen Details, für sie spielt beispielsweise nur die Anzahl ihrer Löcher eine Rolle (für sie sind eine Tasse und ein Donut identisch). Tatsächlich hat die Arbeit der Mathematikerin und des Mathematikers gezeigt, dass man harmonische Abbildungen durch Geometrie und Topologie untersuchen kann, und umgekehrt. Diese Erkenntnis war ausschlaggebend für die Entstehung eines neuen mathematischen Bereichs: der modernen »geometrischen Analysis«.

Von der Mathematik zur Physik

Seither haben Wissenschaftler in vielen verschiedenen Gebieten der Mathematik und der Physik Blasenbildungen entdeckt. Das führte Uhlenbeck in den frühen 1980er Jahren, als sie Professorin an der University of Illinois in Chicago war, zur Eichtheorie. Dieser Ansatz, der dem Elektromagnetismus entsprang, bildet inzwischen die mathematische Grundlage vieler physikalischer Theorien – darunter dem Standardmodell der Teilchenphysik, welches das Verhalten subatomarer Teilchen zuverlässig beschreibt.

Wie bei den harmonischen Abbildungen geht es auch in der Eichtheorie darum, Objekte zu finden, die eine Energiegleichung minimieren. Im Elektromagnetismus sind diese Objekte Lösungen der berühmten Maxwell-Gleichungen. In allgemeinen Eichtheorien sucht man nach Ausdrücken, welche die so genannten Yang-Mills-Gleichungen erfüllen.

Um diese komplizierten Gleichungen zu vereinfachen, suchte Uhlenbeck zunächst nach einem anderen Koordinatensystem, in dem sie die Formeln leichter untersuchen konnte. Daraufhin bewies sie ihren berühmten Satz der »hebbaren Singularitäten«. Dieser besagt, dass vierdimensionale Formen keine Blasen um isolierte Punkte herum bilden können.

So konnte sie zeigen, dass jede endliche Lösung der Yang-Mills-Gleichungen, die in der Nähe eines Punktes wohldefiniert ist, auch problemlos auf den Punkt selbst erweitert werden kann – ohne dass dabei störende Singularitäten auftauchen. Diese Erkenntnisse in der Eichtheorie »untermauern die meisten späteren Veröffentlichungen in diesem Bereich«, schrieb Simon Donaldson vom Imperial College London. Donaldson gewann 1986 eine Fields-Medaille für seine Ergebnisse, die auf Uhlenbecks Arbeiten aufbauen.

Uhlenbeck ist die erste Frau, die den Abelpreis in der 17-jährigen Geschichte der Auszeichnung erhält. Die Rolle der Pionierin hat sie nicht zum ersten Mal inne. 1990 war sie beispielsweise nach Emmy Noether die erste Frau, die jemals einen Plenumsvortrag auf dem Internationalen Kongress der Mathematiker hielt. Damit beendete sie eine 58 Jahre andauernde Durststrecke in der männerdominierten Veranstaltung. Im Lauf der Jahre wurde sie zu einer inspirierenden Figur für eine ganze Generation von Mathematikerinnen und Mathematikern.

Ab Anfang der 1990er Jahre leitete sie mit anderen ein Mentorenprogramm für Frauen in der Mathematik am Institute for Advanced Study in Princeton, New Jersey. »Vorbild zu sein, ist eine Herausforderung«, schrieb sie 1996, »denn man muss den Studenten zeigen, wie unvollkommen ein Mensch sein kann und dennoch erfolgreich. Ich bin vielleicht eine gute Mathematikerin und berühmt dafür, aber ich bin auch sehr menschlich.«

Von »Spektrum der Wissenschaft« übersetzte und redigierte Fassung des Artikels »Karen Uhlenbeck, Uniter of Geometry and Analysis, Wins Abel Prize« aus dem »Quanta Magazine«, einem inhaltlich unabhängigen Magazin der Simons Foundation, die sich die Verbreitung von Forschungsergebnissen aus Mathematik und den Naturwissenschaften zum Ziel gesetzt hat.