42. So laute die Antwort auf die Frage nach dem Leben, dem Universum und dem ganzen Rest, schrieb Douglas Adams in seinem 1979 erschienenen Sciencefiction-Roman »Per Anhalter durch die Galaxis«. Das überraschende Ergebnis liefert der extrem leistungsstarke Computer Deep Thought, der dafür mehr als 7,5 Millionen Jahre rechnen muss.

Enttäuscht stellen die Figuren der Geschichte fest, dass sie ihre Frage hätten präziser formulieren müssen, um ein nützlicheres Resultat zu erhalten. Doch, so beruhigt sie der Computer, er könne die konkrete Frage ausarbeiten, deren Antwort 42 lautet. Dafür müsse er allerdings eine neue Version von sich selbst erschaffen, was ebenfalls sehr viel Zeit in Anspruch nehmen würde.

Wer herausfinden möchte, wie es weitergeht, sollte Adams' Bücher lesen. Über die 42 kann man auch ohne die Lektüre spekulieren. Die Zahl ist mittlerweile ein zentrales Element der Nerd-Kultur. Sucht man etwa im Internet nach »Antwort auf alles« oder etwas Ähnlichem, erhält man das Ergebnis »42«. Die Zahl kommt außerdem in etlichen Serien und Hollywood-Filmen vor, etwa in »Spider-Man: New Generation«.

Alles reiner Zufall?

In der Geschichte der Menschheit taucht die 42 außerdem an vielen weiteren Stellen auf:

• Die alten Ägypter glaubten, dass ein Verstorbener während des Totengerichts vor 42 Richtern erklären müsste, während seines Lebens keine von 42 Sünden begangen zu haben.
• Tibet hatte 42 Könige. Nyatri Tsenpo, der um 127 v. Chr. regierte, war der erste, und Langdarma, der von 836 bis 842 herrschte, der letzte.
• Die Gutenberg-Bibel, das erste gedruckte Buch in Europa, hat 42 Textzeilen pro Spalte und trägt daher den Titel »zweiundvierzigzeilige Bibel«.
• Am 15. Juli 2020 beschloss die EU-Kommission, Deutschland solle jährlich 42 Prozent mehr in den EU-Haushalt einzahlen als bisher.

Natürlich wurde Adams schon häufig gefragt, ob die 42 eine besondere Bedeutung für ihn habe. Seine Antwort ist ernüchternd: »Es war ein Witz. Es musste eine gewöhnliche, ziemlich kleine Zahl sein, und ich habe mich für diese entschieden. Binäre Darstellungen, die Basis 13, tibetische Mönche – das ist einfach Unsinn. Ich setzte mich an meinen Schreibtisch, schaute in den Garten und dachte ›42 könnte funktionieren‹ und schrieb es auf.«

In binärer Darstellung nimmt 42 die prägnante Form 101010 (= 2 ⁵ + 2³ + 2¹) an. Daher nahmen einige Fans den 10. Oktober 2010 zum Anlass, eine Party zu feiern. Um zu erklären, was es mit der Basis 13 auf sich hat, muss man etwas weiter ausholen. Adams erwähnt mehrmals in seinem Roman, 42 sei die Antwort auf die Frage »wie viel ergibt 6 mal 9?«. Das macht natürlich keinen Sinn, denn 6 · 9 = 54. Zur Basis 13 entspricht die 42 aber der 54 in Dezimalschreibweise, nämlich: 4 · 13 + 2 · 1 = 54.

Die 42 und die Mathematik

Abgesehen von den Fällen, bei denen die 42 durch Scherze von Informatikern oder aus reinem Zufall auftritt, kann man sich fragen, ob die Zahl aus rein mathematischer Sicht besonders ist. Tatsächlich hat die 42 einige interessante mathematische Eigenschaften. Hier ist eine Auswahl:

• 42 ist die Summe der ersten drei Zweierpotenzen mit ungeradem Exponenten (2¹ + 2³ + 2⁵ = 42). Dabei handelt es sich um ein Element der Folge a(n), der Summe ungerader Zweierpotenzen. In der Encyclopedia of Numerical Sequences des britisch-US-amerikanischen Mathematikers Neil Sloane ist die Folge a(n) als A020988 definiert. In binärer Schreibweise lautet das n-te Element der Folge 1010…10, wobei die »10« n-mal auftaucht. Die Formel für das n-te Glied in Dezimalschreibweise ist a(n) = (2/3)(4ⁿ – 1). Für große n nehmen die Abstände zwischen den Folgengliedern a(n) immer weiter zu, weshalb Zahlen, die zu dieser Folge gehören, extrem selten sind. Das macht 42 außergewöhnlich.
• 42 ist die Summe der ersten beiden Potenzen von sechs (6¹ + 6² = 42). Die entsprechende Folge b(n) addierter Sechserpotenzen ist A105281 in Sloanes Enzyklopädie. Sie wird durch die rekursiven Formeln b(0) = 0 und b(n) = 6b(n – 1) + 6 definiert. Die Dichte der Glieder b(n) tendiert bei großen n ebenfalls gegen null.
• 42 gehört zu den Catalan-Zahlen. Diese sind extrem selten: Bloß 14 von ihnen sind kleiner als eine Million. Leonhard Euler erwähnte erstmals Catalan-Zahlen, als er untersuchte, wie man ein n-seitiges konvexes Vieleck in Dreiecke zerlegen kann. Der Anfang der Folge von Catalan-Zahlen (A000108 in Sloanes Enzyklopädie) lautet 1, 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, … Die Formel c(n) = (2n)!/((n!)(n + 1)!) gibt den n-ten Term an. Wie bei den beiden vorhergehenden Beispielen verschwindet die Dichte der Catalan-Zahlen c(n) für große n.
• 42 ist eine »praktische« Zahl, das heißt, jede kleinere Zahl lässt sich als Summe einiger ihrer Teiler schreiben. Die ersten praktischen Zahlen sind 1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, … (Folge A005153 nach Sloane). Es ist keine einfache Formel bekannt, die den n-ten Term dieser Formel berechnet – die Dichte der Glieder scheint aber dieses Mal für große n nicht gegen null zu gehen.

All das ist unterhaltsam, dennoch ist die 42 mathematisch gesehen nicht außergewöhnlich. 41 oder 43 sind beispielsweise auch Glieder vieler besonderer Folgen. Deshalb haben sich die Forscher Nicolas Gauvrit, Hector Zenil und ich die Frage gestellt, welche natürlichen Zahlen besonders interessant sind – und welche völlig langweilig.

Um das zu untersuchen, haben wir die Folgen in Sloanes Enzyklopädie genauer unter die Lupe genommen. Neben einem theoretischen Zusammenhang zu der von dem sowjetischen Mathematiker Kolmogorov definierten Komplexität (interessant sind Zahlen, die zumindest eine kurze Beschreibung besitzen) erkannten wir Anzeichen persönlicher Vorlieben in der Enzyklopädie. Weil Primzahlen oder fibonacciartige Folgen die Menschen stark faszinieren, tauchen diese vermehrt als Einträge auf, so dass die Enzyklopädie nicht nur auf mathematischer Objektivität basiert.

Die Summe dreier Kubikzahlen

Bisher sind Informatiker und Mathematiker davon ausgegangen, man hätte die genannten Spielchen ebenso mit einer anderen Zahl als 42 treiben können. Allerdings machte kürzlich eine amüsante Nachricht die Runde: Beim Problem der Summe dreier Kubikzahlen bereitete die 42 viel mehr Mühe als alle anderen Zahlen, die kleiner als 100 sind. Das Problem lautet wie folgt:

Welche ganzen Zahlen n lassen sich als Summe dreier ganzzahliger Kubikzahlen schreiben: n = a³ + b³ + c³?

Weil Kubikzahlen für ein gegebenes n auch negativ ausfallen können, fällt das Problem sehr kompliziert aus. Denn die Zahlenwerte von a, b, c sind dadurch unbegrenzt. Anders ist es bei der Summe von Quadratzahlen: Diese sind durch den Wert von n eingeschränkt. Bei Kubikzahlen gibt es dagegen sehr große, unerwartete Lösungen, etwa für 156:

156 = 26 577 110 807 569³ + (−18 161 093 358 005)³ + (−23 381 515 025 762)³

Manche Werte von n lassen sich sogar überhaupt nicht in die Summe dreier Kubikzahlen zerlegen. Das ist zum Beispiel für alle ganzen Zahlen n der Form 9m + 4 und 9m + 5 (wie 4, 5, 13, 14, 22, 23) der Fall. Um das zu beweisen, muss man zunächst einen anderen Zahlenraum nutzen als den der ganzen Zahlen: Man wechselt zur Uhrzeit-Arithmetik, indem man 9 = 0 setzt und nur mit Zahlen zwischen 0 und 8 arbeitet.

Das Prinzip ist ganz ähnlich zu einer Uhr, die im Zahlenraum von 1 bis 12 operiert: Möchte man um 11 Uhr wissen, auf welche Zahl der Zeiger in drei Stunden zeigt, rechnet man 11 + 3 = 14, zieht 12 ab und erhält 2. Im Zahlenraum von 0 bis 9 teilt man also alle größeren Zahlen durch 9 und erhält den Rest als Ergebnis.

In diesem Zahlenraum (den man durch »mod 9« beziehungsweise »modulo 9« kennzeichnet) gibt es folgende Kubikzahlen:

0³ = 0 (mod 9) 

1³ = 1 (mod 9) 

2³ = 8 (mod 9) 

3³ = 27 = 0 (mod 9) 

4³ = 64 = 1 (mod 9) 

5³ = 8 (mod 9) 

6³ = 0 (mod 9) 

7³ = 1 (mod 9) 

8³ = 8 (mod 9)

Das heißt, Kubikzahlen modulo 9 sind entweder 8, 0 oder 1. Die Addition dreier Kubikzahlen im eingeschränkten Zahlenraum ergibt daher:

0 = 0 + 0 + 0 = 0 + 1 + 8 

1 = 1 + 0 + 0 = 1 + 1 + 8

2 = 1 + 1 + 0

3 = 1 + 1 + 1

6 = 8 + 8 + 8

7 = 8 + 8 + 0

8 = 8 + 0 + 0 = 1 + 8 + 8

Man kann mit den Kubikzahlen niemals eine 4 oder 5 erhalten. Das bedeutet, die Summen dreier Kubikzahlen haben niemals die Form 9m + 4 oder 9m + 5, man bezeichnet sie deshalb als »verbotene Werte«.

Suche nach Lösungen

Die Suche nach Lösungen der Gleichung n = a³ + b³ +  c³ ist extrem kompliziert. Das zeigen schon die Fälle n = 1 und n =  2:

Für n = 1 gibt es die offensichtliche Lösung 1³ + 1³ + (-1)³ = 1. Doch es gibt auch andere:

9³ + (-6)³ + (-8)³ = 729 + (-216) + (-512) = 1

Und es geht noch weiter. 1936 identifizierte der deutsche Mathematiker Kurt Mahler unendlich viele Lösungen:

(9p⁴)³ + (3p – 9p⁴)³ + (1 – 9p³)³ = 1, wobei p eine beliebige ganze Zahl ist.

Auch n = 2 hat unendlich viele Lösungen. Der Mathematiker A. S. Werebrusow entdeckte sie bereits 1908:

(6p³ + 1)³ + (1 – 6p³)³ + (-6p²)³ = 2.

Indem man die Terme beider Gleichungen mit einer Kubikzahl r³ multipliziert, erhält man für jede Kubikzahl r³ und jede doppelte Kubikzahl 2r³ unendlich viele Lösungen. Für 16, die doppelte Kubikzahl von 2, ergibt sich mit p = 1 zum Beispiel:

14³ + (-10)³ + (-12)³ = 16

Bis August 2019 kannte man für n = 3 dagegen nur zwei Lösungen: 1³ + 1³ + 1³ = 3 und 4³ + 4³ + (-5)³ = 3. Doch unter enormem Aufwand fand man dann schließlich eine dritte Möglichkeit:

3 = (-472 715 493 453 327 032)³ + (-569 936 821 113 563 493 509)³ + 569 936 821 221 962 380 720³

Doch wie sieht es mit anderen Werten von n aus, die nicht zu den verbotenen Zahlen gehören? Haben auch sie immer eine Lösung?

Fleißige Computer

Um das zu beantworten, kann man die möglichen Werte einzeln untersuchen: 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, … (auch diese Folge ist in Sloanes Enzyklopädie vermerkt, als A060464). Gelingt das Vorhaben bei allen Fällen, hätte man einen Hinweis, dass sich jede ganze Zahl n, die nicht die Form n = 9m + 4 oder n = 9m + 5 hat, in die Summe dreier Kubikzahlen zerlegen lässt.

Tatsächlich haben Mathematiker inzwischen mit Hilfe leistungsfähiger Computernetzwerke beeindruckende Ergebnisse erzielt. Doch einige Rätsel blieben ungelöst – und das führt uns wieder einmal zur faszinierenden Zahl 42.

Im Jahr 2009 untersuchten die Mathematiker Andrea-Stephan Elsenhans und Jörg Jahnel alle Tripletts a, b, c mit Beträgen kleiner als 10¹⁴, um Lösungen für n zwischen 1 und 1000 zu finden. Bloß 14 Zahlen hatten in diesem Bereich keine Lösung: 33, 42, 74, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921 und 975. Für n kleiner als 100 blieben sogar nur drei Zahlen offen: 33, 42 und 74.

2016 identifizierte Sander Huismen eine Lösung für 74: (-284 650 292 555 885)³ + (66 229 832 190 556)³ + (283 450 105 697 727)³. Und im März 2019 legte Andrew Booker den Fall 33 bei: (8 866 128 975 287 528)³ + (-877 8405 442 862 239)³ + (-2 736 111 468 807 040)³.

Plötzlich war 42 die letzte positive ganze Zahl kleiner als 100, für die man nicht wusste, ob sie sich als Summe von drei Kubikzahlen schreiben lässt. Sollte das nicht gelingen, müsste es einen triftigen mathematischen Grund dafür geben – damit wäre die 42 extrem ungewöhnlich. Die Computer liefen auf Hochtouren, doch das Problem schien sie zu überfordern.

Im September 2019 kam schließlich die Antwort – gerade einmal sechs Monate nach der Lösung für die 33. Es war das Ergebnis einer gewaltigen Berechnung, die Andrew Booker und Andrew Sutherland koordinierten. Die enorme Leistung erbrachten mehrere private Computer, die Teil des Netzwerks »Charity Engine« waren, das die Rechenzeit Universitäten und anderen Projekten zur Verfügung stellt. Nach zusammengerechnet mehr als einer Million Stunden Rechendauer fanden sie folgendes Ergebnis:

42 = (– 80 538 738 812 075 974)³ + 80 435 758 145 817 515³ + 12 602 123 297 335 631³

Auch die Fälle für n = 165, 795 und 906 wurden kürzlich gelöst. Damit bleiben nur noch 114, 390, 579, 627, 633, 732, 921 und 975 für Zahlen unter 1000 offen. Der Verdacht, dass es für alle n Lösungen gibt, die nicht in der Form 9m + 4 oder 9m + 5 vorliegen, erhärtet sich immer mehr. 1992 schlug Roger Heath-Brown eine stärkere Vermutung vor, wonach es für alle nicht verbotenen n unendlich viele Möglichkeiten gäbe, sie als Summe dreier Kubikzahlen zu schreiben. Die Arbeit ist also noch lange nicht abgeschlossen.

Weil das Problem so schwierig ist, gehen einige Mathematiker davon aus, es könne unentscheidbar sein. Dann wäre kein noch so cleverer Algorithmus in der Lage, alle möglichen Fälle von n zu bewältigen. Ein typisches Beispiel für ein unentscheidbares Problem ist das so genannte Halteproblem, das Alan Turing 1936 vorstellte: Es gibt keinen Algorithmus, der für jedes beliebige Programm entscheiden kann, ob es bei seiner Berechnung irgendwann zum Schluss kommt oder für immer weiterläuft. Doch die Frage nach der Summe von Kubikzahlen ist anders: Hier geht es um eine einfach zu erklärende, rein mathematische Fragestellung. Würde man dafür eine solche Unentscheidbarkeit nachweisen, wäre das etwas völlig Neues.

Die Summe dreier Kubikzahlen ist zwar nun auch für die 42 gelöst, doch es war sicher nicht das letzte Problem, in dem die berühmte Zahl auftaucht.

Anmerkung: In einer früheren Version des Textes hieß es, dass die 42 Kilometer beim Marathon ihre Wurzeln im Alten Griechenland haben. Das stimmt nicht. Wir haben den Hinweis deshalb entfernt.