Von Quaternionen zu Lara Croft

(Marc McCartney und Tony Mann)

Eine berühmte Anekdote rankt sich um die Entdeckung der Quaternionen: Dem irischen Mathematiker William Rowan Hamilton kam die Idee zu diesem Zahlensystem, als er am 16. Oktober 1843 über die Brougham-Brücke in Dublin lief. Er kennzeichnete diesen Augenblick, indem er die Gleichungen in das Mauerwerk der Brücke ritzte. Hamilton hatte nach einer Möglichkeit gesucht, das System der komplexen Zahlen in die Dreidimensionalität zu erweitern. Auf der Brücke gelangte er jedoch zur Erkenntnis, dass ein Sprung in die Vierdimensionalität nötig ist, um ein konsistentes Zahlensystem zu erhalten.

Bei den komplexen Zahlen gilt zum Beispiel a+ib, wobei a und b reelle Zahlen sind, während i die Quadratwurzel von -1 ist. Quaternionen bestehen dagegen aus der Gleichung a+bi+cj+dk, für die die Regel i²=j²=k²=ijk=-1 gilt.

Hamilton verbrachte den Rest seines Lebens damit, für die Nutzung der Quaternionen zu werben. Sie waren nicht nur mathematisch elegant, sondern auch außerordentlich nützlich, um geometrische, optische und mechanische Probleme zu lösen. Nach seinem Tod trug der Philosophieprofessor Peter Guthrie Tait (1831-1901) von der University of Edinburgh die Fackel weiter. William Thomson – auch bekannt als Lord Kelvin – schrieb über Tait: "Wir führten einen 38-jährigen Krieg über die Quaternionen."

Thomson stimmte mit Tait überein, dass sie in ihrem wichtigen Gemeinschaftswerk "Treatise on Natural Philosophy" immer Quaternionen verwenden würden, wenn es Sinn machte. Sie fehlen jedoch völlig im endgültigen Manuskript, was zeigt, dass Thomson nicht von ihrem Sinn überzeugt war. Ende des 19. Jahrhunderts stellten Vektorenberechnungen schließlich die Quaternionen endgültig in den Schatten – zumal nachfolgende Mathematikergenerationen eher Kelvin als Tait folgten: In ihren Augen waren die Quaternionen zwar hübsch, aber leider auch unpraktisch und eine historische Fußnote.

Deshalb war es etwas überraschend, als ein Kollege, der Computerspielentwicklung lehrt, uns fragte, welche mathematischen Kurse Studenten belegen sollten, wenn sie etwas über Quaternionen lernen wollten. Es stellte sich heraus, dass sie sich als äußerst wertvoll erweisen, wenn man dreidimensionale Rotationen berechnen soll. In diesem Fall haben sie verschiedene Vorteile gegenüber Methoden, die auf Matrizen beruhen. Dadurch wurden sie für verschiedenste Anwendungen unentbehrlich – etwa die Robotik, maschinelles Sehen und bei der Programmierung von Grafiken, die sich immer schneller aufbauen.

Tait wäre zweifellos glücklich, dass letztlich er den "Krieg" gegen Kelvin gewonnen hat. Und Hamiltons Erwartung, dass seine Entdeckung von großem Nutzen ist, bewahrheitete sich ebenfalls – wenngleich mit 150 Jahren Verspätung. Heute profitiert von ihr vor allem die Computerspielindustrie: Sie macht unter Nutzung der Quaternionen mittlerweile weltweit 100 Milliarden Dollar Umsatz.

Von der Geometrie zum Urknall

(Graham Hoare)

1907 formulierte Albert Einstein das Äquivalenzprinzip, ein entscheidender Schritt für die Entwicklung der allgemeinen Relativitätstheorie. Seine Idee, dass die Effekte von Beschleunigung und eines gleichförmigen Gravitationsfelds sich nicht unterscheiden lassen, beruht auf der Äquivalenz von träger und schwerer Masse. Einsteins entscheidende Erkenntnis war, dass sich die Gravitation in der Raumkrümmung manifestiert und damit keine Kraft darstellt. Wie Masse die umgebende Raumzeit krümmt, beschreiben Einsteins Feldgleichungen. Seine allgemeine Relativitätstheorie veröffentlichte der Wissenschaftler im Jahr 1915, die Ursprünge datieren jedoch zurück in die Mitte des vorangegangenen Jahrhunderts.

Denn 1854 führte Bernhard Riemann in seinem brillanten Habilitationsvortrag das Konzept der Mannigfaltigkeit ein – und damit die grundlegenden Prinzipien moderner Differenzialgeometrie: n-dimensionale Räume, Metrik und Krümmungen und wie Krümmungen die geometrischen Eigenschaften von Raum kontrollieren.

Mannigfaltigkeiten sind grundlegende Verallgemeinerungen von Formen, etwa der Oberfläche einer Kugel oder eines Torus, die sich differenzialgeometrisch untersuchen lassen. Riemann ging weit über den konzeptuellen Rahmen der euklidischen und nichteuklidischen Geometrie hinaus. Und er sah bereits voraus, dass seine Mannigfaltigkeiten als Modelle für die physikalische Welt dienen könnten.

Die Werkzeuge, mit denen sich die riemannsche Geometrie schließlich auf die Physik anwenden ließ, gehen vor allem auf Gregario Ricci-Curbastro zurück, der 1892 mit ihrer Entwicklung begann und sie schließlich mit seinem Schüler Tullio Levi-Civita erweiterte. 1912 nahm Einstein die Hilfe seines Freunds Marcel Grossman, eines Mathematikers, in Anspruch, um mit dieser "Tensoranalysis" seine weit reichenden physikalischen Erkenntnisse mathematisch zu formulieren. Er nutzte die riemannschen Mannigfaltigkeiten für vier Dimensionen: drei für den Raum, eine für die Zeit.

Zu dieser Zeit galt das Universum als statisch. Einstein erkannte jedoch bald, dass seine Feldgleichungen keine statischen Lösungen hatten, wenn sie auf das Universum als Ganzes angewendet wurden. 1917 führte Einstein die kosmologische Konstante in seine Feldgleichungen ein, um eine statische Lösung zu ermöglichen. 1922 jedoch veröffentlichte Alexander Friedmann Argumente für einen explosionsartigen Ursprung des Universums – den Urknall –, nachdem er Einsteins Feldgleichungen vor einem kosmologischen Hintergrund untersucht hatte. Widerwillig akzeptierte Einstein die unwiderlegbaren Hinweise auf eine Expansion des Universums und entfernte die Konstante 1931 wieder – und nannte sie seither die "größte Eselei seines Lebens."

Von Orangen zu Modems

(Edmund Harris)

1998 tauchte die Mathematik plötzlich in den Nachrichten auf. Thomas Hales von der University of Pittsburgh bewies damals die keplersche Vermutung und belegte, dass die Art und Weise, wie Obsthändler ihre Orangen stapeln, tatsächlich die effizienteste Lagerung von Kugeln darstellt. Eine Frage, die seit 1611 unbeantwortet geblieben war, erhielt endlich ihre Lösung! Und was antwortete ein Obsthändler darauf im Fernsehen? "In meinen Augen war das eine Verschwendung von Zeit und Steuergeldern."

Seitdem diskutiere ich gedanklich immer wieder mit diesem Verkäufer. Heute erleichtert die Mathematik der perfekten Kugellagerung die moderne Kommunikation, da sie zentral für Kanalkodierungen und Fehlerkorrekturkodes ist: Sie hilft damit, die Übermittlung digitaler Daten gegen Übertragungsfehler zu schützen.

1611 vermutete Johannes Kepler, dass die Stapelarbeit der Obsthändler die effizienteste Art der Kugellagerung bedeutet, doch konnte er dies noch nicht beweisen. Selbst die einfachere Frage nach der optimalen Anordnung zweidimensionaler Kreise konnte erst in den 1940er Jahren durch László Fejes Tóth bewiesen werden – der ungarische Mathematiker leistete 1953 einen weiteren Beitrag zur Lösung der keplerschen Vermutung, als er 1953 bewies, dass das Problem der Berechnung des Maximums aller Anordnungen auf die Betrachtung einer sehr großen, aber endlichen Anzahl von Fällen reduziert werden kann.

Im 17. Jahrhundert stritten Isaac Newton und David Gregory zudem über das Kusszahlenproblem: Wie viele Kugeln können eine vorgegebene Kugel berühren, ohne dass sie sich überlappen? In einem zweidimensionalen System lässt sich leicht belegen, dass die Antwort 6 ist. Newton dachte, dass 12 das Maximum im dreidimensionalen Raum wäre – was auch tatsächlich der Fall ist, aber erst 1953 von Kurt Schütte und Bartel van der Waerden bewiesen wurde. In der Vierdimensionalität steigert sich die Zahl auf 24, errechnete Oleg Musin 2003.

Bei fünf Dimensionen können wir bislang nur sagen, dass der Wert zwischen 40 und 44 liegt, doch wissen wir bereits, dass es sich in der achten Dimension um 240 Kontakte handelt. Diesen Beleg hat Andrew Odlyzko von der University of Minnesota in Minneapolis schon 1979 erbracht. Die gleiche Veröffentlichung beinhaltete sogar ein noch exotischeres Ergebnis: Die Antwort bei 24 Dimensionen lautet 196 560. Diese Beweise sind einfacher als das Resultat für drei Dimensionen und beziehen sich auf zwei extrem dichte Kugelpackungen, die man als E8-Gitter bei acht und als Leech-Gitter bei 24 Dimensionen bezeichnet.

Das hört sich alles recht magisch an, aber hat es auch einen Nutzen? Der Ingenieur Gordon Lang glaubte in den 1960er Jahren daran. Er entwickelte Systeme für Modems und griff fleißig alle mathematischen Grundlagen ab, die er bekommen konnte. Er musste ein Signal über rauschende Kanäle wie beispielsweise eine Telefonleitung schicken. Der natürliche Weg wäre gewesen, verschiedene Töne für die Signale auszuwählen. Aber der empfangene Ton war vielleicht nicht derjenige, der gesendet worden war.

Um dieses Problem zu beheben, beschrieb er die Laute über eine Liste mit Nummern. Danach fand man einfach heraus, welches der gesendeten Signale dem empfangenen Signal am nächsten lag. Diese Signale können als Kugeln betrachtet werden, die Spielraum für Hintergrundrauschen lassen. Um den verschickten Informationsgehalt zu maximieren, müssen diese "Kugeln" so dicht wie möglich gepackt werden.

In den 1970er Jahren entwickelte Lang ein Modem mit achtdimensionalen Signalen, indem er die E8-Gitter-Packung einsetzte. Dies half später dem Internet auf die Sprünge, da nun Daten über das Telefon anstatt über speziell ausgelegte Kabel verschickt werden konnten. Nicht jeder war davon begeistert: Donald Coxeter, der Lang geholfen hatte, die Mathematik hinter diesem Problem zu verstehen, sagte, er sei "entsetzt, dass diese wunderbaren Theorien derartig befleckt worden waren".