Mathematik: Ein Fußball mit dem Erdumfang
Die Erde auf die Größe eines Fußballs zu schrumpfen, ohne dass sich die Entfernungen zwischen zwei Punkten auf ihrer Oberfläche verkürzen – das klingt ziemlich unmöglich, dachten sogar Mathematiker. Doch nun haben Wissenschaftler der Universitäten in Lyon und Grenoble um Boris Thibert ein Schlupfloch gefunden: Sie falten die Oberfläche der Kugel so zurecht, dass sie einem Fraktal zu ähneln beginnt – und einen beliebig kleinen Innenraum einschließt.
Dazu zerlegten die Wissenschaftler die ursprüngliche Kugel in drei Teile: zwei Polkappen etwa mit dem Durchmesser der gewünschten Schrumpfkugel und ein äquatoriales Band. Letzteres wird dabei in sich selbst gefaltet, bis es zwar die ursprüngliche Oberfläche, aber den gewünschten kleineren Umfang hat. Man darf das Band jedoch nicht knüllen! Das Volumen der Kugel muss schrumpfen, ohne die Oberfläche zu knicken, zu strecken oder zu stauchen – denn die Deformation soll isometrisch sein, das heißt, die Entfernungen auf der Oberfläche bleiben unverändert.
Eine Kugel ist ein so genanntes reguläres Objekt. Ihre Oberfläche weist keine scharfen Kanten auf, mathematisch gesprochen: Sie hat an jedem Punkt eine Tangentialebene. Mehr noch: Wenn man diese Tangentialebene über die Kugeloberfläche bewegt, so dass sie stets Tangentialebene bleibt, dann gibt es auch in dieser Bewegung keinen Knick. Die Kugeloberfläche ist zweimal differenzierbar – sogar unendlich oft. Sie ist gewissermaßen unendlich glatt und gehört damit zur Klasse C∞. Eine Oberfläche mit einem scharfen Knick gehört nur zu C0, denn an den Punkten der scharfen Kante ist sie nicht differenzierbar. Die Mathematiker sortieren die Flächen – allgemeiner die Funktionen – in Klassen namens Cn ein, wobei das n angibt, wie oft die Fläche stetig differenzierbar ist. Zwischen C0 und C∞ existieren unendlich viele Qualitätsklassen für die Glattheit eines Objekts – je höher die Nummer, desto glatter: C1, C2, C3 und so weiter.
Widerspruch mit Schlupfloch
Die Fachleute glaubten sehr lange, dass der Versuch, eine Kugel isometrisch zu schrumpfen, zum Scheitern verurteilt sei. Der Mathematiker Carl Friedrich Gauß hatte nämlich ein Maß für die Krümmung einer Fläche gefunden – das heute Gauß-Krümmung heißt – und 1827 bewiesen, dass unter isometrischen Verformungen die Gauß-Krümmung unverändert bleibt. Wenn man jedoch die Oberfläche einer Kugel in ein kleineres Volumen packt, verändert das unweigerlich ihre Gauß-Krümmung. Das scheint eine isometrische Deformation zur Schrumpfkugel auszuschließen.
Allerdings blieb ein Schupfloch. Die Gauß-Krümmung ist eine Rechengröße, in die die zweiten Ableitungen der Oberfläche eingehen. Wenn eine Fläche keine zweiten Ableitungen hat, hat sie auch keine Gauß-Krümmung und muss sich deswegen auch nicht an das gaußsche Verbot (die Gauß-Krümmung darf sich nicht verändern) halten. Also war es zumindest nicht ausgeschlossen, dass es eine Schrumpfkugel der minderen Qualität C1 gibt. John Nash und Nicolaas Kuiper konnten 1954 sogar beweisen, dass es so etwas geben muss; aber ihr Einbettungssatz gab keinen Hinweis darauf, wie die Schrumpfkugel aussieht.
Erst die Arbeiten des russischen Mathematikers Mikhail Gromov in den 1980er Jahren und die fraktale Geometrie von Benoît Mandelbrot brachten den Durchbruch: Die Oberfläche der geschrumpften Kugel muss in Falten von fraktaler Struktur gelegt werden. Es dürfen allerdings nicht die unendlich eckigen Fraktale sein, die Mandelbrot so intensiv untersucht hat, denn die gehören nur zur Klasse C0, während von der Schrumpfkugel die Glattheit C1 gefordert wird.
Die Lösung: Ein Fast-Fraktal
Die abstrakten Theorien Mikhail Gromovs hinreichend zu verstehen, um die theoretische Möglichkeit der Schrumpfkugel in die Praxis umzusetzen, hat trotz dieser Einsicht sehr lange gedauert. Erst zwischen 2013 und 2016 gelang es Vincent Borrelli und seinen Kollegen, den Zugang Gromovs praktikabel zu machen – zunächst für den Torus. "Weder meine Kollegen noch ich wussten, wie eine solche geschrumpfte Kugel letztlich aussehen würde", sagte Boris Thibert, Teil der Arbeitsgruppe. "Es gibt viele Möglichkeiten, seine Methoden anzuwenden, und wir haben uns für eine davon entschieden."
Der Schlüssel ist, das äquatoriale Band wiederholt in Falten zu legen, so dass sich ein Schwingungsmuster bildet, dessen Amplitude sich vom Pol zum Äquator steigert. "Das ist wie ein Kochrezept, das man Schritt für Schritt zusammenstellt", erklärt Boris Thibert. "In jedem einzelnen Schritt versuchen wir die Anzahl der äquatorialen Schwingungen geeignet zu wählen." Auch die Orientierung der Falten in jedem Schritt spielt eine wichtige Rolle. In ihrem Modell mussten die Mathematiker drei Richtungswechsel vollziehen, um das Volumen der ursprünglichen Kugel zu halbieren. Schwierig gestaltete es sich, die immer noch zur Klasse C∞ gehörenden Polkappen wieder nahtlos an die nahezu maximal unglatten C1-Oberfläche des Äquatorbands anzufügen. Das gelingt nur mit Hilfe einer speziellen Differenzialgleichung.
Gibt es eine untere Grenze für die wundersame fast fraktale Schrumpfung der Kugel? Die Antwort lautet: Nein. In ihrem Beispiel halbierten die Mathematiker das Volumen der Sphäre, doch man braucht nur noch mehr Faltungsschritte, um eine Kugel von der Größe der Erde zum Fußball zu schrumpfen – der aber wundersamerweise immer noch einen Umfang von 40 000 Kilometern hätte.
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