Zahlentheorie: Neue Formel für Primzahlen gefunden
Gerade erst sorgte eine neue Primzahl für Schlagzeilen: 2136279841−1 ist die größte bisher bekannte Zahl, die nur durch eins und sich selbst teilbar ist. Und nun haben die zwei Mathematiker Ben Green von der University of Oxford und Mehtaab Sawhney von der Columbia University eine mehr als 25 Jahre alte Vermutung über Primzahlen bewiesen, wie sie in einer im Oktober 2024 veröffentlichten – aber noch nicht begutachteten Arbeit berichten. Daraus leitet sich eine neue Formel ab, mit deren Hilfe sich unendlich viele Primzahlen berechnen lassen.
Die Menschheit beschäftigt sich seit Jahrtausenden mit Primzahlen. Diese Werte stellen so etwas wie die Elemente der Zahlentheorie dar: Primzahlen sind unteilbare Bausteine, mit deren Hilfe sich jede andere ganze Zahl erzeugen lässt. Umgekehrt kann man eine natürliche Zahl stets in ihre Primteiler – ein Produkt aus Primzahlen zerlegen. Schon der antike Gelehrte Euklid konnte vor etwa 2300 Jahren beweisen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Doch obwohl sie schon so lange untersucht werden, werfen sie bis heute noch viele Fragen auf.
So dreht sich eines der größten Rätsel der Mathematik darum, wie Primzahlen auf dem Zahlenstrahl verteilt sind. Die Platzierung der unteilbaren Zahlen scheint zwar zufällig bestimmt, doch die Gesamtverteilung folgt festen statistischen Mustern. So ist bewiesen, dass die Anzahl an Primzahlen zu großen Werten hin abnimmt. Deren genaue Anzahl innerhalb eines Intervalls ist allerdings Schwankungen unterworfen – und diese exakt zu beziffern ist das Herzstück der riemannschen Vermutung. Deren Lösung wird mit einer Million US-Dollar belohnt.
Es gibt unendlich viele Primzahlen
Einen Beweis für die Existenz unendlich vieler Primzahlen brachte der antike Gelehrte Euklid bereits vor mehr als 2000 Jahren mit einem einfachen Gedankenspiel hervor: Angenommen, es gäbe nur eine endliche Anzahl an Primzahlen, wobei die größte p ist. In diesem Fall könnte man alle Primzahlen bis p miteinander multiplizieren und eins addieren: 2·3·5·7·11·...·p + 1. Das Ergebnis lässt sich durch keine der existierenden Primzahlen 2, 3, …, p teilen. Damit ist die Zahl 2·3·5·7·11·...·p + 1 entweder eine neue Primzahl oder sie enthält einen Teiler, der in den ursprünglichen 2, 3, …, p Primzahlen nicht auftaucht. Daher kann keine endliche Liste von Primzahlen jemals vollständig sein; man wird immer zusätzliche konstruieren können. Daraus folgt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
Um Primzahlen drehen sich aber auch andere ungelöste Probleme. So ist unklar, ob es unendlich viele Mersenne-Primzahlen gibt (Primzahlen des Typs 2n−1, so wie der aktuelle Rekordhalter für den größten Wert) oder ob unendlich viele Primzahlen existieren, die direkt benachbart sind (so genannte Primzahlzwillinge wie 3 und 5, 5 und 7, oder 11 und 13). Ähnlich wirkt die Frage, der sich Green und Sawhney widmeten. Sie untersuchten eine im Jahr 1997 geäußerte Vermutung der Mathematiker John Friedlander und Henryk Iwaniec. Diese hatten zuvor bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlen der Form a2 + b4 gibt, und vermuteten, dass auch die Summe a2 + 4b2 unendliche viele Primzahlen hervorbringt. Letzteres konnten sie aber nicht beweisen.
»Das Spannendste daran ist eigentlich der Kern des Nachweises, der alle möglichen neuen Ideen enthält«Alex Kontorovich, Mathematiker
Genau das gelang nun Green und Sawhney. Dafür nutzten sie Methoden, die aus einem anderen Bereich der Mathematik stammen, nämlich der Kombinatorik. »Das Spannendste daran ist eigentlich der Kern des Nachweises, der alle möglichen neuen Ideen enthält«, sagte der Mathematiker Alex Kontorovich von der Rutgers University in New Jersey, der nicht an der neuen Arbeit beteiligt war, zu »New Scientist«. »Wer weiß, zu welchen weiteren Durchbrüchen diese Ideen führen werden?«
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