News: Verborgene Ordnung?
Zufällig gestreut oder doch nach einer gewissen Systematik sortiert - bislang gibt die Verteilung der Primzahlen ihr Geheimnis nicht preis. Drei Physiker sind nun zumindest über neue interessante statistische Zusammenhänge gestolpert.
© (Ausschnitt)
Kaum eine Zahlenfolge dürfte so gut untersucht sein wie die der Primzahlen – derjenigen natürlichen Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Doch trotz der vielen Stunden, in denen sich ungezählte Mathematiker dieser Zahlenserie widmeten, gibt die Verteilung der Primzahlen innerhalb der natürlichen Zahlen nach wie vor Rätsel auf.
So schrieb seinerzeit bereits Edmund Landau: "Die Lehre von der Verteilung der Primzahlen ist als eines der allerwichtigsten Kapitel der mathematischen Wissenschaften anzusehen." Wenngleich sich das Wissen um die Primzahlen seit Landaus Tagen vervielfältigt hat, ist sein Zusatz nach wie vor gültig: "Manches Problem harrt noch heute seiner Erledigung."
Eigentlich handelt es sich bei Pradeep Kumar, Plamen Ivanov und Eugene Stanley gar nicht um Mathematiker, geschweige denn um Zahlentheoretiker – den Leuten, die sich sonst um die Primzahlen kümmern. Und eigentlich waren die Physiker von der University of Boston noch nicht einmal sonderlich an der Verteilung jener Zahlen interessiert – bis ein Zufallsfund ihr Interesse weckte.
Ivanov ließ nämlich seinen Studenten Kumar einen Probelauf mit einem Programm durchführen, das ursprünglich der statistischen Analyse von Herzschlägen dient. Statt jedoch den Abstand von Herztönen zu untersuchen, sollte Kumar die Software testweise zunächst mit Primzahlen füttern und den Abstand von aufeinander folgenden Primzahlen analysieren – 50 Millionen waren es.
Vielleicht war diese Aufgabe zu langweilig oder die Daten nicht geeignet für das Programm, jedenfalls überprüfte Kumar auch den Abstand von aufeinander folgenden Abständen – das so genannte Inkrement. Ein Beispiel: Die ersten Primzahlen lauten 2, 3, 5, 7, 11, 13 und so weiter. Die Serie der Abstände beginnt demzufolge mit 1, 2, 2, 4 und 2. Die Inkremente lauten dann entsprechend: 1, 0, 2 und -2. Da jede Zahl die Differenz aufeinander folgender Abstände ist, kommen also auch negative Inkremente vor.
Die Analyse ergab, dass die Häufigkeiten, mit denen bestimmte Inkremente auftauchten, einer ganz bestimmten Verteilung folgten. So fiel die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Inkrement in einer Folge von Primzahlen auftritt, mit betragsmäßig größeren Inkrementen exponentiell ab. Außerdem war der Häufigkeitsverteilung eine Periodizität aufgeprägt: Jedes dritte Inkrement taucht demnach im Vergleich zu seinen Nachbarn eher selten auf.
Die 1 existiert als Inkrement sowieso nur einmal und kann deshalb bei einer langen Folge von Primzahlen getrost vernachlässigt werden. Ansonsten bleiben nur positive und negative gerade Zahlen übrig. Während die 0, 6, 12, die 18 und alle weiteren Vielfachen von 6 eher selten als Inkrement erscheinen, sind die Zahlen der dazwischen liegenden Folgen 2, 8, 14, 20, ... und 4, 10, 16, 22, ... vergleichsweise häufig. Entsprechendes gilt für die negativen Inkremente. Zwar ließ sich eine ähnliche Periodizität schon bei den Primzahl-Abständen beobachten, bei den Inkrementen hatte dergleichen jedoch noch niemand festgestellt. Und noch mehr bemerkten die Physiker: So sind die Häufigkeiten von betragsmäßig gleich großen Inkrementen ebenfalls gleich. Dazu passt eine weitere Festellung: "Auf positive Werte folgen in aller Regel negative Werte", weiß Imanov. Ferner ist die Verteilung der Inkremente offenbar unabhängig von der Länge der zugrunde liegenden Primzahlenfolge – ein Sachverhalt, der längst nicht selbstverständlich ist. Denn bei den Primzahlabständen zeigt sich ein ganz anderes Bild. Hier ist die häufigste Sprungweite abhängig von der Länge der Folge, die untersucht wird.
Doch welcher Nutzen lässt sich aus der ganzen Statistik ziehen? Ian Stewart, seines Zeichens Mathematiker an der University of Warwick, schrieb dazu im März-Heft von Spektrum der Wissenschaft einen passenden Satz: "Wo exakte Antworten nicht zu haben sind – was bei Primzahlen leider sehr häufig vorkommt –, helfen nur statistische Sätze und Näherungsformeln." Und vielleicht verhelfen ja die neuen Erkenntnisse dazu, die Primzahlen ein bisschen besser zu verstehen. Diese haben, so weiß man mittlerweile, längst nicht nur mathematische Bedeutung, sie spielen auch bei physikalischen und biologischen Prozessen eine Rolle. Aber das ist eine andere Geschichte.
So schrieb seinerzeit bereits Edmund Landau: "Die Lehre von der Verteilung der Primzahlen ist als eines der allerwichtigsten Kapitel der mathematischen Wissenschaften anzusehen." Wenngleich sich das Wissen um die Primzahlen seit Landaus Tagen vervielfältigt hat, ist sein Zusatz nach wie vor gültig: "Manches Problem harrt noch heute seiner Erledigung."
Eigentlich handelt es sich bei Pradeep Kumar, Plamen Ivanov und Eugene Stanley gar nicht um Mathematiker, geschweige denn um Zahlentheoretiker – den Leuten, die sich sonst um die Primzahlen kümmern. Und eigentlich waren die Physiker von der University of Boston noch nicht einmal sonderlich an der Verteilung jener Zahlen interessiert – bis ein Zufallsfund ihr Interesse weckte.
Ivanov ließ nämlich seinen Studenten Kumar einen Probelauf mit einem Programm durchführen, das ursprünglich der statistischen Analyse von Herzschlägen dient. Statt jedoch den Abstand von Herztönen zu untersuchen, sollte Kumar die Software testweise zunächst mit Primzahlen füttern und den Abstand von aufeinander folgenden Primzahlen analysieren – 50 Millionen waren es.
Vielleicht war diese Aufgabe zu langweilig oder die Daten nicht geeignet für das Programm, jedenfalls überprüfte Kumar auch den Abstand von aufeinander folgenden Abständen – das so genannte Inkrement. Ein Beispiel: Die ersten Primzahlen lauten 2, 3, 5, 7, 11, 13 und so weiter. Die Serie der Abstände beginnt demzufolge mit 1, 2, 2, 4 und 2. Die Inkremente lauten dann entsprechend: 1, 0, 2 und -2. Da jede Zahl die Differenz aufeinander folgender Abstände ist, kommen also auch negative Inkremente vor.
Die Analyse ergab, dass die Häufigkeiten, mit denen bestimmte Inkremente auftauchten, einer ganz bestimmten Verteilung folgten. So fiel die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Inkrement in einer Folge von Primzahlen auftritt, mit betragsmäßig größeren Inkrementen exponentiell ab. Außerdem war der Häufigkeitsverteilung eine Periodizität aufgeprägt: Jedes dritte Inkrement taucht demnach im Vergleich zu seinen Nachbarn eher selten auf.
Die 1 existiert als Inkrement sowieso nur einmal und kann deshalb bei einer langen Folge von Primzahlen getrost vernachlässigt werden. Ansonsten bleiben nur positive und negative gerade Zahlen übrig. Während die 0, 6, 12, die 18 und alle weiteren Vielfachen von 6 eher selten als Inkrement erscheinen, sind die Zahlen der dazwischen liegenden Folgen 2, 8, 14, 20, ... und 4, 10, 16, 22, ... vergleichsweise häufig. Entsprechendes gilt für die negativen Inkremente. Zwar ließ sich eine ähnliche Periodizität schon bei den Primzahl-Abständen beobachten, bei den Inkrementen hatte dergleichen jedoch noch niemand festgestellt. Und noch mehr bemerkten die Physiker: So sind die Häufigkeiten von betragsmäßig gleich großen Inkrementen ebenfalls gleich. Dazu passt eine weitere Festellung: "Auf positive Werte folgen in aller Regel negative Werte", weiß Imanov. Ferner ist die Verteilung der Inkremente offenbar unabhängig von der Länge der zugrunde liegenden Primzahlenfolge – ein Sachverhalt, der längst nicht selbstverständlich ist. Denn bei den Primzahlabständen zeigt sich ein ganz anderes Bild. Hier ist die häufigste Sprungweite abhängig von der Länge der Folge, die untersucht wird.
Doch welcher Nutzen lässt sich aus der ganzen Statistik ziehen? Ian Stewart, seines Zeichens Mathematiker an der University of Warwick, schrieb dazu im März-Heft von Spektrum der Wissenschaft einen passenden Satz: "Wo exakte Antworten nicht zu haben sind – was bei Primzahlen leider sehr häufig vorkommt –, helfen nur statistische Sätze und Näherungsformeln." Und vielleicht verhelfen ja die neuen Erkenntnisse dazu, die Primzahlen ein bisschen besser zu verstehen. Diese haben, so weiß man mittlerweile, längst nicht nur mathematische Bedeutung, sie spielen auch bei physikalischen und biologischen Prozessen eine Rolle. Aber das ist eine andere Geschichte.
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