Verschlungen, aber nicht verknotet

News: Verschlungen, aber nicht verknotet

Vom Kabelsalat hinter Ihrer Stereoanlage bis zu den DNA-Knäueln in Ihren Zellkernen - Schlaufen und Knoten sind überall, und die Theorien, mit denen Mathematiker sie beschreiben, sind mindestens ebenso verwickelt wie die Knoten selbst. Richtig spannend wird es aber, wenn man nicht herkömmliche Schnüre verknotet und verknäult, sondern Ketten aus mit Gelenken verbundenen Stäbchen. Ein Geometrieexperte hat jetzt herausgefunden, daß es Formen gibt, die sich nur dann entwirren lassen, wenn man diese Stäbchen biegsam macht. Dem Knäuel hinter Ihrem Radio ist das sicher egal, aber für die DNA könnte es wichtig sein.

Früher einmal glaubten die Wissenschaftler, DNA-Stränge oder anderere langkettige Bio-Moleküle schlingen sich umeinander wie weichgekochte Spaghetti. Neuerdings bevorzugt man aber ein anderes Modell, nach dem – falls man ein wirklicher Fan von Pasta-Allegorien ist – die Biopolymere eher aus kurzen Stücken ungekochter Spaghetti bestehen, die mit Scharnieren verbunden sind. Hat das nun aber Einfluß auf die Formen, welche die DNA annehmen kann?

Im Prinzip ja, haben die Knotentheoretiker herausgefunden. Eine neuentdeckte sechseitige Form kann nicht entwirrt werden, wenn die Seiten hart und fest bleiben. Läßt man sie aber biegsam werden, wird das Gebilde zu einer einfachen Schlaufe oder – wie Mathematiker sagen – dem trivialen Knoten aufgelöst.

Jason Cantarella, ein Spezialist für Differentialgeometrie an der University of Pennsylvania, hatte auf einer Konferenz von Überlegungen gehört, daß es ein Vieleck geben müsse, das sich "verschlingen", aber nicht verknoten ließe. Verknotete Formen lassen sich nur lösen, indem man sie irgendwo durchtrennt, verschlungene Objekte sollten sich zumindest theoretisch schon entwirren lassen, wenn sie flexibler werden.

"Ich war gerade dabei, Sechsecke auf einen Zettel zu kritzeln, als ich mir sagte: Das ist es!" berichtet Cantarella von seiner Entdeckung. Was er gezeichnet hatte, war ein Sechseck mit zwei langen "Flügeln", die durch drei kurze Segmente verbunden waren. Diese Segmente waren als Schlaufe um einen Ring gewunden. Die Schlaufe kann vom Ring nicht gelöst werden, ohne die Flügel zu bewegen, und die Flügel wiederum können nicht ausgebreitet werden, ohne die Schlaufe durch den Ring zu ziehen. "Es ist eine echte Zwickmühle", bemerkt Cantarella, der diese neuartige Form im Januar 1999 auf dem Treffen der American Mathematical Society in San Antonio vorstellte (kurzer Abstract im PDF-Format).

Den Wissenschaftlern zufolge ist dies der erste Beweis dafür, daß die Geometrie Vielecke mit flexiblen Verbindungsstellen daran hindert, sich zu entwirren. Traditionell hatten Knotentheoretiker die Starrheit ignoriert, weil "die Probleme viel schwieriger sind", sagt Mathematiker Ken Millett von der University of California in Santa Barbara. Doch durch Cantarellas einfaches Vieleck, so Millet, verstehen wir jetzt besser, wie Starrheit auf kleiner Ebene die Form der DNA und anderer komplizierter Moleküle beeinflußt.