Wer Millionär werden will, kann das auf viele Arten versuchen – sogar in der Mathematik. Wem es gelingt, eines der sechs noch offenen »Millennium-Probleme« zu knacken, den belohnt das Clay Mathematics Institute in New Hampshire mit einer Million US-Dollar. Vor genau 20 Jahren, am 24. Mai 2000, veröffentlichte das Institut eine Liste mit sieben bedeutenden mathematischen Rätseln und setzte für deren Lösung das ungewöhnlich hohe Preisgeld aus.

Doch trotz des Anreizes ist selbst nach zwei Jahrzehnten bisher nur die so genannte Poincaré-Vermutung bewiesen. Die übrigen sechs Probleme sind immer noch unbeantwortet. Sie heißen die Riemannsche Vermutung, das P-NP-Problem, die Navier-Stokes-Gleichungen, die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer, die Gleichungen von Yang-Mills und die Hodge-Vermutung.

Letztere wurde nach dem britische Mathematiker William Vallance Douglas Hodge benannt. Er äußerte sie 1950 auf dem internationalen Mathematikerkongress in Cambridge, und sie zählt unter den Millennium-Problemen wohl zu den am wenigsten bekannten. Populärwissenschaftliche Medien widmen sich ihr nur selten. Denn die Hodge-Vermutung hat zahlreiche Eigenschaften, die viele Menschen an der Mathematik hassen: Schon die Fragestellung ist extrem abstrakt und daher schwer nachzuvollziehen, zudem brächte eine Lösung keine unmittelbaren Anwendungen für lebensnähere Bereiche.

Mit Zuckerguss zur Gleichbehandlung

Doch das Clay Mathematics Institute hat die Hodge-Vermutung nicht ohne Grund als eines der sieben wichtigsten mathematischen Probleme des 21. Jahrhunderts ausgewählt. Tatsächlich handelt es sich dabei um eine der bedeutendsten offenen Fragen der Topologie. In dieser mathematischen Disziplin geht es darum, Körper und Formen nach groben Merkmalen zu sortieren, etwa nach der Anzahl ihrer Löcher. Die Hodge-Vermutung beschäftigt sich damit, wie man extrem komplizierte geometrische Gebilde effektiv kategorisieren kann. Falls sie wahr ist, ließe sich dadurch ein ganzer Rattenschwanz an anderen Theoremen beweisen. Allerdings gehören auch diese zu abstrakten mathematischen Gebieten wie der Zahlentheorie, die unser alltägliches Leben kaum beeinflussen.

Selbst nach 70 Jahren sind Mathematiker einer Lösung der Hodge-Vermutung nicht näher. Bisher gab es nur wenige, kleine Fortschritte in dem Bereich. »Es ist eines jener Probleme, das wahrscheinlich ein tieferes Verständnis erfordert«, sagt der Mathematiker Phillip Griffiths vom Institute of Advanced Studies in Princeton in einem Beitrag für das »Plus Magazine«. »Vermutlich kann man es im Moment einfach noch nicht direkt angehen.«

Die Hodge-Vermutung dreht sich um die Frage, inwieweit sich komplizierte hochdimensionale Strukturen aus einfacheren Gebilden zusammensetzen. Stellen Sie sich dazu zwei Donuts vor. Auf den ersten malen Sie mit Zuckerguss ein Dreieck um das Loch herum. Den zweiten verzieren Sie stattdessen mit einem Kreis. Lassen sich die beiden Gebäcke dann im topologischen Sinn gleich behandeln?

Die Schwierigkeit des Problems liegt vor allem darin, zu verstehen, was Mathematiker mit »gleich behandeln« meinen. Das führt zurück bis zu den Anfängen der algebraischen Geometrie. Im 17. Jahrhundert bemerkte der französische Gelehrte René Descartes, dass Geometrie und Algebra keineswegs zwei getrennte mathematische Bereiche sind, sondern zwei Seiten der gleichen Medaille. Demnach kann man Fragestellungen aus dem einen Gebiet eins zu eins auf das andere übertragen. Denn geometrische Figuren wie Kreise oder Kurven lassen sich durch Gleichungen beschreiben. Möchte man beispielsweise die Schnittpunkte zweier geometrischer Objekte ermitteln, kann man sie entweder in einer Zeichnung ausmessen oder aber direkt berechnen, indem man die dazugehörigen Formeln gleichsetzt. Descartes' Erkenntnis eröffnete völlig neue Möglichkeiten, Mathematik zu betreiben.

Ratlosigkeit in höchsten Dimensionen

Der Zusammenhang begegnet uns schon in der Schule. Doch Mathematiker hörten an dieser Stelle nicht auf, sondern definierten immer kompliziertere Strukturen, so genannte Mannigfaltigkeiten, in unvorstellbar hohen Dimensionen. Im Prinzip unterscheiden sich Mannigfaltigkeiten gar nicht so stark von den Objekten im Mathematikunterricht: Die Gleichungen, die sie beschreiben, sind durch einen Satz von Variablen x_i gegeben (deren Anzahl der Dimension der Mannigfaltigkeit entspricht) und durch eine »algebraische Gleichung« miteinander verknüpft, etwa 3x₃³ · x₂ + x₁⁵ = 0. Ein Beispiel für eine solche Mannigfaltigkeit ist die bereits erwähnte Oberfläche eines Donuts, ein so genannter Torus.

Um bei all den komplizierten Gebilden den Überblick nicht zu verlieren, begannen einige Mathematiker Ende des 19. Jahrhunderts, die seltsamen Strukturen zu sortieren. So schufen sie das Gebiet der Topologie. Dabei gingen sie folgendermaßen vor: Lassen sich zwei Objekte durch Kneten ineinander verformen, ohne dabei Löcher in sie zu reißen, dann gehören sie der gleichen topologischen Klasse an. Zweidimensionale Oberflächen sind dadurch sehr einfach einzuordnen, man muss bloß die Anzahl ihrer Löcher zählen. Für Topologen sind eine Tasse und ein Donut daher ununterscheidbar, denn das Loch des Gebäcks lässt sich zum Henkel der Tasse formen.

»Es ist eines jener Probleme, das wahrscheinlich ein tieferes Verständnis erfordert«
Phillip Griffiths, Mathematiker

Allerdings ist es extrem schwierig, hochdimensionale Gebilde zu klassifizieren. Nicht bloß, dass man sie nicht visualisieren kann, darüber hinaus kann man aus den dazugehörigen algebraischen Gleichungen nur schwer auf die Anzahl der Löcher einer Mannigfaltigkeit schließen. Vor allem, wenn sie mehr als zwei Dimensionen besitzt. Denn dann muss man auch die Dimensionalität der Löcher berücksichtigen.

Mathematiker greifen dazu tief in ihre Trickkiste. Eine Möglichkeit besteht darin, einer Mannigfaltigkeit so genannte Homologie-Gruppen zuzuweisen, aus denen sich anschließend die Anzahl der Löcher berechnen lässt. Genau wie Gleichungen sind auch Gruppen algebraische Objekte, die man häufig durch Matrizen darstellen kann. Im einfachsten Fall symbolisieren Gruppen Drehungen und Spiegelungen bestimmter geometrischer Objekte.

Entscheidend ist dabei, dass die Homologie-Gruppen einer Mannigfaltigkeit alle Umformungen unbeschadet überstehen, die eine geometrische Figur in eine topologisch äquivalente verwandeln. Zum Beispiel sind die entsprechenden Gruppen eines Donuts und einer Tasse die gleichen. Leider gibt es kein allgemein gültiges Rezept, um die Homologie-Gruppen einer beliebigen Mannigfaltigkeit zu bestimmen. Je nach Situation müssen Mathematiker auf verschiedene Verfahren zurückgreifen – und in manchen, besonders komplexen Fällen weiß man gar nicht, wie man die Gruppen überhaupt berechnen soll.

Das unzerreißbare Spinnennetz der Topologie

Glücklicherweise gibt es für einige Mannigfaltigkeiten bewährte Methoden, unter anderem für jene, die in der Hodge-Vermutung auftauchen. Deren Homologie-Gruppen lassen sich durch einfache geometrische Bausteine, so genannte Simplizes, konstruieren. Simplizes sind wie Legosteine, aus denen man eine Mannigfaltigkeit aufbaut. Ein nulldimensionales Simplex entspricht einem Punkt, ein eindimensionales ist eine Linie zwischen zwei Punkten. In zwei Dimensionen ist es ein Dreieck, und in drei ein Tetraeder.

Möchte man zum Beispiel herausfinden, ob eine Kugeloberfläche und ein Torus zur gleichen topologischen Klasse gehören, kann man zweidimensionale Simplizes nutzen. Dazu überdeckt man die jeweiligen Flächen mit einem Netz aus Dreiecken (Triangularisierung) und summiert anschließend alle Ecken, subtrahiert davon alle Kanten und addiert die Flächen der Dreiecke. Überraschenderweise hängt das Ergebnis, die so genannte Euler-Charakteristik, nicht davon ab, wie genau man die Triangularisierung wählt, also wie groß die Dreiecke sind oder wie viele man auf die Oberfläche zeichnet. Für einen Torus ergibt sich immer eine Euler-Charakteristik von null, und bei der Kugeloberfläche erhält man stets zwei. Zieht man die Hälfte des Ergebnisses von eins ab, erhält man die Anzahl der Löcher der entsprechenden Oberfläche (Kugel: 1 – ½ · 2 = 0, Torus: 1 – ½ · 0 = 1).

Deshalb ist die Euler-Charakteristik eine so genannte topologische Invariante: Sie bleibt gleich, unabhängig davon, wie stark man eine Figur verformt – solange man keine Löcher in sie reißt. Hat man es mit höherdimensionalen Mannigfaltigkeiten zu tun, muss man entsprechend auch Simplizes mit mehr Dimensionen nutzen, um sie in topologische Klassen einzuteilen. Dann berechnet man nicht mehr bloß eine einfache Zahl wie die Euler-Charakteristik, sondern ganze Homologie-Gruppen. Aus diesen lässt sich dann die Anzahl der Löcher verschiedener Dimensionen berechnen.

In der Topologie spielen Simplizes eine wichtige Rolle. Daher fingen Mathematiker an, sie genauer zu untersuchen. Unter anderem kann man die Bausteine zu größeren verbinden, zu so genannten Ketten. Man kann Dreiecke und Linien beispielsweise zu beliebigen Vielecken zusammensetzen oder lauter Punkte zu einer glatten Kurve aneinanderreihen.

Aufräumen unter den Bauklötzen

Insgesamt können Ketten aus Simplizes also so ziemlich alle denkbaren Formen auf einer Mannigfaltigkeit bilden. Stellen Sie sich vor, Sie bemalen einen Donut mit einem wilden Muster aus Zuckerguss – mit Ecken und Kanten oder aber völlig glatt. Nur ganz selten wird das Muster einer algebraischen Kurve entsprechen, wie man sie aus der Schule kennt, also einem Graphen, der durch eine einfache Polynomgleichung beschrieben wird. Meist ist die Gleichung, die zu einer Kette aus Simplizes gehört, extrem kompliziert.

Das macht es so schwer, mit solchen Ketten zu rechnen. Möchte man zum Beispiel die Schnittpunkte von zwei Ketten ermitteln, dann kann man unter Umständen die Gleichungen nicht exakt lösen. Daher taten Topologen das, was sie am besten können: Sie sortierten nicht mehr nur die Mannigfaltigkeiten selbst, sondern auch die darauf befindlichen Strukturen.

Wenn Sie zum Beispiel einen Donut mit rotem und gelbem Zuckerguss bemalt haben und herausfinden möchten, wie oft sich die rote und die gelbe Linie kreuzen, können Sie diese Punkte natürlich einfach zählen. Doch bei hochdimensionalen Mannigfaltigkeiten ist das nicht mehr möglich. In so einem Fall muss man auf andere Methoden zurückgreifen, bei denen die Topologie helfen kann.

Falls der rote und der gelbe Zuckerguss sich bloß durch komplizierte Gleichungen beschreiben lassen, hilft es, die Kurven nach den Gesetzen der Topologie (also ohne sie zu zerreißen) so lange zu verformen, bis ihre entsprechenden Gleichungen eine einfachere Gestalt annehmen. Dann kann man wie im Mathematikunterricht beide Gleichungen gleichsetzen und ihre Schnittpunkte berechnen.

Das heißt: Wenn man etwas über Ketten aus Simplizes auf einer Mannigfaltigkeit erfahren möchte, muss man oftmals nicht direkt mit den komplizierten Ketten rechnen, sondern kann einen anderen – möglichst einfachen – Vertreter aus der gleichen topologischen Klasse nutzen. Weil sie topologisch gesehen äquivalent sind, teilen sie viele Eigenschaften.

Was Mathematiker schon immer über Simplex-Ketten wissen wollten, aber bisher nicht zu fragen wagten

Der günstigste Fall tritt ein, wenn sich in einer Klasse von Ketten auch Vertreter befinden, die sich durch Polynomgleichungen beschreiben lassen. Denn diese glatten algebraischen Objekte sind besonders gut handhabbar. In solchen Situationen sind die Homologie-Gruppen einer Mannigfaltigkeit, auf der sich die Strukturen befinden, viel besser zu berechnen. Das ist zum Beispiel möglich, wenn man die wilde Zuckergussstruktur auf einem Donut durch einen einfachen Kreis, eine Ellipse oder eine Summe aus solchen algebraischen Formen ersetzen kann.

Deshalb fragten sich Mathematiker, wann es möglich ist, eine Mannigfaltigkeit durch algebraische Strukturen statt komplizierte Ketten zu sortieren. Oder anders ausgedrückt: Wann enthalten die topologischen Klassen von Simplex-Ketten auch algebraische Vertreter?

Hodge hatte sich lange mit solchen Fragen beschäftigt und fand in den 1940er Jahren ein vermeintliches Kriterium dafür. Seine Vermutung fand aber erst 1950 breites Gehör, als er sie auf dem Internationalen Mathematikerkongress äußerte. Ihm zufolge enthalten die Klassen von Simplex-Ketten immer dann algebraische Strukturen, wenn ein bestimmtes Integral über die entsprechenden Simplizes null ergibt. Dieses Integral liefert eine topologische Invariante, ähnlich wie die Euler-Charakteristik – nur abstrakter. Ist die Invariante null, können der Vermutung zufolge Mathematiker aufatmen und mit den vertrauten algebraischen Strukturen weiterrechnen.

Bisher gehen die meisten Experten davon aus, dass die Hodge-Vermutung wahr ist. Für gewisse Spezialfälle in niedrigen Dimensionen konnte man sie sogar schon beweisen. Doch ob sich die Hypothese auch für kompliziertere Situationen bewahrheitet, ist noch unklar. Für Topologen ist das Problem so bedeutend, weil sie ihrem Traum damit ein Stück näher kämen: endlich ein allgemeines Schema zu finden, mit dem sich alle möglichen geometrischen Strukturen sortieren lassen.