Diesmal traf sich Gudrun zum Gespräch mit Anke Pohl, die zur Zeit am Max-Planck-Institut für Mathematik in Bonn arbeitet. Das Thema der Unterhaltung ist Mathematisches Quantenchaos. Anke Pohl untersucht nämlich, welchen Zusammenhang die geometrischen und spektralen Eigenschaften Riemannscher Mannigfaltigkeiten haben.

Historisch ist das Interesse an diesen Eigenschaften und ihren Wechselwirkungen bei physikalischen Betrachtungen entstanden, wie z.B. bei den Studien der Schwingungen einer Membran. Im Jahre 1910 vermuteten Lorentz und Sommerfeld, dass der Flächeninhalt einer Membran (die ein Beispiel für eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ist) durch die (Ober-)töne dieser Membran (die durch die Eigenwerte eines gewissen Operators bestimmt sind, der die Schwingungen der Membran beschreibt) bestimmt sind. Bereits kurze Zeit später gelang es Hermann Weyl, diese Vermutung mathematisch zu beweisen. Im Laufe der Zeit ist die Untersuchung solcher Zusammenhänge zu einem Teilgebiet der Mathematik und Mathematischen Physik angewachsen, welches sowohl hinsichtlich Motivation als auch in Bezug auf Methoden eng mit diversen anderen Teilgebieten der Mathematik, wie z.B. der Geometrie, der Zahlentheorie und der Analysis, zusammenhängt. Und auch heute noch liefern physikalische Erkenntnisse und Intuitionen gute Heuristiken bzw. sind wegweisend für mathematische Ansätze.

Aktuelle große Vermutungen mit sowohl mathematischer als auch physikalischer Motivation sind beispielsweise die Rudnick-Sarnak Vermutung über eindeutige Quantenergodizität auf gewissen kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeiten (Gleichverteilung von Eigenfunktionen im Mittel bei wachsendem Eigenwert; für den Beweis von eindeutiger arithmetischer Quantenergodizität wurde E. Lindenstrauss 2010 eine Fieldsmedaille verliehen), die Phillips-Sarnak Vermutung über die (Nicht-)Existenz von quadrat-integrierbaren Eigenfunktionen auf gewissen nicht-arithmetischen Mannigfaltigkeiten, die Sarnaksche Vermutung über das Größenwachstum von Eigenfunktionen bei wachsendem Eigenwert, oder die Sjöstrandsche Vermutung über die asymptotische Anzahl von Resonanzen in Streifen bei hyperbolischen Flächen unendlichen Inhalts. Details und weiterführende Informationen zu diesen und anderen Vermutungen sind beispielsweise in den Übersichtsartikel in den untenstehenden Referenzen enthalten.

Anke Pohls befasst sich zur Zeit mit bestimmten Flüssen, den sogenannten geodätischen Flüssen, auf einer speziellen Klasse von Riemannschen Mannigfaltigkeiten.

Als erste, recht elementare, Beispiele für Mannigfaltigkeiten kann man sich zunächst Oberflächen vorstellen. Wenn man auf ihnen Größen definiert hat, die zum Messen von Abständen und Winkel dienen, werden sie Riemannsche Mannigfaltigkeit genannt. Wie bei den oben genannten Membranen sind Geodäten.

Mathematisch werden die Schwingungen als Lösungen des Laplaceoperators in der zugrundeliegenden Geometrie beschrieben bzw. mit Hilfe der Eigenwerte und Eigenfunktionen des Operators. Aus der Anschauung ist klar, dass die Schwingungen von den geometrischen Eigenschaften der Fläche abhängen. Wenn z.B. die Fläche oder Membran eingerissen ist oder ein Loch hat, klingt sie anders als wenn sie geschlossen ist bzw. gut eingespannt ist. Für kompakte Flächen ist bekannt, dass es unendlich viele solcher Eigenfunktionen gibt. Je nach Grad der Offenheit (also z.B. eine Fläche mit Riss oder Loch) ist es jedoch schwierig zu sagen, wie sich die Schar der Lösungen verändert. Ein interessantes Beispiel wäre z.B. zu betrachten, dass an einer Stelle die eingespannte Fläche im Unendlichen verankert ist, aber das darunterliegende Volumen endlich ist. Vorstellen kann man sich das etwa so, dass man an dieser Stelle die Fläche samt ihren Abständen unendlich weit zieht. Man fragt sich dann, ob eine Welle auf der Fläche auch diese Singularität überlebt.

Ein methodischer Ansatz, solche und andere Fragen zu studieren, ist es, Beziehungen zu anderen Objekten, vor allem rein geometrischen, zu finden. Selbergs Beweis zur Unendlichkeit der Anzahl der Eigenfunktionen auf gewissen hyperbolischen Flächen zeigt zunächst, dass die Eigenwerte der Eigenfunktionen (spektrale Objekte) durch die Längen der geschlossenen Geodäten (geometrische Objekte) bestimmt sind. Genauer, sie sind unter den Nullstellen einer generierenden Zetafunktion für das Längenspektrum der Geodäten. Ausnutzung zusätzlicher Eigenschaften der Flächen, wie z.B. Kompaktheit oder zusätzliche Symmetrien, erlaubt dann (manchmal) zu bestimmen, ob Nullstellen existieren und ob sie von Eigenwerten stammen.

Anke Pohl schaut sich die Geodäten auf bestimmten hyperbolischen Flächen an, diskretisiert sie und findet ein assoziiertes diskretes dynamisches System auf dem reellen Zahlenstrahl. Für dieses diskrete System sucht sie gewisse invariante Größen, z. B. invariante Maße oder Dichten. Genauer fragt sie nach Eigenfunktionen des assoziierten Transferoperators mit gewissen Parametern (inversen Temperaturen). An dieser Stelle sieht man wieder einen Einfluss aus der Physik: Transferoperatoren entstammen dem thermodynamischen Formalismus der statistischen Mechanik. Sie zeigt dann, dass die Eigenfunktionen dieser Transferoperatoren bijektiv zu den L_2 Eigenfunktionen des Laplaceoperators der hyperbolischen Flächen sind. Da die Eigenfunktionen der Transferoperatoren alleine durch die geschlossenen Geodäten bestimmt sind und somit also geometrische Objekte der Fläche sind, stellt auch sie eine Beziehung zwischen gewissen geometrischen und gewissen spektralen Objekten dieser Flächen her.

Zum Abschluss noch eine kurze Erklärung zur Bezeichnung "Quantenchaos" für dieses Themengebiet: Der Laplaceoperator ist gerade, bis auf Skalierung, der Schrödingeroperator in der Physik. Quantenmechanisch werden seine L_2 Eigenfunktionen als gebundene Zustände verstanden. Das zugehörige Objekt in der klassischen Mechanik ist gerade das Hamiltonsche Vektorfeld des geodätischen Flusses, d. h. die Bildungsvorschrift für die Geodäten oder die Bewegungsvorschrift für Kugeln auf der Fläche. Das Korrespondenzprinzip der Physik besagt nun, dass im Grenzfall (hier: Eigenwerte der Eigenfunktionen gehen gegen unendlich) die Gesetze der Quantenmechanik in die der klassischen Mechanik übergehen sollten. Hier fragt man also gerade danach, wie die spektralen und die geometrischen Eigenschaften Riemannscher Mannigfaltigen wechselwirken. Daraus ergibt sich der Bestandteil "Quanten" in "Quantenchaos".

Der Bestandteil "Chaos" ist wie folgt motiviert: Bei den in diesem Gebiet studierten Flüssen verhalten sich Bahnen, die sehr nah beieinander starten, typischerweise nach recht kurzer Zeit sehr unterschiedlich. Mit anderen Worten, kleine Änderungen in den Anfangsbedingungen wirken sich typischerweise sehr stark aus, d.h., das System ist in gewisser Weise chaotisch.

Frau Pohl hat Mathematik an der TU Clausthal studiert, an der Universität Paderborn promoviert und habilitiert gerade an der Universität Göttingen.

Literatur und Zusatzinformationen

• William P. Thurston: The Geometry and Topology of Three-Manifolds, Mathematical Sciences Research Institute, 2002.
• A. Pohl: Symbolic dynamics for the geodesic flow on locally symmetric good orbifolds of rank one, Dissertation Uni Paderborn, 2009.
• A.Pohl: A dynamical approach to Maass cusp forms, arXiv preprint arXiv:1208.6178, 2012.
• M. Möller und A. Pohl: Period functions for Hecke triangle groups, and the Selberg zeta function as a Fredholm determinant, Ergodic Theory and Dynamical Systems 33.01: 247-283, 2013.
• P. Sarnak: Recent progress on the quantum unique ergodicity conjecture, Bull. Amer. Math. Soc 48: 211-228, 2012.
• S. Zelditch: Recent developments in mathematical quantum chaos, Current developments in mathematics 2009: 115-204, 2010.