Paare aus Abbildung und Umkehrung:

Bitte machen Sie sich bei den folgenden Aussagen im Einzelnen klar, warum sie zutreffen (heißer Tipp: Wo sind rechte Winkel?). Dass es in den Bildern danach aussieht, reicht nicht aus!

Das Einfachste sind (M) und ihre Umkehrung (S):

Dabei sind alle beteiligten Dreiecke ähnlich zueinander, wobei die sich entsprechenden Seiten parallel zueinander sind und die Orientierung sich unter jeder Abbildung umkehrt. Die Abbildungen können als Streckungen vom (allen drei gemeinsamen) Schwerpunkt aus mit den Streckungsverhältnissen –1/2 bzw. –2 aufgefasst werden. Die Flächeninhalte ändern sich bei jeder Operation um den Faktor 4.

Auch (I) und (T) sind Umkehrungen voneinander:

Der beide verbindende Kreis ist der Inkreis des großen und der Umkreis des kleinen Dreiecks. Die Geraden von seinem Mittelpunkt zu den Ecken des einen Dreiecks sind rechtwinklig zu den Seiten des jeweils anderen Dreiecks.

Beide Dreiecke sind im Allgemeinen nicht ähnlich zueinander, aber die drei (türkisen) Differenz-Dreiecke sind allesamt gleichschenklig.

Auch die verbleibenden Kandidaten aus der Liste, (H) und (A) sind zueinander Umkehrungen:

Die violett gezeichneten Geraden sind die Höhen im großen Dreieck und die Winkelhalbierenden im kleinen. Ihr Schnittpunkt, also der Höhenschnittpunkt des großen, ist der Inkreismittelpunkt des kleinen.

Bis hier haben wir gesehen, dass wir es mit drei umkehrbaren Operationen zu tun haben, von denen die erste auf ähnliche Dreiecke führt. Aber nun kommt der eigentliche Pfiff: Die anderen beiden führen sozusagen über Kreuz zu Paaren ähnlicher Dreiecke, die aber im Allgemeinen nicht zum jeweiligen Ausgangsdreieck ähnlich sind. Wie geht das?

Ähnliche Dreiecke:

Die Ähnlichkeiten bei (M) und (S) haben wir schon zur Kenntnis genommen. Wenn alle Versprechungen eingelöst werden sollen, so erwarten wir etwas z. B. bei (I) und (A):

Aus dem dick umrandeten Dreieck erzeugen wir innen ein kleines grünes mit den Inkreisberührpunkten als Ecken und außen ein großes grünes (Gesamtheit aller getönten Flächen) mit den Ankreismittelpunkten des gelben als Ecken.

Die gelben Teildreiecke sind allesamt gleichschenklig, ihre Symmetrieachsen sind zu je einer Seite des kleinen grünen und des ganz großen (grün und gelb gefärbten) Dreiecks rechtwinklig. Damit sind diese beiden zueinander ähnlich.

Die letzte Paarung ist (H) und (T):

Wir gehen vom dick umrandeten (gelben) Dreieck aus und finden innen das kleine rote Dreieck aus seinen Höhenfußpunkten und außen das große rote (also die gesamte gefärbte Fläche) aus den Tangenten an den Umkreis des gelben. Beide Ergebnisse sind nicht ähnlich zum gelben (außer im trivialen Spezialfall gleichseitiger Dreiecke), wohl aber zueinander.

Die Begründung können wir nun einfach aus unseren bisherigen Weisheiten herleiten, indem wir den Spieß umdrehen: Von den beiden roten kommt man durch die Umkehrungen von (H) und (T), also durch (A) und (I) zu zwei Dreiecken, die nach allem Gesagten zumindest ähnlich zueinander sein müssen. Wegen der passenden Größen dieser Ausgangsdreiecke sind beide unser dick umrandetes Dreieck selbst.

Übrigens hat die Operation (I) eine Eigenschaft, die man nicht unbedingt erwartet: Wenn man sie iteriert, d. h. immer wieder auf das Ergebnis anwendet, werden die Dreiecke nicht nur immer kleiner (was sich von selbst versteht), sondern auch offensichtlich "immer gleichseitiger", wenn man so sagen darf:

Kann man das leicht einsehen?

Wenn man außen nach innen geht, also die Operation (I) anwendet, so haben die neuen Dreiecke als Winkel stets Mittelwerte der Winkel des vorigen Dreiecks. Das führt nach sehr vielen Schritten immer genauer zum gleichseitigen Dreieck.