Abstand von Diagonalen im Würfel
Der Abstand zweier windschiefer Geraden, also solcher, die weder parallel sind noch sich schneiden, ist die Länge der kürzesten Verbindungsstrecke zwischen den beiden Geraden. Es ergibt sich, dass diese Strecke eine Binormale ist, also auf beiden Geraden rechtwinklig steht.
Der Abstand zweier nicht paralleler Flächendiagonalen in zwei zueinander parallelen Flächen des Würfels ist so groß wie die Länge der Würfelkante, wie man leicht sieht; denn die Binormale verläuft von einem Flächenmittelpunkt zum gegenüberliegenden.
Wie ist es aber mit zwei sich nicht schneidenden Diagonalen zweier benachbarter Flächen des Würfels?
Betrachten Sie die "noch freie" Raumdiagonale und zwei Ebenen, zu denen sie rechtwinklig ist.
Jede der beiden in Frage stehenden Flächendiagonalen bildet mit Kolleginnen aus benachbarten Flächen ein gleichseitiges Dreieck. Eine Raumdiagonale steht rechtwinklig zu den Flächen dieser Dreiecke und wird von ihnen gedrittelt. Der Abstand dieser Ebenen ist damit auch der gesuchte Abstand, also 1/3 der Raumdiagonale.
Die Binormale verläuft zwischen zwei Punkten auf den gegebenen Flächendiagonalen, die diese ebenfalls dritteln. Blickt man in Richtung der Raumdiagonale, so bilden die beiden Dreiecke einen Davidsstern, und der gesuchte Abstand erscheint als Schnittpunkt von dessen Diagonalen.
Hier sind alle (Flächen- und Raum-)Diagonalen und alle Binormalen zu den Flächendiagonalen des Würfels zu sehen:
Dass die Letzteren parallel zu den Raumdiagonalen sind, sieht man sogar besser in diesen Standbildern aus der Animation:
Zusatzfrage: Wie verhält sich eine Flächendiagonale zu den 11 anderen: Wie viele sind parallel, wie viele werden geschnitten, und welche Winkel gibt es beim Schneiden und beim windschiefen "Vorbeilaufen", welche Winkel findet man also bei der Projektion in Richtung der Binormalen?
Zu einer jeden Flächendiagonale gibt es:
- eine, die sie rechtwinklig in ihrer und in deren Mitte kreuzt (nämlich in derselben Fläche),
- eine, die parallel im Abstand a ( = Kantenlänge) auf der Gegenseite ist,
- eine, die im Abstand a rechtwinklig zu ihr verläuft (auch auf der Gegenseite)
- vier, die sie paarweise in ihren Ecken unter 60o trifft (beachten Sie die gleichseitigen Dreiecke!), und
- vier, die windschief zu ihr durch je eine der 4 Nachbarseiten verlaufen, und zwar im Abstand von 1/3 der Raumdiagonale und mit 60o Verdrehung um die Binormale, wobei die Binormalen in Drittelungspunkten enden.
Das sind alle 11.
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