Amalie und Amanda
Ameisen sind zwar bei Weitem nicht so fleißig, wie es ihnen in Fabeln angedichtet wird. Dass sie aber in der Freizeit spazieren gehen, ist eher unwahrscheinlich. Dennoch eignen sie sich für geometrische Denkaufgaben wie diese hier:
Die beiden Ameisen Amalie und Amanda (die einander noch ähnlicher sind als ihre Namen) gehen auf einem Kegel spazieren. Und zwar beginnen sie ihre Wanderung parallel zu einer Mantellinie (und damit parallel zueinander) in Richtung zur Spitze. (Eine Mantellinie ist eine Gerade, die auf dem Kegelmantel liegt und damit unweigerlich durch die Spitze verläuft.)
Obwohl sie genau geradeaus gehen (so geradeaus, wie es auf einem Kegel möglich ist), kreuzen sich ihre Wege, und kurz vor der Spitze laufen sie sogar frontal aufeinander zu. Nach einer vorsichtigen Begegnung geht jede den Weg weiter, die die andere gekommen ist, ohne dass eine die Spitze erreicht.
Welche Eigenschaft muss der Kegel haben, damit ein gerader Weg auf ihm sich selbst kreuzt?
Schneidet man den Kegelmantel entlang einer Mantellinie auf und wickelt ihn in eine Ebene ab, so findet man den Winkel, auf den es hier ankommt. Nennen wir ihn den Spitzenwinkel (nicht zu verwechseln mit dem Öffnungswinkel des Kegels!). Ist er kleiner als 90o, so kreuzt sich eine Gerade selbst, bei genau 90o läuft sie parallel zu sich selbst zurück.
In den folgenden Bildern ist der abgewickelte Mantel von den roten Linien begrenzt dargestellt. Dort, wo ein Ameisenweg (schwarz) auf eine rote Linie trifft (dort wo der Kegel zum Abwickeln aufgeschnitten wurde), ist er auf der gegenüberliegenden roten Linie mit demselben Winkel fortzusetzen. Es ist hilfreich für das Vorstellungsvermögen, wenn man gedrehte Kopien des abgewickelten Mantels Spitze an Spitze ins Bild einfügt. (Das funktioniert immer dann ohne störende Überlappungen, wenn ein Vielfaches des Spitzenwinkels gleich 360o ist.) Dann nämlich stellt sich die Fortsetzung des Ameisenwegs auf der Kopie als schlichte Verlängerung des ursprünglichen Wegs dar (hellblau).
Auf sehr schlanken Kegeln kreuzt sich eine "Gerade" (sofern sie keine Mantellinie ist) sogar mehrmals. In den Stereo-Animationen sehen Sie den Kegel und seine Abwicklung:
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