Hemmes mathematische Rätsel: Auf der Autobahn
Seit etwa zehn Jahren kursiert im Internet eine hübsche und knifflige mathematische Denksportaufgabe über den Verkehr in Autobahnbaustellen. Wie alt das Problem tatsächlich ist und wer es erfunden hat, ist unbekannt.
Wer kennt das nicht? Man durchfährt auf der Autobahn eine 30 km lange Baustelle, in der nur eine Fahrspur frei ist. Überholen ist unmöglich und die erlaubte Höchstgeschwindigkeit beträgt 60 km/h. Vor einem fährt ein Sicherheitsfanatiker mit Hut und einer Geschwindigkeit von 30 km/h. Nach kurzer Zeit haben alle Autos hinter dem Sicherheitsfanatiker, die vorher unterschiedlich schnell gefahren sind, die gleiche Geschwindigkeit, nämlich 30 km/h, und eine ganze Gruppe von Autos durchfährt en bloc die Baustelle.
Dabei kann man sich gut folgendes Horrorszenario ausmalen: Die Baustelle auf der Autobahn ist unendlich lang und nur einspurig durchfahrbar. Zehn Autos, die zu Anfang alle unterschiedlich schnell fahren, bilden nach einiger Zeit einige Gruppen von Autos, die mit gleicher Geschwindigkeit und geringem Abstand durch die Baustelle fahren. Würde dieses »Experiment« vielfach wiederholt werden, wie groß wäre dann im Mittel die Anzahl der Gruppen in der Baustelle? Die Geschwindigkeiten der Autos sind dabei zu Anfang völlig statistisch verteilt, und eine Gruppe kann auch aus nur einem einzigen Auto bestehen.
Am einfachsten ist es, die Lösung schrittweise aufzubauen und dabei mit dem langsamsten Auto zu beginnen. Stellen wir nur das langsamste Auto auf die Autobahn, kann natürlich nur eine einzige Gruppe von Autos entstehen, und diese Gruppe besteht auch nur aus einem Auto.
In diesem Trivialfall gibt es im Mittel genau eine Gruppe. Nehmen wir nun das zweitlangsamste Auto hinzu. Wenn wir es hinter das langsamste Auto stellen, wird es dieses irgendwann erreichen und dann mit ihm eine Zweiergruppe bilden. Stellen wir es hingegen vor das erste Auto, so wird sich der Abstand immer weiter vergrößern und es werden zwei Einergruppen bleiben. Da beide Möglichkeiten gleich wahrscheinlich sind, gibt es bei zwei Autos im Mittel (1 + 2)/2 = 1 + 1⁄2 Gruppen.
Nehmen wir nun das drittlangsamste Auto hinzu. Stellen wir es hinter oder zwischen die beiden anderen Autos, wird es irgendwann das davor fahrende Auto erreichen. Die Anzahl der Gruppen ändert sich dadurch also nicht. Nur wenn wir es vor die beiden anderen Autos stellen, fährt es diesen davon, und es entsteht eine zusätzliche Gruppe. Wenn wir das drittlangsamste Auto hinzunehmen, erhöht sich also die mittlere Anzahl der Gruppen um ein Drittel auf 1 + 1⁄2 + 1⁄3.
Jedes zusätzliche schnellere Auto, das wir nun auf die Autobahn stellen, erhöht die Anzahl der Gruppen nur dann, wenn wir es ganz nach vorne bringen. Somit beträgt die Anzahl sn der Gruppen bei n Autos gerade 1 + 1⁄2 + 1⁄3 + 1⁄4 + ... + 1⁄n. Dies ist die bekannte harmonische Reihe. Für n = 10 beträgt die mittlere Anzahl der Gruppen 7381⁄2520 ≈ 2,92.
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