Hemmes mathematische Rätsel: Auf wie viele Arten kann man einen Brief frankieren?
Seit 1949 gibt die Pi-Mu-Epsilon-Gesellschaft die Zeitschrift »Pi Mu Epsilon Journal« heraus, in der auch eine Denksportecke zu finden ist. Im 1951 stellte dort Arthur B. Brown den Leserinnen und Lesern das folgende Rätsel:
In Frensland gibt es Briefmarken für jeden Wert von einem bis hin zu 30 Pfennigen. Das Porto für einen Brief beträgt 30 Pfennige. Es gibt viele Möglichkeiten, Marken in diesem Wert auf einen Brief zu kleben. Angenommen, alle Briefmarken würden nebeneinander in einer Reihe auf den Brief geklebt, wie viele verschiedene Kombinationen wären dann möglich?
Dabei sollen die Varianten, die man erhält, wenn man die gleiche Markenkombination in anderer Reihenfolge auf den Brief klebt, auch als verschieden gelten. So entsprechen die beiden Fälle (1, 28, 1) und (28, 1, 1) unterschiedlichen Möglichkeiten.
Die verschiedenen Briefmarkenkombinationen, die zusammen einen Wert von 30 Pfennigen ergeben, kann man auf folgende Weise erhalten: Man schreibt eine Reihe von 30 Einsen auf: 111111111111111111111111111111. Zwischen den Ziffern gibt es 29 Lücken. Jede davon dürfen wir wahlweise freilassen oder mit einem Trennstrich füllen. Da wir also bei jeder Lücke zwei Wahlmöglichkeiten haben, gibt es insgesamt 229 Möglichkeiten, Trennstriche einzufügen. Ein Beispiel ist 11111-1111111111111-1-11111111-1111.
Zählen wir jetzt bei allen Kombinationen jeweils die Einsen zwischen den Trennstrichen zusammen und ersetzen diese durch Briefmarken gleicher Werte, erhalten wir alle möglichen Markenkombinationen. Aus unserem Beispiel wird somit die abgebildete Briefmarkenkombination. Es gibt also 229 Möglichkeiten, Briefmarken auf einen frensländischen Brief zu kleben.
Das Ergebnis lässt sich leicht verallgemeinern: Wenn das Briefporto n Pfennige beträgt, und es Briefmarken alle Werte von 1 Pfennig bis n Pfennigen gibt, so hat man 2n – 1 verschiedene Möglichkeiten, die Marken auf den Brief zu kleben.
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