Hemmes mathematische Rätsel: Das kleinste Achteck
Das heutige Rätsel habe ich mir Oktober 2010 ausgedacht.
Vor Ihnen liegt ein Bogen kariertes Papier mit der Karogröße 1×1. Zeichnen Sie darauf ein Achteck, dessen Ecken alle mit den Quadratecken des Blatts zusammenfallen und dessen Seiten die Längen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 und 8 haben, wenn auch nicht unbedingt in dieser Reihenfolge. Wie groß ist der kleinstmögliche Flächeninhalt des Achtecks?
Das Achteck braucht nicht konvex zu sein, aber es darf nicht überschlagen oder so entartet sein, dass Seiten aufeinander fallen oder Innenwinkel 180 Grad betragen. Die Seiten des Achtecks brauchen nicht unbedingt alle mit den Linien des Karomusters zusammenzufallen.
Das Schöne an dieser Aufgabe ist, dass man sie auch ohne die geringsten Mathematikkenntnisse lösen kann. Schwierig wird es erst, wenn man beweisen will, dass die Lösung, die man gefunden hat, auch tatsächlich das Achteck mit dem kleinsten Flächeninhalt ist.
Alle Ecken des Achtecks sind Schnittpunkte der Karorasterlinien. Darum können die Seiten des Achtecks entweder nur mit Rasterlinien zusammenfallen oder sie können die Hypotenusen von rechtwinkligen Dreiecken sein, deren Ecken Rasterschnittpunkte und deren Katheten Rasterlinien sind. Der zweite Fall ist nur dann möglich, wenn nach dem Satz des Pythagoras a2 + b2 = c2 gilt, wobei c eine der Achteckseiten von 1 bis 8 ist und a und b die ganzzahligen Katheten sind.
Es lässt sich leicht überprüfen, dass diese Gleichung nur für c = 5 eine ganzzahlige Lösung hat: 32 + 42 = 52. Folglich fallen alle Seiten des Achtecks mit Rasterlinien zusammen, nur die Seiten der Länge 5 kann auch schräg verlaufen. Nun ist es nicht mehr allzu schwer, durch systematisches Probieren das Achteck mit dem kleinsten Flächeninhalt zu finden. Es ist ein zweimal abgeknickter schmaler Streifen, der an einem Ende abgeschrägt und einen Flächeninhalt von nur 16 Quadrateinhalten hat.
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