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Hemmes mathematische Rätsel: Der zerstreute Kassierer

Beim Einlösen eines Schecks werden Cent- und Dollarbetrag vertauscht. Nach einem Kauf für 5 Cent fällt auf, dass doppelt so viel Geld übrig ist, wie auf dem Scheck stand. Wie hoch war der Betrag des Schecks?
Dollarscheine zählen

Martin Gardner (1914–2010) schrieb über 25 Jahre lang für das US-amerikanische Wissenschaftsmagazin »Scientific American« die Kolumne »Mathematical Games«. Im Mai 1959 veröffentlichte er folgendes Problem:

Als Herr Brown auf seiner Bank einen Scheck einlöste, gab ihm der zerstreute Kassierer den Centbetrag des Schecks in Dollar und den Dollarbetrag in Cent. Herr Brown merkte zunächst nichts. Erst später, nachdem er sich an einem Kiosk für fünf Cent eine Schachtel Streichhölzer gekauft hatte, stellte er fest, dass er genau doppelt so viel Geld übrig hatte, wie auf dem Scheck gestanden hatte. Auf welchen Betrag war der Scheck ausgestellt?

Der Scheck war auf d Dollar und c Cent ausgestellt. Der Kassierer hätte also einen Betrag von (100d + c) Cent auszahlen müssen. Stattdessen gab er Herrn Brown eine Summe von (100c + d) Cent.

Da Herr Brown, nachdem er 5 Cent ausgegeben hatte, noch doppelt so viel Geld besaß wie auf seinem Scheck stand, bedeutet das in Formeln ausgedrückt 100c + d − 5 = 200d + 2c. Der Centbetrag kann nur eine Zahl von 0 bis 99 sein. Dies gilt auch für den Dollarbetrag, denn sonst hätte der Kassierer ihn nicht mit dem Centbetrag verwechseln können.

Nehmen wir zunächst an, der Centbetrag c wäre mindestens 50. Das bedeutet, 2c läge von 100 bis 198. Um die Einer- und Zehnerstellen der Gleichung von den Hunderter- und Tausenderstellen trennen zu können, schreiben wir sie zu 100c + (d − 5) = (200d + 100) + (2c − 100) um. Damit lässt sie sich in die beiden Gleichungen c = 2d + 1 und d − 5 = 2c − 100 aufspalten.

Setzt man die Gleichungen ineinander ein und löst sie auf, erhält man d = 31 und c = 63. Nun untersuchen wir noch mit der gleichen Methode den Fall, dass der Centbetrag geringer als 50 ist. Dies führt jedoch zu keinem sinnvollen Ergebnis. Der Scheck von Herrn Brown war also auf 31,63 Dollar ausgestellt.

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