Diagonalen im Ikosidodekaeder
Die Kantenmittelpunkte eines regulären Dodekaeders oder auch die eines regulären Ikosaeders bilden die Ecken eines Ikosidodekaeders. Dieser halbregelmäßie (archimedische) Körper hat also 30 Ecken und 32 Flächen hat (nämlich jeweils da, wo die 12 Ecken des Ikosaeders und die 20 Ecken des Dodekaeders sind). Seine 60 Kanten bilden 6 regelmäßige Zehnecke.
Das Ikosidodekaeder steht damit im gleichen Verhältnis zum Ikosaeder und zum Dodekaeder wie das Kuboktaeder zum Oktaeder und zum Würfel. Beide sind sozusagen gemeinsame Stümpfe, bei denen von den alten Kanten genau eine neue Ecke übrig bleibt.
In diesem Bild sind außer den Kanten alle Diagonalen einer gewissen Länge im Ikosidodekaeder gezeichnet, nämlich die von einer Ecke eines Fünfecks zur äußeren Ecke eines gegenüberliegenden Dreiecks. Von welchem regulären Polyeder bilden sie die Kanten, und wie viele davon gibt es?
Verfolgen Sie die hier gewählten Diagonalen rundherum.
Vier solche Diagonalen "hintereinander" laufen als Quadrat um die ganze Figur, in jeder Ecke treffen sich vier dieser Diagonalen, es gibt also reguläre Oktaeder. Da es 30 Ecken gibt und jedes Oktaeder 6 Ecken hat, sind es 5 gleiche Oktaeder.
Der Oktaederfünfling ist eine der bekannteren Durchdringungen platonischer Körper.
Kann man irgendwie einsehen, dass das Ikosidodekaeder Ecken hat, die wie die Ecken des regulären Oktaeders liegen?
Die Kanten des Oktaeders bilden (drei) Quadrate, also ebene Vierecke. Dass die Kanten des Ikosidodekaeders reguläre und damit auch ebene Zehnecke bilden, hilft uns hier nicht weiter, denn 10 ist nicht durch 4 teilbar. Die Ebenen der Quadrate des Oktaeders gehen dar nicht durch die Kanten des Ikosidodekaeders, sondern nur durch 4 seiner Ecken, aber sie gehen immerhin durch die Linien, die ein Dreieck bzw. ein Fünfeck zwischen einer Ecke und der Mitte der Gegenseite halbieren. Wegen der Symmetrie des Ganzen bilden diese Linien ebene (wenn auch ungleichseitige) Achtecke.
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