Hemmes mathematische Rätsel: Die fehlende Ziffer
Multipliziert man alle ganzen Zahlen von 1 bis n miteinander, so bezeichnet man dieses Produkt als die Fakultät von n und schreibt das nach einem Vorschlag des französischen Mathematikers Christian Kramp (1760–1826) als n!. So sind beispielsweise 3! = 1 · 2 · 3 = 6 und 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. Die Null nimmt eine Sonderstellung ein; per Definition ist 0! = 1. Die Fakultätsfunktion spielt vor allen Dingen in der Kombinatorik eine große Rolle.
Das folgende Fakultätenrätsel hat 1967 erstmals der der 1914 geborene große amerikanische Unterhaltungsmathematiker Martin Gardner in der Zeitschrift »Scientific American« veröffentlicht.
Wenn man 35! = 1 · 2 · 3 · 4 · … · 34 · 35 ausmultipliziert, erhält man eine Zahl mit 41 Ziffern.
35! = 10333147966386144929?66651337523200000000
Die mittlere Ziffer ist hier durch ein Fragezeichen ersetzt worden. Können Sie, ohne auch nur eine einzige Multiplikation auszuführen, die fehlende Ziffer ermitteln?
Da 35! das Produkt aller Zahlen von 1 bis 35 ist, ist einer der Faktoren die 9. Darum muss 35! ein Vielfaches von 9 sein. Um festzustellen, ob eine Zahl durch 9 teilbar ist, bildet man den Neunerrest der Zahl. Nur wenn dieser eine 9 ist, kann die Zahl ein Vielfaches von 9 sein.
Für die Bestimmung des Neunerrests einer Zahl berechnet man ihre Quersumme. Sollte diese mehr als eine Stelle haben, wird auch von ihr die Quersumme gebildet. Dies setzt man solange fort, bis schließlich nur noch eine einzelne Ziffer übrig bleibt: der Neunerrest. Ein Beispiel soll das Verfahren verdeutlichen: Die Zahl 5 186 955 hat den Neunerrest 3, denn ihre Quersumme ist 5 + 1 + 8 + 6 + 9 + 5 + 5 = 39, die Quersumme der Quersumme 3 + 9 = 12 und schließlich davon die Quersumme 1 + 2 = 3.
Für die fehlende Stelle in der dezimalen Darstellung der 35! kommen nur die Ziffern 0 bis 9 in Frage. Die 0 würde beispielsweise auf den unerwünschten Neunerrest 3 führen. Nur die Ziffer 6 ergibt den notwendigen Neunerrest 9.
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